Theorem pythag 26889

Description: Pythagorean theorem. Given three distinct points A, B, and C that form a right triangle (with the right angle at C), prove a relationship between their segment lengths. This theorem is expressed using the complex number plane as a plane, where 𝐹 is the signed angle construct (as used in ang180 26886), 𝑋 is the distance of line segment BC, 𝑌 is the distance of line segment AC, 𝑍 is the distance of line segment AB (the hypotenuse), and 𝑂 is the signed right angle m/_ BCA. We use the law of cosines lawcos 26888 to prove this, along with simple trigonometry facts like coshalfpi 26541 and cosneg 16189. (Contributed by David A. Wheeler, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lawcos.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
lawcos.2	⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
lawcos.3	⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
lawcos.4	⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
lawcos.5	⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
pythag	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑍↑2) = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pythag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lawcos.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2		lawcos.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
3		lawcos.3	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
4		lawcos.4	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
5		lawcos.5	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))
6	1, 2, 3, 4, 5	lawcos 26888	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
7	6	3adant3 1146	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
8		elpri 4607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝑂 = (π / 2) ∨ 𝑂 = -(π / 2)))
9		fveq2 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 = (π / 2) → (cos‘𝑂) = (cos‘(π / 2)))
10		coshalfpi 26541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
11	9, 10	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 = (π / 2) → (cos‘𝑂) = 0)
12		fveq2 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 = -(π / 2) → (cos‘𝑂) = (cos‘-(π / 2)))
13		cosneghalfpi 26542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘-(π / 2)) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 = -(π / 2) → (cos‘𝑂) = 0)
15	11, 14	jaoi 868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 = (π / 2) ∨ 𝑂 = -(π / 2)) → (cos‘𝑂) = 0)
16	8, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝑂) = 0)
17	16	3ad2ant3 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝑂) = 0)
18	17	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = ((𝑋 · 𝑌) · 0))
19		subcl 11440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
20	19	3adant1 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
22	21	abscld 15476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
24	2, 23	eqeltrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → 𝑋 ∈ ℂ)
25		subcl 11440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
26	25	3adant2 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
30	3, 29	eqeltrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → 𝑌 ∈ ℂ)
31	24, 30	mulcld 11213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
32	31	mul01d 11393	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((𝑋 · 𝑌) · 0) = 0)
33	18, 32	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = 0)
34	33	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = (2 · 0))
35		2t0e0 12398	. . . 4 ⊢ (2 · 0) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = 0)
37	36	oveq2d 7412	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − 0))
38	24	sqcld 14167	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39	30	sqcld 14167	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
40	38, 39	addcld 11212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
41	40	subid1d 11542	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − 0) = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
42	7, 37, 41	3eqtrd 2802	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑍↑2) = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  ℂcc 11082  0cc0 11084   + caddc 11087   · cmul 11089   − cmin 11425  -cneg 11426   / cdiv 11855  2c2 12282  ↑cexp 14084  ℑcim 15135  abscabs 15271  cosccos 16104  πcpi 16106  logclog 26626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-addf 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15090  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16107  df-sin 16109  df-cos 16110  df-pi 16112  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-hom 17320  df-cco 17321  df-rest 17461  df-topn 17462  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-topgen 17482  df-pt 17483  df-prds 17486  df-xrs 17542  df-qtop 17547  df-imas 17548  df-xps 17550  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18828  df-mulg 19120  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-fbas 21428  df-fg 21429  df-cnfld 21432  df-top 22961  df-topon 22978  df-topsp 23000  df-bases 23013  df-cld 23086  df-ntr 23087  df-cls 23088  df-nei 23165  df-lp 23203  df-perf 23204  df-cn 23294  df-cnp 23295  df-haus 23382  df-tx 23629  df-hmeo 23822  df-fil 23913  df-fm 24005  df-flim 24006  df-flf 24007  df-xms 24387  df-ms 24388  df-tms 24389  df-cncf 24947  df-limc 25935  df-dv 25936  df-log 26628

This theorem is referenced by:  chordthmlem3  26906