Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27 41081
Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 41078 and jm2.27c 41080. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.27 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗   𝐵,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗

Proof of Theorem jm2.27
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
2 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
3 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
4 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐴 Xrm 𝐵) = (𝐴 Xrm 𝐵)
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) = (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))
7 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))
8 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))
9 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))
10 eqid 2736 . . . . . . 7 ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)
11 eqid 2736 . . . . . . 7 ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)
12 eqid 2736 . . . . . . 7 (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12jm2.27c 41080 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)) ∧ ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))))
1413simpld 495 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → (((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)))
1514simpld 495 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0))
1614simprd 496 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0))
1713simprd 496 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
18 oveq1 7336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (𝑗 + 1) = ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
1918oveq1d 7344 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
2019eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
21203anbi2d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
2221anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
2322anbi1d 630 . . . . . . 7 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
2423rspcev 3570 . . . . . 6 (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
2517, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
26 eleq1 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)))
27263anbi3d 1441 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2))))
28 oveq1 7336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔↑2) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2))
2928oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑔↑2) − 1) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1))
3029oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑔↑2) − 1) · (↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2)))
3130oveq2d 7345 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))))
3231eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1))
33 oveq1 7336 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔𝐴) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))
3433breq2d 5101 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))
3532, 343anbi13d 1437 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
3627, 35anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
37 oveq1 7336 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 1) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1))
3837breq2d 5101 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ↔ (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1)))
3938anbi1d 630 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶))))
4039anbi1d 630 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
4136, 40anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
4241rexbidv 3171 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
43 oveq1 7336 . . . . . . . . . . . . 13 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))
4443oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . 12 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2)))
4544oveq2d 7345 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))))
4645eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1))
47463anbi1d 1439 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
4847anbi2d 629 . . . . . . . 8 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
49 oveq1 7336 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (𝐶) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶))
5049breq2d 5101 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)))
5150anbi2d 629 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶))))
52 oveq1 7336 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (𝐵) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵))
5352breq2d 5101 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ↔ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵)))
5453anbi1d 630 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))
5551, 54anbi12d 631 . . . . . . . 8 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
5648, 55anbi12d 631 . . . . . . 7 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
5756rexbidv 3171 . . . . . 6 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
58 oveq1 7336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (𝑖↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2))
5958oveq1d 7344 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))))
6059eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ↔ ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1))
61603anbi1d 1439 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
6261anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
6362anbi1d 630 . . . . . . 7 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
6463rexbidv 3171 . . . . . 6 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
6542, 57, 64rspc3ev 3583 . . . . 5 ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
6616, 25, 65syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
67 oveq1 7336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (𝑑↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐵)↑2))
6867oveq1d 7344 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))))
6968eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1))
70693anbi1d 1439 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
7170anbi1d 630 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)))))
7271anbi1d 630 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
73722rexbidv 3209 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
74732rexbidv 3209 . . . . 5 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
75 oveq1 7336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑒↑2) = ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))
7675oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2)))
7776oveq2d 7345 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))))
7877eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ↔ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1))
79783anbi2d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
80 eqeq1 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
81803anbi2d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))))
8279, 81anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)))))
8382anbi1d 630 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
84832rexbidv 3209 . . . . . 6 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
85842rexbidv 3209 . . . . 5 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
86 oveq1 7336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓↑2) = ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))
8786oveq1d 7344 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))))
8887eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1))
89883anbi2d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
90 breq1 5092 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝑔𝐴) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)))
91903anbi3d 1441 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))))
9289, 91anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)))))
93 breq1 5092 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝐶) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)))
9493anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶))))
9594anbi1d 630 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
9692, 95anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
97962rexbidv 3209 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
98972rexbidv 3209 . . . . 5 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
9974, 85, 98rspc3ev 3583 . . . 4 ((((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
10015, 66, 99syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
101100ex 413 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
102 simpll1 1211 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
103102ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
104 simpll2 1212 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
105104ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
106 simpll3 1213 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℕ)
107106ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
108 simplrl 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑑 ∈ ℕ0)
109108ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
110 simplrr 775 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑒 ∈ ℕ0)
111110ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
112 simprl 768 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑓 ∈ ℕ0)
113112ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∈ ℕ0)
114 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑔 ∈ ℕ0)
115114ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑔 ∈ ℕ0)
116 simprl 768 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → ∈ ℕ0)
117116ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∈ ℕ0)
118 simprr 770 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
119118ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
120 simplr 766 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
121 simp2l1 1271 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
1221213expb 1119 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
123 simp2l2 1272 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
1241233expb 1119 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
125 simp2l3 1273 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
1261253expb 1119 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
127 simp2r1 1274 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1)
1281273expb 1119 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1)
129 simp2r2 1275 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
1301293expb 1119 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
131 simp2r3 1276 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))
1321313expb 1119 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))
133 simp3ll 1243 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
1341333expb 1119 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
135 simp3lr 1244 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝐶))
1361353expb 1119 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝐶))
137 simp3rl 1245 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵))
1381373expb 1119 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵))
139 simp3rr 1246 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐵𝐶)
1401393expb 1119 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐵𝐶)
141103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140jm2.27b 41079 . . . . . 6 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
142141rexlimdva2 3150 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
143142rexlimdvva 3201 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → (∃ ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
144143rexlimdvva 3201 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
145144rexlimdvva 3201 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
146101, 145impbid 211 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3070   class class class wbr 5089  cfv 6473  (class class class)co 7329  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969  cle 11103  cmin 11298   / cdiv 11725  cn 12066  2c2 12121  0cn0 12326  cuz 12675  cexp 13875  cdvds 16054   Xrm crmx 40972   Yrm crmy 40973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-oadd 8363  df-omul 8364  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-acn 9791  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-xnn0 12399  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ioc 13177  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-fac 14081  df-bc 14110  df-hash 14138  df-shft 14869  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-limsup 15271  df-clim 15288  df-rlim 15289  df-sum 15489  df-ef 15868  df-sin 15870  df-cos 15871  df-pi 15873  df-dvds 16055  df-gcd 16293  df-prm 16466  df-numer 16528  df-denom 16529  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-fbas 20692  df-fg 20693  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-nei 22347  df-lp 22385  df-perf 22386  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-haus 22564  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-fil 23095  df-fm 23187  df-flim 23188  df-flf 23189  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-cncf 24139  df-limc 25128  df-dv 25129  df-log 25810  df-squarenn 40913  df-pell1qr 40914  df-pell14qr 40915  df-pell1234qr 40916  df-pellfund 40917  df-rmx 40974  df-rmy 40975
This theorem is referenced by:  rmydioph  41087
  Copyright terms: Public domain W3C validator