Theorem rplogcld 26691

Description: Closure of the logarithm function in the positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
relogefd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rplogcld.2	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rplogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rplogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogefd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rplogcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
3		rplogcl 26666	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  ℝcr 11072  1c1 11074   < clt 11216  ℝ⁺crp 12993  logclog 26616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-haus 23372  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926  df-log 26618

This theorem is referenced by:  divlogrlim  26697  logno1  26698  logbleb  26845  logblt  26846  cxploglim  27039  cxploglim2  27040  emcllem4  27060  emcllem6  27062  chtge0  27173  isppw  27175  chtwordi  27217  fsumvma2  27275  chpval2  27279  chpchtsum  27280  chpub  27281  bposlem1  27345  chebbnd1lem1  27530  chebbnd1lem3  27532  chebbnd1  27533  chtppilimlem1  27534  chtppilimlem2  27535  chtppilim  27536  chebbnd2  27538  chto1lb  27539  rplogsumlem2  27546  rpvmasumlem  27548  vmalogdivsum2  27599  vmalogdivsum  27600  2vmadivsumlem  27601  chpdifbndlem1  27614  selberg3lem1  27618  selberg3  27620  selberg4lem1  27621  selberg4  27622  selberg3r  27630  selberg4r  27631  selberg34r  27632  pntrlog2bndlem1  27638  pntrlog2bndlem2  27639  pntrlog2bndlem3  27640  pntrlog2bndlem4  27641  pntrlog2bndlem5  27642  pntrlog2bndlem6  27644  pntrlog2bnd  27645  pntibndlem2  27652  pntlemb  27658  pntlemg  27659  pntlemh  27660  pntlemr  27663  pntlemj  27664  pntlemf  27666  pntlemo  27668  pnt  27675  ostth2lem3  27696  ostth2lem4  27697  ostth2  27698  ostth3  27699  hgt750leme  34949  aks4d1p1p7  42688  aks4d1p6  42695