Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem86 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem86 45208
Description: Continuity of 𝑂 and its limits with respect to the 𝑆 partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem86.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem86.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem86.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem86.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem86.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem86.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem86.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem86.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem86.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem86.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem86.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
fourierdlem86.ab (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem86.n0 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐡))
fourierdlem86.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fourierdlem86.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem86.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem86.t 𝑇 = ({𝐴, 𝐡} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)))
fourierdlem86.n 𝑁 = ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1)
fourierdlem86.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem86.d 𝐷 = (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2)))))
fourierdlem86.e 𝐸 = (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2)))))
fourierdlem86.u π‘ˆ = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem86 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝐷 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ 𝐸 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐢,𝑖,𝑠   𝑖,𝐹,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑗,𝑀,𝑠,𝑖   𝑓,𝑁   𝑖,𝑁,𝑠   𝑖,𝑂   𝑄,𝑖,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑓   𝑆,𝑖,𝑠   𝑇,𝑓   π‘ˆ,𝑖   𝑖,𝑉,𝑝   𝑗,𝑉,𝑠   𝑖,𝑋,π‘š,𝑝   𝑗,𝑋,𝑠   𝑓,𝑗,πœ‘   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐴(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑝)   𝐡(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑝)   𝐢(𝑓,𝑗,π‘š,𝑝)   𝐷(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑓,𝑗,π‘š,𝑝)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑝)   𝑆(𝑗,π‘š,𝑝)   𝑇(𝑖,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   π‘ˆ(𝑓,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐸(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑗,π‘š,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑗,π‘š,𝑝)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑗,π‘š,𝑝)   𝑂(𝑓,𝑗,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑓,π‘š)   𝑋(𝑓)
Proof of Theorem fourierdlem86
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem86.d . . 3 𝐷 = (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2)))))
2 fourierdlem86.xre . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem86.p . . . . . . . 8 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
5 fourierdlem86.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
7 fourierdlem86.v . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
9 fourierdlem86.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11 fourierdlem86.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 fourierdlem86.altb . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 < 𝐡)
15 fourierdlem86.ab . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
17 fourierdlem86.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
18 fourierdlem86.t . . . . . . . 8 𝑇 = ({𝐴, 𝐡} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)))
19 fourierdlem86.n . . . . . . . 8 𝑁 = ((β™―β€˜π‘‡) βˆ’ 1)
20 fourierdlem86.s . . . . . . . 8 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
22 fourierdlem86.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
23 biid 260 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘¦)(,)(π‘„β€˜(𝑦 + 1)))) ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘¦)(,)(π‘„β€˜(𝑦 + 1)))))
243, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23fourierdlem50 45172 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ˆ ∈ (0..^𝑀) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))))
2524simpld 494 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀))
26 id 22 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)))
2724simprd 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))))
2826, 25, 27jca31 514 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))))
29 nfv 1916 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))))
30 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖(π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))
31 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ
32 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))
3330, 31, 32nfif 4559 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))
34 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖 βˆ’
35 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖𝐢
3633, 34, 35nfov 7442 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢)
37 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖 /
38 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(π‘†β€˜(𝑗 + 1))
3936, 37, 38nfov 7442 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1)))
40 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖 Β·
41 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))
4239, 40, 41nfov 7442 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2)))))
4342nfel1 2918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1)))
44 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖(π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ)
45 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…
46 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))
4744, 45, 46nfif 4559 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—))))
4847, 34, 35nfov 7442 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢)
49 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖(π‘†β€˜π‘—)
5048, 37, 49nfov 7442 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—))
51 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))
5250, 40, 51nfov 7442 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑖(((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2)))))
5352nfel1 2918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖(((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))
5443, 53nfan 1901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)))
55 nfv 1916 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)
5654, 55nfan 1901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))
5729, 56nfim 1898 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
58 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)))
5958anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀))))
60 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘ˆ))
61 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (𝑖 + 1) = (π‘ˆ + 1))
6261fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))
6360, 62oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))))
6463sseq2d 4015 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))))
6559, 64anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))))))
6662eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1))))
67 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘ˆ β†’ 𝐿 = β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ)
6866, 67ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘ˆ β†’ if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) = if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))))
6968oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) = (if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢))
7069oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) = ((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))
7170oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) = (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))))
7271eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ↔ (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1)))))
7360eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–) ↔ (π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ)))
74 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘ˆ β†’ 𝑅 = β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…)
7573, 74ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘ˆ β†’ if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) = if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))))
7675oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) = (if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢))
7776oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) = ((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)))
7877oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) = (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))))
7978eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)) ↔ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))))
8072, 79anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ↔ ((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)))))
8180anbi1d 629 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘ˆ β†’ ((((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)) ↔ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))))
8265, 81imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘ˆ β†’ (((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))) ↔ ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))))
83 fourierdlem86.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
84 fourierdlem86.fcn . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
85 fourierdlem86.r . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
86 fourierdlem86.l . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
87 fourierdlem86.n0 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐡))
88 fourierdlem86.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
89 fourierdlem86.o . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / 𝑠) Β· (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
90 eqid 2731 . . . . . . . 8 (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) = (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2)))))
91 eqid 2731 . . . . . . . 8 (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) = (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2)))))
92 biid 260 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
9383, 2, 4, 5, 7, 84, 85, 86, 9, 11, 13, 15, 87, 88, 89, 17, 18, 19, 20, 90, 91, 92fourierdlem76 45198 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)), 𝐿, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–), 𝑅, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
9457, 82, 93vtoclg1f 3556 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (0..^𝑀) β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘ˆ ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘ˆ)(,)(π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)))) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))))
9525, 28, 94sylc 65 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
9695simpld 494 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))))
9796simpld 494 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘ˆ + 1)), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦ŒπΏ, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) Β· ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))
981, 97eqeltrid 2836 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))))
99 fourierdlem86.e . . 3 𝐸 = (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2)))))
10096simprd 495 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((if((π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘ˆ), β¦‹π‘ˆ / π‘–β¦Œπ‘…, (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘†β€˜π‘—)))) βˆ’ 𝐢) / (π‘†β€˜π‘—)) Β· ((π‘†β€˜π‘—) / (2 Β· (sinβ€˜((π‘†β€˜π‘—) / 2))))) ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)))
10199, 100eqeltrid 2836 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐸 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—)))
10295simprd 495 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚))
10398, 101, 102jca31 514 1 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝐷 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜(𝑗 + 1))) ∧ 𝐸 ∈ ((𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) limβ„‚ (π‘†β€˜π‘—))) ∧ (𝑂 β†Ύ ((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π‘—)(,)(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431  β¦‹csb 3894   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  β„©cio 6494  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  β„©crio 7367  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  sincsin 16012  Ο€cpi 16015  β€“cnβ†’ccncf 24617   limβ„‚ climc 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  45225  fourierdlem104  45226
  Copyright terms: Public domain W3C validator