Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27 43020
Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 43017 and jm2.27c 43019. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.27 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗   𝐵,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗

Proof of Theorem jm2.27
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
2 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
3 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
4 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝐴 Xrm 𝐵) = (𝐴 Xrm 𝐵)
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) = (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))
7 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))
8 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))
9 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))
10 eqid 2737 . . . . . . 7 ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)
11 eqid 2737 . . . . . . 7 ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)
12 eqid 2737 . . . . . . 7 (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12jm2.27c 43019 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)) ∧ ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))))
1413simpld 494 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → (((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)))
1514simpld 494 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0))
1614simprd 495 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0))
1713simprd 495 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
18 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (𝑗 + 1) = ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
1918oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
2019eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
21203anbi2d 1443 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
2221anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
2322anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
2423rspcev 3622 . . . . . 6 (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
2517, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
26 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)))
27263anbi3d 1444 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2))))
28 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔↑2) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2))
2928oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑔↑2) − 1) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1))
3029oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑔↑2) − 1) · (↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2)))
3130oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))))
3231eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1))
33 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔𝐴) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))
3433breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))
3532, 343anbi13d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
3627, 35anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
37 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 1) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1))
3837breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ↔ (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1)))
3938anbi1d 631 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶))))
4039anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
4136, 40anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
4241rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
43 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))
4443oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2)))
4544oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))))
4645eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1))
47463anbi1d 1442 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
4847anbi2d 630 . . . . . . . 8 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
49 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (𝐶) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶))
5049breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)))
5150anbi2d 630 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶))))
52 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (𝐵) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵))
5352breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ↔ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵)))
5453anbi1d 631 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))
5551, 54anbi12d 632 . . . . . . . 8 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
5648, 55anbi12d 632 . . . . . . 7 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
5756rexbidv 3179 . . . . . 6 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
58 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (𝑖↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2))
5958oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))))
6059eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ↔ ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1))
61603anbi1d 1442 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
6261anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
6362anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
6463rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
6542, 57, 64rspc3ev 3639 . . . . 5 ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
6616, 25, 65syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
67 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (𝑑↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐵)↑2))
6867oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))))
6968eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1))
70693anbi1d 1442 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
7170anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)))))
7271anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
73722rexbidv 3222 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
74732rexbidv 3222 . . . . 5 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
75 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑒↑2) = ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))
7675oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2)))
7776oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))))
7877eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ↔ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1))
79783anbi2d 1443 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
80 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
81803anbi2d 1443 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))))
8279, 81anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)))))
8382anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
84832rexbidv 3222 . . . . . 6 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
85842rexbidv 3222 . . . . 5 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
86 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓↑2) = ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))
8786oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))))
8887eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1))
89883anbi2d 1443 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
90 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝑔𝐴) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)))
91903anbi3d 1444 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))))
9289, 91anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)))))
93 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝐶) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)))
9493anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶))))
9594anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
9692, 95anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
97962rexbidv 3222 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
98972rexbidv 3222 . . . . 5 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
9974, 85, 98rspc3ev 3639 . . . 4 ((((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
10015, 66, 99syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
101100ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
102 simpll1 1213 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
103102ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
104 simpll2 1214 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
105104ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
106 simpll3 1215 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℕ)
107106ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
108 simplrl 777 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑑 ∈ ℕ0)
109108ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
110 simplrr 778 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑒 ∈ ℕ0)
111110ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
112 simprl 771 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑓 ∈ ℕ0)
113112ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∈ ℕ0)
114 simprr 773 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑔 ∈ ℕ0)
115114ad3antrrr 730 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑔 ∈ ℕ0)
116 simprl 771 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → ∈ ℕ0)
117116ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∈ ℕ0)
118 simprr 773 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
119118ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
120 simplr 769 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
121 simp2l1 1273 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
1221213expb 1121 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
123 simp2l2 1274 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
1241233expb 1121 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
125 simp2l3 1275 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
1261253expb 1121 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
127 simp2r1 1276 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1)
1281273expb 1121 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1)
129 simp2r2 1277 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
1301293expb 1121 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
131 simp2r3 1278 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))
1321313expb 1121 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))
133 simp3ll 1245 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
1341333expb 1121 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
135 simp3lr 1246 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝐶))
1361353expb 1121 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝐶))
137 simp3rl 1247 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵))
1381373expb 1121 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵))
139 simp3rr 1248 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐵𝐶)
1401393expb 1121 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐵𝐶)
141103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140jm2.27b 43018 . . . . . 6 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
142141rexlimdva2 3157 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
143142rexlimdvva 3213 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → (∃ ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
144143rexlimdvva 3213 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
145144rexlimdvva 3213 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
146101, 145impbid 212 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cuz 12878  cexp 14102  cdvds 16290   Xrm crmx 42911   Yrm crmy 42912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-numer 16772  df-denom 16773  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-squarenn 42852  df-pell1qr 42853  df-pell14qr 42854  df-pell1234qr 42855  df-pellfund 42856  df-rmx 42913  df-rmy 42914
This theorem is referenced by:  rmydioph  43026
  Copyright terms: Public domain W3C validator