Theorem jm2.27b 43766

Description: Lemma for jm2.27 43768. Expand existential quantifiers for reverse direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11	⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12	⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a14	⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15	⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
jm2.27a17	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
jm2.27a19	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
jm2.27a20	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
jm2.27b	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27b

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27a11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
2		jm2.27a1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
3		jm2.27a4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
4		jm2.27a3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6		rmxycomplete 43677	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝))))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝))))
8	1, 7	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℤ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))
9		jm2.27a12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
11	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
12		jm2.27a6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐹 ∈ ℕ0)
14		jm2.27a5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12627	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐸 ∈ ℤ)
17		rmxycomplete 43677	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))))
18	11, 13, 16, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → (((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1 ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))))
19	10, 18	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → ∃𝑞 ∈ ℤ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))
20		jm2.27a14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
21	20	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
22		jm2.27a13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
24		jm2.27a9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
26		jm2.27a8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
27	26	nn0zd 12627	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
28	27	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → 𝐻 ∈ ℤ)
29		rmxycomplete 43677	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℤ) → (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ↔ ∃𝑟 ∈ ℤ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟))))
30	23, 25, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → (((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1 ↔ ∃𝑟 ∈ ℤ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟))))
31	21, 30	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → ∃𝑟 ∈ ℤ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))
32	2	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
33		jm2.27a2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
34	33	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
35	4	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
36	3	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐷 ∈ ℕ0)
37	14	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐸 ∈ ℕ0)
38	12	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐹 ∈ ℕ0)
39		jm2.27a7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
40	39	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐺 ∈ ℕ0)
41	26	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐻 ∈ ℕ0)
42	24	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
43		jm2.27a10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
44	43	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐽 ∈ ℕ0)
45	1	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
46	9	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
47	22	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
48	20	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
49		jm2.27a15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
50	49	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
51		jm2.27a16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
52	51	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
53		jm2.27a17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
54	53	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
55		jm2.27a18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
56	55	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
57		jm2.27a19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
58	57	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
59		jm2.27a20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
60	59	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
61		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝑝 ∈ ℤ)
62	61	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝑝 ∈ ℤ)
63		simprrl 793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝))
64	63	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝))
65		simprrr 794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝))
66	65	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝))
67		simplrl 789	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝑞 ∈ ℤ)
68		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))) → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞))
69	68	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞))
70		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))) → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))
71	70	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞))
72		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝑟 ∈ ℤ)
73		simprrl 793	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟))
74		simprrr 794	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟))
75	32, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 67, 69, 71, 72, 73, 74	jm2.27a 43765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑟) ∧ 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑟)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
76	31, 75	rexlimddv 3174	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑞) ∧ 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑞)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
77	19, 76	rexlimddv 3174	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑝) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑝)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
78	8, 77	rexlimddv 3174	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   ≤ cle 11255   − cmin 11452  ℕcn 12244  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ↑cexp 14111   ∥ cdvds 16328   X_rm crmx 43660   Y_rm crmy 43661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-sin 16141  df-cos 16142  df-pi 16144  df-dvds 16329  df-gcd 16571  df-prm 16748  df-numer 16812  df-denom 16813  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-mulg 19158  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-fil 24034  df-fm 24126  df-flim 24127  df-flf 24128  df-xms 24508  df-ms 24509  df-tms 24510  df-cncf 25068  df-limc 26056  df-dv 26057  df-log 26752  df-squarenn 43601  df-pell1qr 43602  df-pell14qr 43603  df-pell1234qr 43604  df-pellfund 43605  df-rmx 43662  df-rmy 43663

This theorem is used by:  jm2.27  43768