Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27 42306
Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 42303 and jm2.27c 42305. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.27 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘‘,๐‘’,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—   ๐ต,๐‘‘,๐‘’,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—   ๐ถ,๐‘‘,๐‘’,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—

Proof of Theorem jm2.27
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
3 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
4 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต))
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐ด Xrm ๐ต) = (๐ด Xrm ๐ต)
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)) = (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))
7 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))
8 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))
9 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))
10 eqid 2726 . . . . . . 7 ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)
11 eqid 2726 . . . . . . 7 ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12jm2.27c 42305 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0)) โˆง ((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))))
1413simpld 494 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ (((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0)))
1514simpld 494 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0))
1614simprd 495 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0))
1713simprd 495 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
18 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ (๐‘— + 1) = ((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1))
1918oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
2019eqeq2d 2737 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โ†” (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2)))))
21203anbi2d 1437 . . . . . . . . 9 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)) โ†” (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
2221anbi2d 628 . . . . . . . 8 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
2322anbi1d 629 . . . . . . 7 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
2423rspcev 3606 . . . . . 6 (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
2517, 24syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
26 eleq1 2815 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
27263anbi3d 1438 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
28 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘”โ†‘2) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2))
2928oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1))
3029oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2)) = ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2)))
3130oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))))
3231eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1))
33 oveq1 7411 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘” โˆ’ ๐ด) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))
3433breq2d 5153 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))
3532, 343anbi13d 1434 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
3627, 35anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
37 oveq1 7411 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘” โˆ’ 1) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1))
3837breq2d 5153 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โ†” (2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1)))
3938anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))))
4039anbi1d 629 . . . . . . . 8 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)) โ†” (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
4136, 40anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
4241rexbidv 3172 . . . . . 6 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
43 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โ„Žโ†‘2) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))
4443oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2)) = ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2)))
4544oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))))
4645eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1))
47463anbi1d 1436 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
4847anbi2d 628 . . . . . . . 8 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
49 oveq1 7411 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ))
5049breq2d 5153 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)))
5150anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ))))
52 oveq1 7411 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต))
5352breq2d 5153 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โ†” (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต)))
5453anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))
5551, 54anbi12d 630 . . . . . . . 8 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)) โ†” (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
5648, 55anbi12d 630 . . . . . . 7 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
5756rexbidv 3172 . . . . . 6 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
58 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (๐‘–โ†‘2) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2))
5958oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))))
6059eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โ†” ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1))
61603anbi1d 1436 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)) โ†” (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
6261anbi2d 628 . . . . . . . 8 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
6362anbi1d 629 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
6463rexbidv 3172 . . . . . 6 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
6542, 57, 64rspc3ev 3623 . . . . 5 ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
6616, 25, 65syl2anc 583 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
67 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (๐‘‘โ†‘2) = ((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2))
6867oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ ((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = (((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))))
6968eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โ†” (((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1))
70693anbi1d 1436 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
7170anbi1d 629 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))))
7271anbi1d 629 . . . . . . 7 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ ((((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
73722rexbidv 3213 . . . . . 6 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
74732rexbidv 3213 . . . . 5 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
75 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘’โ†‘2) = ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))
7675oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2)))
7776oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))))
7877eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1))
79783anbi2d 1437 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
80 eqeq1 2730 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โ†” (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2)))))
81803anbi2d 1437 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))))
8279, 81anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))))
8382anbi1d 629 . . . . . . 7 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
84832rexbidv 3213 . . . . . 6 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
85842rexbidv 3213 . . . . 5 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
86 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘“โ†‘2) = ((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))
8786oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))))
8887eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โ†” (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1))
89883anbi2d 1437 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
90 breq1 5144 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))
91903anbi3d 1438 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))))
9289, 91anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))))
93 breq1 5144 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)))
9493anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))))
9594anbi1d 629 . . . . . . . 8 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)) โ†” (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
9692, 95anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
97962rexbidv 3213 . . . . . 6 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
98972rexbidv 3213 . . . . 5 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
9974, 85, 98rspc3ev 3623 . . . 4 ((((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
10015, 66, 99syl2anc 583 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
101100ex 412 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
102 simpll1 1209 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
103102ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
104 simpll2 1210 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
105104ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
106 simpll3 1211 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
107106ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
108 simplrl 774 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
109108ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
110 simplrr 775 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„•0)
111110ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„•0)
112 simprl 768 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„•0)
113112ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„•0)
114 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘” โˆˆ โ„•0)
115114ad3antrrr 727 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘” โˆˆ โ„•0)
116 simprl 768 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„•0)
117116ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„•0)
118 simprr 770 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
119118ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
120 simplr 766 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
121 simp2l1 1269 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1)
1221213expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1)
123 simp2l2 1270 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1)
1241233expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1)
125 simp2l3 1271 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
1261253expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
127 simp2r1 1272 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1)
1281273expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1)
129 simp2r2 1273 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
1301293expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
131 simp2r3 1274 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))
1321313expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))
133 simp3ll 1241 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1))
1341333expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1))
135 simp3lr 1242 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))
1361353expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))
137 simp3rl 1243 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต))
1381373expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต))
139 simp3rr 1244 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
1401393expb 1117 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
141103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140jm2.27b 42304 . . . . . 6 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต))
142141rexlimdva2 3151 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
143142rexlimdvva 3205 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
144143rexlimdvva 3205 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
145144rexlimdvva 3205 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
146101, 145impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  2c2 12268  โ„•0cn0 12473  โ„คโ‰ฅcuz 12823  โ†‘cexp 14030   โˆฅ cdvds 16202   Xrm crmx 42197   Yrm crmy 42198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-numer 16678  df-denom 16679  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441  df-squarenn 42138  df-pell1qr 42139  df-pell14qr 42140  df-pell1234qr 42141  df-pellfund 42142  df-rmx 42199  df-rmy 42200
This theorem is referenced by:  rmydioph  42312
  Copyright terms: Public domain W3C validator