Theorem jm2.27b 42458

Description: Lemma for jm2.27 42460. Expand existential quantifiers for reverse direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11	⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12	⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a14	⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15	⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
jm2.27a17	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
jm2.27a19	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
jm2.27a20	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
jm2.27b	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27b

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27a11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
2		jm2.27a1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
3		jm2.27a4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
4		jm2.27a3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6		rmxycomplete 42369	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝))))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝))))
8	1, 7	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℤ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))
9		jm2.27a12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
10	9	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
11	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
12		jm2.27a6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
13	12	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐹 ∈ ℕ0)
14		jm2.27a5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12622	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
16	15	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐸 ∈ ℤ)
17		rmxycomplete 42369	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))))
18	11, 13, 16, 17	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → (((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))))
19	10, 18	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → ∃𝑞 ∈ ℤ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))
20		jm2.27a14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
21	20	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
22		jm2.27a13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
24		jm2.27a9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
25	24	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
26		jm2.27a8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
27	26	nn0zd 12622	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
28	27	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → 𝐻 ∈ ℤ)
29		rmxycomplete 42369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℤ) → (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ↔ ∃𝑟 ∈ ℤ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟))))
30	23, 25, 28, 29	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ↔ ∃𝑟 ∈ ℤ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟))))
31	21, 30	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → ∃𝑟 ∈ ℤ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))
32	2	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
33		jm2.27a2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
34	33	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
35	4	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
36	3	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐷 ∈ ℕ0)
37	14	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐸 ∈ ℕ0)
38	12	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐹 ∈ ℕ0)
39		jm2.27a7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
40	39	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐺 ∈ ℕ0)
41	26	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐻 ∈ ℕ0)
42	24	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
43		jm2.27a10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
44	43	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐽 ∈ ℕ0)
45	1	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
46	9	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
47	22	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
48	20	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
49		jm2.27a15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
50	49	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
51		jm2.27a16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
52	51	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
53		jm2.27a17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
54	53	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
55		jm2.27a18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
56	55	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
57		jm2.27a19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
58	57	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
59		jm2.27a20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
60	59	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
61		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝑝 ∈ ℤ)
62	61	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝑝 ∈ ℤ)
63		simprrl 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝))
64	63	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝))
65		simprrr 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝))
66	65	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝))
67		simplrl 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℤ)
68		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))) → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞))
69	68	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞))
70		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))) → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))
71	70	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))
72		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℤ)
73		simprrl 779	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟))
74		simprrr 780	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟))
75	32, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 67, 69, 71, 72, 73, 74	jm2.27a 42457	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
76	31, 75	rexlimddv 3158	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
77	19, 76	rexlimddv 3158	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
78	8, 77	rexlimddv 3158	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   ≤ cle 11287   − cmin 11482  ℕcn 12250  2c2 12305  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ↑cexp 14066   ∥ cdvds 16238   X_rm crmx 42351   Y_rm crmy 42352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-numer 16714  df-denom 16715  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-squarenn 42292  df-pell1qr 42293  df-pell14qr 42294  df-pell1234qr 42295  df-pellfund 42296  df-rmx 42353  df-rmy 42354

This theorem is referenced by:  jm2.27  42460