Theorem rplogcld 26626

Description: Closure of the logarithm function in the positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
relogefd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rplogcld.2	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rplogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rplogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogefd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rplogcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
3		rplogcl 26601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  ℝcr 11137  1c1 11139   < clt 11278  ℝ⁺crp 13017  logclog 26551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13374  df-ioc 13375  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-fl 13815  df-mod 13893  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14296  df-bc 14325  df-hash 14353  df-shft 15089  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-limsup 15490  df-clim 15507  df-rlim 15508  df-sum 15706  df-ef 16086  df-sin 16088  df-cos 16089  df-pi 16091  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17443  df-topn 17444  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-topgen 17464  df-pt 17465  df-prds 17468  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18771  df-mulg 19060  df-cntz 19309  df-cmn 19773  df-psmet 21323  df-xmet 21324  df-met 21325  df-bl 21326  df-mopn 21327  df-fbas 21328  df-fg 21329  df-cnfld 21332  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-cld 22992  df-ntr 22993  df-cls 22994  df-nei 23071  df-lp 23109  df-perf 23110  df-cn 23200  df-cnp 23201  df-haus 23288  df-tx 23535  df-hmeo 23728  df-fil 23819  df-fm 23911  df-flim 23912  df-flf 23913  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cncf 24859  df-limc 25856  df-dv 25857  df-log 26553

This theorem is referenced by:  divlogrlim  26632  logno1  26633  logbleb  26781  logblt  26782  cxploglim  26976  cxploglim2  26977  emcllem4  26997  emcllem6  26999  chtge0  27110  isppw  27112  chtwordi  27154  fsumvma2  27213  chpval2  27217  chpchtsum  27218  chpub  27219  bposlem1  27283  chebbnd1lem1  27468  chebbnd1lem3  27470  chebbnd1  27471  chtppilimlem1  27472  chtppilimlem2  27473  chtppilim  27474  chebbnd2  27476  chto1lb  27477  rplogsumlem2  27484  rpvmasumlem  27486  vmalogdivsum2  27537  vmalogdivsum  27538  2vmadivsumlem  27539  chpdifbndlem1  27552  selberg3lem1  27556  selberg3  27558  selberg4lem1  27559  selberg4  27560  selberg3r  27568  selberg4r  27569  selberg34r  27570  pntrlog2bndlem1  27576  pntrlog2bndlem2  27577  pntrlog2bndlem3  27578  pntrlog2bndlem4  27579  pntrlog2bndlem5  27580  pntrlog2bndlem6  27582  pntrlog2bnd  27583  pntibndlem2  27590  pntlemb  27596  pntlemg  27597  pntlemh  27598  pntlemr  27601  pntlemj  27602  pntlemf  27604  pntlemo  27606  pnt  27613  ostth2lem3  27634  ostth2lem4  27635  ostth2  27636  ostth3  27637  hgt750leme  34614  aks4d1p1p7  42016  aks4d1p6  42023