Theorem rplogcld 26388

Description: Closure of the logarithm function in the positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
relogefd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rplogcld.2	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rplogcld	⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rplogcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogefd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rplogcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
3		rplogcl 26363	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  ℝcr 11115  1c1 11117   < clt 11255  ℝ⁺crp 12981  logclog 26314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-mulg 18991  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-fg 21146  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-lp 22873  df-perf 22874  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-haus 23052  df-tx 23299  df-hmeo 23492  df-fil 23583  df-fm 23675  df-flim 23676  df-flf 23677  df-xms 24059  df-ms 24060  df-tms 24061  df-cncf 24631  df-limc 25628  df-dv 25629  df-log 26316

This theorem is referenced by:  divlogrlim  26394  logno1  26395  logbleb  26539  logblt  26540  cxploglim  26733  cxploglim2  26734  emcllem4  26754  emcllem6  26756  chtge0  26867  isppw  26869  chtwordi  26911  fsumvma2  26968  chpval2  26972  chpchtsum  26973  chpub  26974  bposlem1  27038  chebbnd1lem1  27223  chebbnd1lem3  27225  chebbnd1  27226  chtppilimlem1  27227  chtppilimlem2  27228  chtppilim  27229  chebbnd2  27231  chto1lb  27232  rplogsumlem2  27239  rpvmasumlem  27241  vmalogdivsum2  27292  vmalogdivsum  27293  2vmadivsumlem  27294  chpdifbndlem1  27307  selberg3lem1  27311  selberg3  27313  selberg4lem1  27314  selberg4  27315  selberg3r  27323  selberg4r  27324  selberg34r  27325  pntrlog2bndlem1  27331  pntrlog2bndlem2  27332  pntrlog2bndlem3  27333  pntrlog2bndlem4  27334  pntrlog2bndlem5  27335  pntrlog2bndlem6  27337  pntrlog2bnd  27338  pntibndlem2  27345  pntlemb  27351  pntlemg  27352  pntlemh  27353  pntlemr  27356  pntlemj  27357  pntlemf  27359  pntlemo  27361  pnt  27368  ostth2lem3  27389  ostth2lem4  27390  ostth2  27391  ostth3  27392  hgt750leme  33983  aks4d1p1p7  41258  aks4d1p6  41265