jm2.27 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > jm2.27		Structured version Visualization version GIF version

Theorem jm2.27 43545

Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 43542 and jm2.27c 43544. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.27	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗 𝐵,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗 𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗

**Proof of Theorem jm2.27**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		simpl2 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
3		simpl3 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
4		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵))
5		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 X_rm 𝐵) = (𝐴 X_rm 𝐵)
6		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)) = (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))
7		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))
8		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))
10		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)
11		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)
12		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	jm2.27c 43544	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀)) ∧ ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))))
14	13	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → (((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀)))
15	14	simpld 498	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀))
16	14	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀))
17	13	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
18		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (𝑗 + 1) = ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
19	18	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
20	19	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
21	20	3anbi2d 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
22	21	anbi2d 639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
23	22	anbi1d 640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
24	23	rspcev 3580	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
25	17, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
26		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)))
27	26	3anbi3d 1462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2))))
28		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔↑2) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2))
29	28	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑔↑2) − 1) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1))
30	29	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2)))
31	30	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))))
32	31	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1))
33		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 𝐴) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))
34	33	breq2d 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))
35	32, 34	3anbi13d 1458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
36	27, 35	anbi12d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
37		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 1) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1))
38	37	breq2d 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ↔ (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1)))
39	38	anbi1d 640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶))))
40	39	anbi1d 640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
41	36, 40	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
42	41	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
43		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))
44	43	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2)))
45	44	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))))
46	45	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1))
47	46	3anbi1d 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
48	47	anbi2d 639	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
49		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ − 𝐶) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶))
50	49	breq2d 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)))
51	50	anbi2d 639	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶))))
52		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ − 𝐵) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵))
53	52	breq2d 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ↔ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵)))
54	53	anbi1d 640	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
55	51, 54	anbi12d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
56	48, 55	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
57	56	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
58		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (𝑖↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2))
59	58	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))))
60	59	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ↔ ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1))
61	60	3anbi1d 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
62	61	anbi2d 639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
63	62	anbi1d 640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
64	63	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
65	42, 57, 64	rspc3ev 3597	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
66	16, 25, 65	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
67		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (𝑑↑2) = ((𝐴 X_rm 𝐵)↑2))
68	67	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))))
69	68	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1))
70	69	3anbi1d 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
71	70	anbi1d 640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
72	71	anbi1d 640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
73	72	2rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
74	73	2rexbidv 3226	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
75		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑒↑2) = ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))
76	75	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2)))
77	76	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))))
78	77	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ↔ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1))
79	78	3anbi2d 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
80		eqeq1 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
81	80	3anbi2d 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))))
82	79, 81	anbi12d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
83	82	anbi1d 640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
84	83	2rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
85	84	2rexbidv 3226	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
86		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓↑2) = ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))
87	86	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))))
88	87	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1))
89	88	3anbi2d 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
90		breq1 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)))
91	90	3anbi3d 1462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))))
92	89, 91	anbi12d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
93		breq1 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)))
94	93	anbi2d 639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶))))
95	94	anbi1d 640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
96	92, 95	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
97	96	2rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
98	97	2rexbidv 3226	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
99	74, 85, 98	rspc3ev 3597	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
100	15, 66, 99	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
101	100	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
102		simpll1 1225	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
103	102	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
104		simpll2 1226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐵 ∈ ℕ)
105	104	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
106		simpll3 1227	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐶 ∈ ℕ)
107	106	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
108		simplrl 786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑑 ∈ ℕ₀)
109	108	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑑 ∈ ℕ₀)
110		simplrr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑒 ∈ ℕ₀)
111	110	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑒 ∈ ℕ₀)
112		simprl 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑓 ∈ ℕ₀)
113	112	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∈ ℕ₀)
114		simprr 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑔 ∈ ℕ₀)
115	114	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑔 ∈ ℕ₀)
116		simprl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → ℎ ∈ ℕ₀)
117	116	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ℎ ∈ ℕ₀)
118		simprr 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
119	118	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
120		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
121		simp2l1 1285	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
122	121	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
123		simp2l2 1286	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
124	123	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
125		simp2l3 1287	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))
126	125	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))
127		simp2r1 1288	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1)
128	127	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1)
129		simp2r2 1289	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
130	129	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
131		simp2r3 1290	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))
132	131	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))
133		simp3ll 1257	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
134	133	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
135		simp3lr 1258	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶))
136	135	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶))
137		simp3rl 1259	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵))
138	137	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵))
139		simp3rr 1260	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
140	139	3expb 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
141	103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140	jm2.27b 43543	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵))
142	141	rexlimdva2 3164	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
143	142	rexlimdvva 3218	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → (∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
144	143	rexlimdvva 3218	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
145	144	rexlimdvva 3218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
146	101, 145	impbid 214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∧ w3a 1097 = wceq 1559 ∈ wcel 2141 ∃wrex 3085 class class class wbr 5097 ‘cfv 6515 (class class class)co 7390 1c1 11067 + caddc 11069 · cmul 11071 ≤ cle 11210 − cmin 11407 / cdiv 11837 ℕcn 12203 2c2 12265 ℕ₀cn0 12474 ℤ_≥cuz 12832 ↑cexp 14067 ∥ cdvds 16276 X_rm crmx 43437 Y_rm crmy 43438

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-rep 5224 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5319 ax-pr 5387 ax-un 7712 ax-inf2 9589 ax-cnex 11122 ax-resscn 11123 ax-1cn 11124 ax-icn 11125 ax-addcl 11126 ax-addrcl 11127 ax-mulcl 11128 ax-mulrcl 11129 ax-mulcom 11130 ax-addass 11131 ax-mulass 11132 ax-distr 11133 ax-i2m1 11134 ax-1ne0 11135 ax-1rid 11136 ax-rnegex 11137 ax-rrecex 11138 ax-cnre 11139 ax-pre-lttri 11140 ax-pre-lttrn 11141 ax-pre-ltadd 11142 ax-pre-mulgt0 11143 ax-pre-sup 11144 ax-addf 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4580 df-pr 4582 df-tp 4584 df-op 4586 df-uni 4863 df-int 4903 df-iun 4948 df-iin 4949 df-br 5098 df-opab 5160 df-mpt 5179 df-tr 5205 df-id 5538 df-eprel 5543 df-po 5551 df-so 5552 df-fr 5596 df-se 5597 df-we 5598 df-xp 5649 df-rel 5650 df-cnv 5651 df-co 5652 df-dm 5653 df-rn 5654 df-res 5655 df-ima 5656 df-pred 6282 df-ord 6343 df-on 6344 df-lim 6345 df-suc 6346 df-iota 6471 df-fun 6517 df-fn 6518 df-f 6519 df-f1 6520 df-fo 6521 df-f1o 6522 df-fv 6523 df-isom 6524 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7654 df-om 7841 df-1st 7964 df-2nd 7965 df-supp 8134 df-frecs 8255 df-wrecs 8286 df-recs 8335 df-rdg 8374 df-1o 8430 df-2o 8431 df-oadd 8434 df-omul 8435 df-er 8671 df-map 8803 df-pm 8804 df-ixp 8873 df-en 8921 df-dom 8922 df-sdom 8923 df-fin 8924 df-fsupp 9301 df-fi 9350 df-sup 9381 df-inf 9382 df-oi 9451 df-card 9890 df-acn 9893 df-pnf 11211 df-mnf 11212 df-xr 11213 df-ltxr 11214 df-le 11215 df-sub 11409 df-neg 11410 df-div 11838 df-nn 12204 df-2 12273 df-3 12274 df-4 12275 df-5 12276 df-6 12277 df-7 12278 df-8 12279 df-9 12280 df-n0 12475 df-xnn0 12548 df-z 12562 df-dec 12682 df-uz 12833 df-q 12943 df-rp 12987 df-xneg 13107 df-xadd 13108 df-xmul 13109 df-ioo 13346 df-ioc 13347 df-ico 13348 df-icc 13349 df-fz 13506 df-fzo 13653 df-fl 13795 df-mod 13873 df-seq 14008 df-exp 14068 df-fac 14280 df-bc 14309 df-hash 14337 df-shft 15073 df-cj 15116 df-re 15117 df-im 15118 df-sqrt 15252 df-abs 15253 df-limsup 15488 df-clim 15505 df-rlim 15506 df-sum 15704 df-ef 16087 df-sin 16089 df-cos 16090 df-pi 16092 df-dvds 16277 df-gcd 16519 df-prm 16696 df-numer 16760 df-denom 16761 df-struct 17173 df-sets 17190 df-slot 17208 df-ndx 17220 df-base 17236 df-ress 17257 df-plusg 17289 df-mulr 17290 df-starv 17291 df-sca 17292 df-vsca 17293 df-ip 17294 df-tset 17295 df-ple 17296 df-ds 17298 df-unif 17299 df-hom 17300 df-cco 17301 df-rest 17441 df-topn 17442 df-0g 17460 df-gsum 17461 df-topgen 17462 df-pt 17463 df-prds 17466 df-xrs 17522 df-qtop 17527 df-imas 17528 df-xps 17530 df-mre 17604 df-mrc 17605 df-acs 17607 df-mgm 18664 df-sgrp 18743 df-mnd 18759 df-submnd 18808 df-mulg 19100 df-cntz 19347 df-cmn 19812 df-psmet 21403 df-xmet 21404 df-met 21405 df-bl 21406 df-mopn 21407 df-fbas 21408 df-fg 21409 df-cnfld 21412 df-top 22941 df-topon 22958 df-topsp 22980 df-bases 22993 df-cld 23066 df-ntr 23067 df-cls 23068 df-nei 23145 df-lp 23183 df-perf 23184 df-cn 23274 df-cnp 23275 df-haus 23362 df-tx 23609 df-hmeo 23802 df-fil 23893 df-fm 23985 df-flim 23986 df-flf 23987 df-xms 24367 df-ms 24368 df-tms 24369 df-cncf 24927 df-limc 25915 df-dv 25916 df-log 26608 df-squarenn 43378 df-pell1qr 43379 df-pell14qr 43380 df-pell1234qr 43381 df-pellfund 43382 df-rmx 43439 df-rmy 43440

This theorem is referenced by: rmydioph 43551

W3C validator