jm2.27 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > jm2.27		Structured version Visualization version GIF version

Theorem jm2.27 43994

Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 43991 and jm2.27c 43993. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.27	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗 𝐵,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗 𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗

**Proof of Theorem jm2.27**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
3		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵))
5		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 X_rm 𝐵) = (𝐴 X_rm 𝐵)
6		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)) = (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))
7		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))
8		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))
10		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)
11		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)
12		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	jm2.27c 43993	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀)) ∧ ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))))
14	13	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → (((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀)))
15	14	simpld 500	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀))
16	14	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀))
17	13	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
18		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (𝑗 + 1) = ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
19	18	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
20	19	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
21	20	3anbi2d 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
22	21	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
23	22	anbi1d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
24	23	rspcev 3577	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
25	17, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
26		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)))
27	26	3anbi3d 1470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2))))
28		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔↑2) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2))
29	28	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑔↑2) − 1) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1))
30	29	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2)))
31	30	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))))
32	31	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1))
33		oveq1 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 𝐴) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))
34	33	breq2d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))
35	32, 34	3anbi13d 1466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
36	27, 35	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
37		oveq1 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 1) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1))
38	37	breq2d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ↔ (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1)))
39	38	anbi1d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶))))
40	39	anbi1d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
41	36, 40	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
42	41	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
43		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))
44	43	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2)))
45	44	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))))
46	45	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1))
47	46	3anbi1d 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
48	47	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
49		oveq1 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ − 𝐶) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶))
50	49	breq2d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)))
51	50	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶))))
52		oveq1 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ − 𝐵) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵))
53	52	breq2d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ↔ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵)))
54	53	anbi1d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
55	51, 54	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
56	48, 55	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
57	56	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
58		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (𝑖↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2))
59	58	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))))
60	59	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ↔ ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1))
61	60	3anbi1d 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
62	61	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
63	62	anbi1d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
64	63	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
65	42, 57, 64	rspc3ev 3593	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
66	16, 25, 65	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
67		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (𝑑↑2) = ((𝐴 X_rm 𝐵)↑2))
68	67	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))))
69	68	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1))
70	69	3anbi1d 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
71	70	anbi1d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
72	71	anbi1d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
73	72	2rexbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
74	73	2rexbidv 3228	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
75		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑒↑2) = ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))
76	75	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2)))
77	76	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))))
78	77	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ↔ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1))
79	78	3anbi2d 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
80		eqeq1 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
81	80	3anbi2d 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))))
82	79, 81	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
83	82	anbi1d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
84	83	2rexbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
85	84	2rexbidv 3228	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
86		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓↑2) = ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))
87	86	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))))
88	87	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1))
89	88	3anbi2d 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
90		breq1 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)))
91	90	3anbi3d 1470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))))
92	89, 91	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
93		breq1 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)))
94	93	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶))))
95	94	anbi1d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
96	92, 95	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
97	96	2rexbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
98	97	2rexbidv 3228	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
99	74, 85, 98	rspc3ev 3593	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
100	15, 66, 99	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
101	100	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
102		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
103	102	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
104		simpll2 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐵 ∈ ℕ)
105	104	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
106		simpll3 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐶 ∈ ℕ)
107	106	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
108		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑑 ∈ ℕ₀)
109	108	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑑 ∈ ℕ₀)
110		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑒 ∈ ℕ₀)
111	110	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑒 ∈ ℕ₀)
112		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑓 ∈ ℕ₀)
113	112	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∈ ℕ₀)
114		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑔 ∈ ℕ₀)
115	114	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑔 ∈ ℕ₀)
116		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → ℎ ∈ ℕ₀)
117	116	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ℎ ∈ ℕ₀)
118		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
119	118	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
120		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
121		simp2l1 1291	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
122	121	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
123		simp2l2 1292	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
124	123	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
125		simp2l3 1293	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))
126	125	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))
127		simp2r1 1294	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1)
128	127	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1)
129		simp2r2 1295	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
130	129	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
131		simp2r3 1296	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))
132	131	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))
133		simp3ll 1263	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
134	133	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
135		simp3lr 1264	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶))
136	135	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶))
137		simp3rl 1265	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵))
138	137	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵))
139		simp3rr 1266	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
140	139	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
141	103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140	jm2.27b 43992	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵))
142	141	rexlimdva2 3166	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
143	142	rexlimdvva 3220	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → (∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
144	143	rexlimdvva 3220	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
145	144	rexlimdvva 3220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
146	101, 145	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ∃wrex 3087 class class class wbr 5103 ‘cfv 6537 (class class class)co 7418 1c1 11194 + caddc 11196 · cmul 11198 ≤ cle 11337 − cmin 11534 / cdiv 11966 ℕcn 12328 2c2 12390 ℕ₀cn0 12599 ℤ_≥cuz 12958 ↑cexp 14197 ∥ cdvds 16415 X_rm crmx 43886 Y_rm crmy 43887

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7749 ax-inf2 9635 ax-cnex 11249 ax-resscn 11250 ax-1cn 11251 ax-icn 11252 ax-addcl 11253 ax-addrcl 11254 ax-mulcl 11255 ax-mulrcl 11256 ax-mulcom 11257 ax-addass 11258 ax-mulass 11259 ax-distr 11260 ax-i2m1 11261 ax-1ne0 11262 ax-1rid 11263 ax-rnegex 11264 ax-rrecex 11265 ax-cnre 11266 ax-pre-lttri 11267 ax-pre-lttrn 11268 ax-pre-ltadd 11269 ax-pre-mulgt0 11270 ax-pre-sup 11271 ax-addf 11272

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7375 df-ov 7421 df-oprab 7422 df-mpo 7423 df-of 7691 df-om 7876 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8171 df-frecs 8292 df-wrecs 8323 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8469 df-2o 8470 df-oadd 8473 df-omul 8474 df-er 8710 df-map 8842 df-pm 8843 df-ixp 8919 df-en 8967 df-dom 8968 df-sdom 8969 df-fin 8970 df-fsupp 9347 df-fi 9396 df-sup 9427 df-inf 9428 df-oi 9497 df-card 10013 df-acn 10016 df-pnf 11338 df-mnf 11339 df-xr 11340 df-ltxr 11341 df-le 11342 df-sub 11536 df-neg 11537 df-div 11967 df-nn 12329 df-2 12398 df-3 12399 df-4 12400 df-5 12401 df-6 12402 df-7 12403 df-8 12404 df-9 12405 df-n0 12600 df-xnn0 12673 df-z 12687 df-dec 12808 df-uz 12959 df-q 13069 df-rp 13114 df-xneg 13234 df-xadd 13235 df-xmul 13236 df-ioo 13473 df-ioc 13474 df-ico 13475 df-icc 13476 df-fz 13633 df-fzo 13782 df-fl 13925 df-mod 14003 df-seq 14138 df-exp 14198 df-fac 14411 df-bc 14440 df-hash 14468 df-shft 15213 df-cj 15259 df-re 15260 df-im 15261 df-sqrt 15395 df-abs 15396 df-limsup 15631 df-clim 15648 df-rlim 15649 df-sum 15847 df-ef 16226 df-sin 16228 df-cos 16229 df-pi 16231 df-dvds 16416 df-gcd 16658 df-prm 16840 df-numer 16904 df-denom 16905 df-struct 17318 df-sets 17335 df-slot 17353 df-ndx 17365 df-base 17381 df-ress 17402 df-plusg 17434 df-mulr 17435 df-starv 17436 df-sca 17437 df-vsca 17438 df-ip 17439 df-tset 17440 df-ple 17441 df-ds 17443 df-unif 17444 df-hom 17445 df-cco 17446 df-rest 17586 df-topn 17587 df-0g 17605 df-gsum 17606 df-topgen 17607 df-pt 17608 df-prds 17611 df-xrs 17667 df-qtop 17672 df-imas 17673 df-xps 17675 df-mre 17749 df-mrc 17750 df-acs 17752 df-mgm 18809 df-sgrp 18901 df-mnd 18917 df-submnd 18972 df-mulg 19271 df-cntz 19524 df-cmn 19989 df-psmet 21663 df-xmet 21664 df-met 21665 df-bl 21666 df-mopn 21667 df-fbas 21668 df-fg 21669 df-cnfld 21672 df-top 23205 df-topon 23222 df-topsp 23244 df-bases 23257 df-cld 23330 df-ntr 23331 df-cls 23332 df-nei 23409 df-lp 23447 df-perf 23448 df-cn 23538 df-cnp 23539 df-haus 23626 df-tx 23874 df-hmeo 24067 df-fil 24158 df-fm 24250 df-flim 24251 df-flf 24252 df-xms 24632 df-ms 24633 df-tms 24634 df-cncf 25192 df-limc 26179 df-dv 26180 df-log 26877 df-squarenn 43827 df-pell1qr 43828 df-pell14qr 43829 df-pell1234qr 43830 df-pellfund 43831 df-rmx 43888 df-rmy 43889

This theorem is used by: rmydioph 44000

W3C validator