Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27 42460
Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 42457 and jm2.27c 42459. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.27 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘‘,๐‘’,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—   ๐ต,๐‘‘,๐‘’,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—   ๐ถ,๐‘‘,๐‘’,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—

Proof of Theorem jm2.27
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
3 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
4 simpr 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต))
5 eqid 2728 . . . . . . 7 (๐ด Xrm ๐ต) = (๐ด Xrm ๐ต)
6 eqid 2728 . . . . . . 7 (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)) = (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))
7 eqid 2728 . . . . . . 7 (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))
8 eqid 2728 . . . . . . 7 (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))
9 eqid 2728 . . . . . . 7 (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))
10 eqid 2728 . . . . . . 7 ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)
11 eqid 2728 . . . . . . 7 ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)
12 eqid 2728 . . . . . . 7 (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12jm2.27c 42459 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0)) โˆง ((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))))
1413simpld 493 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ (((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0)))
1514simpld 493 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0))
1614simprd 494 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0))
1713simprd 494 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
18 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ (๐‘— + 1) = ((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1))
1918oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
2019eqeq2d 2739 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โ†” (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2)))))
21203anbi2d 1437 . . . . . . . . 9 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)) โ†” (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
2221anbi2d 628 . . . . . . . 8 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
2322anbi1d 629 . . . . . . 7 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
2423rspcev 3611 . . . . . 6 (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
2517, 24syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
26 eleq1 2817 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
27263anbi3d 1438 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
28 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘”โ†‘2) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2))
2928oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1))
3029oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2)) = ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2)))
3130oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))))
3231eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1))
33 oveq1 7433 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘” โˆ’ ๐ด) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))
3433breq2d 5164 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))
3532, 343anbi13d 1434 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
3627, 35anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
37 oveq1 7433 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘” โˆ’ 1) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1))
3837breq2d 5164 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โ†” (2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1)))
3938anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))))
4039anbi1d 629 . . . . . . . 8 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)) โ†” (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
4136, 40anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
4241rexbidv 3176 . . . . . 6 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
43 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โ„Žโ†‘2) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))
4443oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2)) = ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2)))
4544oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))))
4645eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1))
47463anbi1d 1436 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
4847anbi2d 628 . . . . . . . 8 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
49 oveq1 7433 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ))
5049breq2d 5164 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)))
5150anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ))))
52 oveq1 7433 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต))
5352breq2d 5164 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โ†” (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต)))
5453anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))
5551, 54anbi12d 630 . . . . . . . 8 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)) โ†” (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
5648, 55anbi12d 630 . . . . . . 7 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
5756rexbidv 3176 . . . . . 6 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
58 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (๐‘–โ†‘2) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2))
5958oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))))
6059eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โ†” ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1))
61603anbi1d 1436 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)) โ†” (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
6261anbi2d 628 . . . . . . . 8 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
6362anbi1d 629 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
6463rexbidv 3176 . . . . . 6 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
6542, 57, 64rspc3ev 3628 . . . . 5 ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
6616, 25, 65syl2anc 582 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
67 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (๐‘‘โ†‘2) = ((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2))
6867oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ ((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = (((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))))
6968eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โ†” (((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1))
70693anbi1d 1436 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
7170anbi1d 629 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))))
7271anbi1d 629 . . . . . . 7 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ ((((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
73722rexbidv 3217 . . . . . 6 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
74732rexbidv 3217 . . . . 5 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
75 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘’โ†‘2) = ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))
7675oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2)))
7776oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))))
7877eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1))
79783anbi2d 1437 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
80 eqeq1 2732 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โ†” (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2)))))
81803anbi2d 1437 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))))
8279, 81anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))))
8382anbi1d 629 . . . . . . 7 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
84832rexbidv 3217 . . . . . 6 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
85842rexbidv 3217 . . . . 5 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
86 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘“โ†‘2) = ((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))
8786oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))))
8887eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โ†” (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1))
89883anbi2d 1437 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
90 breq1 5155 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))
91903anbi3d 1438 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))))
9289, 91anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))))
93 breq1 5155 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)))
9493anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))))
9594anbi1d 629 . . . . . . . 8 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)) โ†” (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
9692, 95anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
97962rexbidv 3217 . . . . . 6 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
98972rexbidv 3217 . . . . 5 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
9974, 85, 98rspc3ev 3628 . . . 4 ((((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
10015, 66, 99syl2anc 582 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
101100ex 411 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
102 simpll1 1209 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
103102ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
104 simpll2 1210 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
105104ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
106 simpll3 1211 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
107106ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
108 simplrl 775 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
109108ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
110 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„•0)
111110ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„•0)
112 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„•0)
113112ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„•0)
114 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘” โˆˆ โ„•0)
115114ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘” โˆˆ โ„•0)
116 simprl 769 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„•0)
117116ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„•0)
118 simprr 771 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
119118ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
120 simplr 767 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
121 simp2l1 1269 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1)
1221213expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1)
123 simp2l2 1270 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1)
1241233expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1)
125 simp2l3 1271 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
1261253expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
127 simp2r1 1272 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1)
1281273expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1)
129 simp2r2 1273 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
1301293expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
131 simp2r3 1274 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))
1321313expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))
133 simp3ll 1241 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1))
1341333expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1))
135 simp3lr 1242 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))
1361353expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))
137 simp3rl 1243 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต))
1381373expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต))
139 simp3rr 1244 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
1401393expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
141103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140jm2.27b 42458 . . . . . 6 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต))
142141rexlimdva2 3154 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
143142rexlimdvva 3209 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
144143rexlimdvva 3209 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
145144rexlimdvva 3209 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
146101, 145impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„•0cn0 12510  โ„คโ‰ฅcuz 12860  โ†‘cexp 14066   โˆฅ cdvds 16238   Xrm crmx 42351   Yrm crmy 42352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-numer 16714  df-denom 16715  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-squarenn 42292  df-pell1qr 42293  df-pell14qr 42294  df-pell1234qr 42295  df-pellfund 42296  df-rmx 42353  df-rmy 42354
This theorem is referenced by:  rmydioph  42466
  Copyright terms: Public domain W3C validator