Theorem pythag 27108

Description: Pythagorean theorem. Given three distinct points A, B, and C that form a right triangle (with the right angle at C), prove a relationship between their segment lengths. This theorem is expressed using the complex number plane as a plane, where 𝐹 is the signed angle construct (as used in ang180 27105), 𝑋 is the distance of line segment BC, 𝑌 is the distance of line segment AC, 𝑍 is the distance of line segment AB (the hypotenuse), and 𝑂 is the signed right angle m/_ BCA. We use the law of cosines lawcos 27107 to prove this, along with simple trigonometry facts like coshalfpi 26761 and cosneg 16282. (Contributed by David A. Wheeler, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lawcos.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
lawcos.2	⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
lawcos.3	⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
lawcos.4	⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
lawcos.5	⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
pythag	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑍↑2) = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝑂(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦)   𝑌(𝑥, 𝑦)   𝑍(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem pythag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lawcos.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2		lawcos.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (abs‘(𝐵 − 𝐶))
3		lawcos.3	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (abs‘(𝐴 − 𝐶))
4		lawcos.4	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
5		lawcos.5	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐵 − 𝐶)𝐹(𝐴 − 𝐶))
6	1, 2, 3, 4, 5	lawcos 27107	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
7	6	3adant3 1150	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
8		elpri 4607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝑂 = (π / 2) ∨ 𝑂 = -(π / 2)))
9		fveq2 6873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 = (π / 2) → (cos‘𝑂) = (cos‘(π / 2)))
10		coshalfpi 26761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
11	9, 10	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 = (π / 2) → (cos‘𝑂) = 0)
12		fveq2 6873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 = -(π / 2) → (cos‘𝑂) = (cos‘-(π / 2)))
13		cosneghalfpi 26762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘-(π / 2)) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 = -(π / 2) → (cos‘𝑂) = 0)
15	11, 14	jaoi 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 = (π / 2) ∨ 𝑂 = -(π / 2)) → (cos‘𝑂) = 0)
16	8, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝑂) = 0)
17	16	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝑂) = 0)
18	17	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = ((𝑋 · 𝑌) · 0))
19		subcl 11527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
20	19	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
22	21	abscld 15573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
24	2, 23	eqeltrid 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → 𝑋 ∈ ℂ)
25		subcl 11527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
26	25	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
30	3, 29	eqeltrid 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → 𝑌 ∈ ℂ)
31	24, 30	mulcld 11300	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
32	31	mul01d 11480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((𝑋 · 𝑌) · 0) = 0)
33	18, 32	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = 0)
34	33	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = (2 · 0))
35		2t0e0 12482	. . . 4 ⊢ (2 · 0) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = 0)
37	36	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − 0))
38	24	sqcld 14255	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39	30	sqcld 14255	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
40	38, 39	addcld 11299	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
41	40	subid1d 11629	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − 0) = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
42	7, 37, 41	3eqtrd 2799	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝑂 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (𝑍↑2) = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3895  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  ℂcc 11169  0cc0 11171   + caddc 11174   · cmul 11176   − cmin 11512  -cneg 11513   / cdiv 11942  2c2 12366  ↑cexp 14172  ℑcim 15232  abscabs 15368  cosccos 16197  πcpi 16199  logclog 26845

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ioc 13450  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-fac 14385  df-bc 14414  df-hash 14442  df-shft 15187  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-limsup 15605  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-ef 16200  df-sin 16202  df-cos 16203  df-pi 16205  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-lp 23415  df-perf 23416  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-cncf 25160  df-limc 26147  df-dv 26148  df-log 26847

This theorem is used by:  chordthmlem3  27125