jm2.27 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > jm2.27		Structured version Visualization version GIF version

Theorem jm2.27 43250

Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 43247 and jm2.27c 43249. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.27	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗 𝐵,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗 𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗

**Proof of Theorem jm2.27**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
3		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵))
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 X_rm 𝐵) = (𝐴 X_rm 𝐵)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)) = (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))
7		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)
12		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	jm2.27c 43249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀)) ∧ ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))))
14	13	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → (((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀)))
15	14	simpld 494	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀))
16	14	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀))
17	13	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
18		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (𝑗 + 1) = ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
19	18	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
20	19	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
21	20	3anbi2d 1443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
22	21	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
23	22	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
24	23	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
25	17, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
26		eleq1 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)))
27	26	3anbi3d 1444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2))))
28		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔↑2) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2))
29	28	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑔↑2) − 1) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1))
30	29	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2)))
31	30	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))))
32	31	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1))
33		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 𝐴) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))
34	33	breq2d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))
35	32, 34	3anbi13d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
36	27, 35	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
37		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 1) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1))
38	37	breq2d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ↔ (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1)))
39	38	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶))))
40	39	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
41	36, 40	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
42	41	rexbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
43		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))
44	43	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2)))
45	44	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))))
46	45	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1))
47	46	3anbi1d 1442	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
48	47	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
49		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ − 𝐶) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶))
50	49	breq2d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)))
51	50	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶))))
52		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ − 𝐵) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵))
53	52	breq2d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ↔ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵)))
54	53	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
55	51, 54	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
56	48, 55	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
57	56	rexbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
58		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (𝑖↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2))
59	58	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))))
60	59	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ↔ ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1))
61	60	3anbi1d 1442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
62	61	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
63	62	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
64	63	rexbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
65	42, 57, 64	rspc3ev 3593	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
66	16, 25, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
67		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (𝑑↑2) = ((𝐴 X_rm 𝐵)↑2))
68	67	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))))
69	68	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1))
70	69	3anbi1d 1442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
71	70	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
72	71	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
73	72	2rexbidv 3201	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
74	73	2rexbidv 3201	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
75		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑒↑2) = ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))
76	75	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2)))
77	76	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))))
78	77	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ↔ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1))
79	78	3anbi2d 1443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
80		eqeq1 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
81	80	3anbi2d 1443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))))
82	79, 81	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
83	82	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
84	83	2rexbidv 3201	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
85	84	2rexbidv 3201	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
86		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓↑2) = ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))
87	86	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))))
88	87	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1))
89	88	3anbi2d 1443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
90		breq1 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)))
91	90	3anbi3d 1444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))))
92	89, 91	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
93		breq1 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)))
94	93	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶))))
95	94	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
96	92, 95	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
97	96	2rexbidv 3201	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
98	97	2rexbidv 3201	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
99	74, 85, 98	rspc3ev 3593	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
100	15, 66, 99	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
101	100	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
102		simpll1 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
103	102	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
104		simpll2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐵 ∈ ℕ)
105	104	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
106		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐶 ∈ ℕ)
107	106	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
108		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑑 ∈ ℕ₀)
109	108	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑑 ∈ ℕ₀)
110		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑒 ∈ ℕ₀)
111	110	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑒 ∈ ℕ₀)
112		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑓 ∈ ℕ₀)
113	112	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∈ ℕ₀)
114		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑔 ∈ ℕ₀)
115	114	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑔 ∈ ℕ₀)
116		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → ℎ ∈ ℕ₀)
117	116	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ℎ ∈ ℕ₀)
118		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
119	118	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
120		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
121		simp2l1 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
122	121	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
123		simp2l2 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
124	123	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
125		simp2l3 1275	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))
126	125	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))
127		simp2r1 1276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1)
128	127	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1)
129		simp2r2 1277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
130	129	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
131		simp2r3 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))
132	131	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))
133		simp3ll 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
134	133	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
135		simp3lr 1246	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶))
136	135	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶))
137		simp3rl 1247	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵))
138	137	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵))
139		simp3rr 1248	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
140	139	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
141	103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140	jm2.27b 43248	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵))
142	141	rexlimdva2 3139	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
143	142	rexlimdvva 3193	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → (∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
144	143	rexlimdvva 3193	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
145	144	rexlimdvva 3193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
146	101, 145	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ∃wrex 3060 class class class wbr 5098 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 1c1 11027 + caddc 11029 · cmul 11031 ≤ cle 11167 − cmin 11364 / cdiv 11794 ℕcn 12145 2c2 12200 ℕ₀cn0 12401 ℤ_≥cuz 12751 ↑cexp 13984 ∥ cdvds 16179 X_rm crmx 43142 Y_rm crmy 43143

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-inf2 9550 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104 ax-addf 11105

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-tp 4585 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-iin 4949 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7622 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-supp 8103 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-2o 8398 df-oadd 8401 df-omul 8402 df-er 8635 df-map 8765 df-pm 8766 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9265 df-fi 9314 df-sup 9345 df-inf 9346 df-oi 9415 df-card 9851 df-acn 9854 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-4 12210 df-5 12211 df-6 12212 df-7 12213 df-8 12214 df-9 12215 df-n0 12402 df-xnn0 12475 df-z 12489 df-dec 12608 df-uz 12752 df-q 12862 df-rp 12906 df-xneg 13026 df-xadd 13027 df-xmul 13028 df-ioo 13265 df-ioc 13266 df-ico 13267 df-icc 13268 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-fl 13712 df-mod 13790 df-seq 13925 df-exp 13985 df-fac 14197 df-bc 14226 df-hash 14254 df-shft 14990 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-limsup 15394 df-clim 15411 df-rlim 15412 df-sum 15610 df-ef 15990 df-sin 15992 df-cos 15993 df-pi 15995 df-dvds 16180 df-gcd 16422 df-prm 16599 df-numer 16662 df-denom 16663 df-struct 17074 df-sets 17091 df-slot 17109 df-ndx 17121 df-base 17137 df-ress 17158 df-plusg 17190 df-mulr 17191 df-starv 17192 df-sca 17193 df-vsca 17194 df-ip 17195 df-tset 17196 df-ple 17197 df-ds 17199 df-unif 17200 df-hom 17201 df-cco 17202 df-rest 17342 df-topn 17343 df-0g 17361 df-gsum 17362 df-topgen 17363 df-pt 17364 df-prds 17367 df-xrs 17423 df-qtop 17428 df-imas 17429 df-xps 17431 df-mre 17505 df-mrc 17506 df-acs 17508 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18709 df-mulg 18998 df-cntz 19246 df-cmn 19711 df-psmet 21301 df-xmet 21302 df-met 21303 df-bl 21304 df-mopn 21305 df-fbas 21306 df-fg 21307 df-cnfld 21310 df-top 22838 df-topon 22855 df-topsp 22877 df-bases 22890 df-cld 22963 df-ntr 22964 df-cls 22965 df-nei 23042 df-lp 23080 df-perf 23081 df-cn 23171 df-cnp 23172 df-haus 23259 df-tx 23506 df-hmeo 23699 df-fil 23790 df-fm 23882 df-flim 23883 df-flf 23884 df-xms 24264 df-ms 24265 df-tms 24266 df-cncf 24827 df-limc 25823 df-dv 25824 df-log 26521 df-squarenn 43083 df-pell1qr 43084 df-pell14qr 43085 df-pell1234qr 43086 df-pellfund 43087 df-rmx 43144 df-rmy 43145

This theorem is referenced by: rmydioph 43256

W3C validator