Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem86 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem86 45393
Description: Continuity of 𝑂 and its limits with respect to the 𝑆 partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem86.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem86.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem86.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem86.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem86.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem86.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem86.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem86.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem86.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem86.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem86.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
fourierdlem86.ab (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem86.n0 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐡))
fourierdlem86.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fourierdlem86.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem86.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem86.t 𝑇 = ({𝐴, 𝐡} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)))
fourierdlem86.n 𝑁 = ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1)
fourierdlem86.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem86.d 𝐷 = (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2)))))
fourierdlem86.e 𝐸 = (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2)))))
fourierdlem86.u π‘ˆ = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem86 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝐷 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ 𝐸 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐢,𝑖,𝑠   𝑖,𝐹,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑗,𝑀,𝑠,𝑖   𝑓,𝑁   𝑖,𝑁,𝑠   𝑖,𝑂   𝑄,𝑖,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑓   𝑆,𝑖,𝑠   𝑇,𝑓   π‘ˆ,𝑖   𝑖,𝑉,𝑝   𝑗,𝑉,𝑠   𝑖,𝑋,π‘š,𝑝   𝑗,𝑋,𝑠   𝑓,𝑗,πœ‘   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐴(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑝)   𝐡(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑝)   𝐢(𝑓,𝑗,π‘š,𝑝)   𝐷(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑓,𝑗,π‘š,𝑝)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑝)   𝑆(𝑗,π‘š,𝑝)   𝑇(𝑖,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   π‘ˆ(𝑓,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐸(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑗,π‘š,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑝)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑗,π‘š,𝑝)   𝑂(𝑓,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑓,π‘š)   𝑋(𝑓)
Proof of Theorem fourierdlem86
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem86.d . . 3 𝐷 = (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2)))))
2 fourierdlem86.xre . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem86.p . . . . . . . 8 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
5 fourierdlem86.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
7 fourierdlem86.v . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
9 fourierdlem86.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11 fourierdlem86.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 fourierdlem86.altb . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 < 𝐡)
15 fourierdlem86.ab . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
17 fourierdlem86.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
18 fourierdlem86.t . . . . . . . 8 𝑇 = ({𝐴, 𝐡} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)))
19 fourierdlem86.n . . . . . . . 8 𝑁 = ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1)
20 fourierdlem86.s . . . . . . . 8 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
22 fourierdlem86.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
23 biid 261 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘¦)(,)(π‘„β€˜(𝑦 + 1)))) ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘¦)(,)(π‘„β€˜(𝑦 + 1)))))
243, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23fourierdlem50 45357 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ˆ ∈ (0..^𝑀) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))))
2524simpld 494 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀))
26 id 22 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)))
2724simprd 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))))
2826, 25, 27jca31 514 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))))
29 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))))
30 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖(π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))
31 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ
32 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))
3330, 31, 32nfif 4550 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))
34 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖 βˆ’
35 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖𝐢
3633, 34, 35nfov 7431 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢)
37 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖 /
38 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(π‘†β€˜(𝑗 + 1))
3936, 37, 38nfov 7431 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1)))
40 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖 Β·
41 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))
4239, 40, 41nfov 7431 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2)))))
4342nfel1 2911 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1)))
44 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖(π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ)
45 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…
46 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))
4744, 45, 46nfif 4550 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—))))
4847, 34, 35nfov 7431 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢)
49 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(π‘†β€˜π‘—)
5048, 37, 49nfov 7431 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—))
51 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))
5250, 40, 51nfov 7431 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2)))))
5352nfel1 2911 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))
5443, 53nfan 1894 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)))
55 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)
5654, 55nfan 1894 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))
5729, 56nfim 1891 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
58 eleq1 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)))
5958anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀))))
60 fveq2 6881 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘ˆ))
61 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (𝑖 + 1) = (π‘ˆ + 1))
6261fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))
6360, 62oveq12d 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))))
6463sseq2d 4006 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))))
6559, 64anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))))))
6662eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))))
67 csbeq1a 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘ˆ β†’ 𝐿 = β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ)
6866, 67ifbieq1d 4544 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘ˆ β†’ if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) = if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))))
6968oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) = (if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢))
7069oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) = ((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))
7170oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) = (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))))
7271eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ↔ (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))
7360eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–) ↔ (π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ)))
74 csbeq1a 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘ˆ β†’ 𝑅 = β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…)
7573, 74ifbieq1d 4544 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘ˆ β†’ if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) = if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))))
7675oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) = (if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢))
7776oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) = ((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)))
7877oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) = (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))))
7978eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)) ↔ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))))
8072, 79anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ↔ ((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)))))
8180anbi1d 629 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)) ↔ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))))
8265, 81imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))) ↔ ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))))
83 fourierdlem86.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
84 fourierdlem86.fcn . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
85 fourierdlem86.r . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
86 fourierdlem86.l . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
87 fourierdlem86.n0 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐡))
88 fourierdlem86.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
89 fourierdlem86.o . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
90 eqid 2724 . . . . . . . 8 (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) = (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2)))))
91 eqid 2724 . . . . . . . 8 (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) = (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2)))))
92 biid 261 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
9383, 2, 4, 5, 7, 84, 85, 86, 9, 11, 13, 15, 87, 88, 89, 17, 18, 19, 20, 90, 91, 92fourierdlem76 45383 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
9457, 82, 93vtoclg1f 3551 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))))
9525, 28, 94sylc 65 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
9695simpld 494 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))))
9796simpld 494 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))
981, 97eqeltrid 2829 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))
99 fourierdlem86.e . . 3 𝐸 = (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2)))))
10096simprd 495 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)))
10199, 100eqeltrid 2829 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐸 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)))
10295simprd 495 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))
10398, 101, 102jca31 514 1 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝐷 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ 𝐸 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424  β¦‹csb 3885   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  ifcif 4520  {cpr 4622   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668  β„©cio 6483  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533   Isom wiso 6534  β„©crio 7356  (class class class)co 7401   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11245   βˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  β™―chash 14287  sincsin 16004  Ο€cpi 16007  β€“cnβ†’ccncf 24718   limβ„‚ climc 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  45410  fourierdlem104  45411
  Copyright terms: Public domain W3C validator