Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27 41375
Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 41372 and jm2.27c 41374. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.27 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘‘,๐‘’,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—   ๐ต,๐‘‘,๐‘’,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—   ๐ถ,๐‘‘,๐‘’,๐‘“,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—

Proof of Theorem jm2.27
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
3 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
4 simpr 486 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต))
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐ด Xrm ๐ต) = (๐ด Xrm ๐ต)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)) = (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))
8 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))
9 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))
10 eqid 2733 . . . . . . 7 ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)
11 eqid 2733 . . . . . . 7 ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12jm2.27c 41374 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0)) โˆง ((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))))
1413simpld 496 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ (((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0)))
1514simpld 496 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0))
1614simprd 497 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0))
1713simprd 497 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ ((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
18 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ (๐‘— + 1) = ((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1))
1918oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
2019eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โ†” (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2)))))
21203anbi2d 1442 . . . . . . . . 9 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)) โ†” (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
2221anbi2d 630 . . . . . . . 8 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
2322anbi1d 631 . . . . . . 7 (๐‘— = (((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
2423rspcev 3580 . . . . . 6 (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = (((((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) / (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ 1) + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
2517, 24syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
26 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
27263anbi3d 1443 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
28 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘”โ†‘2) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2))
2928oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1))
3029oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2)) = ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2)))
3130oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))))
3231eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1))
33 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘” โˆ’ ๐ด) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))
3433breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))
3532, 343anbi13d 1439 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
3627, 35anbi12d 632 . . . . . . . 8 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
37 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘” โˆ’ 1) = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1))
3837breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โ†” (2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1)))
3938anbi1d 631 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))))
4039anbi1d 631 . . . . . . . 8 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)) โ†” (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
4136, 40anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
4241rexbidv 3172 . . . . . 6 (๐‘” = (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
43 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โ„Žโ†‘2) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))
4443oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2)) = ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2)))
4544oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))))
4645eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1))
47463anbi1d 1441 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
4847anbi2d 630 . . . . . . . 8 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
49 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ))
5049breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)))
5150anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ))))
52 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต))
5352breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โ†” (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต)))
5453anbi1d 631 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))
5551, 54anbi12d 632 . . . . . . . 8 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ ((((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)) โ†” (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
5648, 55anbi12d 632 . . . . . . 7 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
5756rexbidv 3172 . . . . . 6 (โ„Ž = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
58 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (๐‘–โ†‘2) = (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2))
5958oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))))
6059eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โ†” ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1))
61603anbi1d 1441 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)) โ†” (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))))
6261anbi2d 630 . . . . . . . 8 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด)))))
6362anbi1d 631 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
6463rexbidv 3172 . . . . . 6 (๐‘– = ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
6542, 57, 64rspc3ev 3593 . . . . 5 ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต)โ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ ((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (((๐ด + (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) ยท (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ ๐ด))) Yrm ๐ต) โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
6616, 25, 65syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
67 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (๐‘‘โ†‘2) = ((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2))
6867oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ ((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = (((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))))
6968eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โ†” (((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1))
70693anbi1d 1441 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
7170anbi1d 631 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))))
7271anbi1d 631 . . . . . . 7 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ ((((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
73722rexbidv 3210 . . . . . 6 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
74732rexbidv 3210 . . . . 5 (๐‘‘ = (๐ด Xrm ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
75 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘’โ†‘2) = ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))
7675oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2)))
7776oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))))
7877eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1))
79783anbi2d 1442 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
80 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โ†” (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2)))))
81803anbi2d 1442 . . . . . . . . 9 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))))
8279, 81anbi12d 632 . . . . . . . 8 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))))
8382anbi1d 631 . . . . . . 7 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
84832rexbidv 3210 . . . . . 6 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
85842rexbidv 3210 . . . . 5 (๐‘’ = (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
86 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘“โ†‘2) = ((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))
8786oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))))
8887eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โ†” (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1))
89883anbi2d 1442 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†” ((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))))
90 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))
91903anbi3d 1443 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))))
9289, 91anbi12d 632 . . . . . . . 8 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โ†” (((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด)))))
93 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ) โ†” (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)))
9493anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))))
9594anbi1d 631 . . . . . . . 8 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ ((((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)) โ†” (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
9692, 95anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
97962rexbidv 3210 . . . . . 6 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
98972rexbidv 3210 . . . . 5 (๐‘“ = (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
9974, 85, 98rspc3ev 3593 . . . 4 ((((๐ด Xrm ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆˆ โ„•0) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 ((((((๐ด Xrm ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง (((๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท ((๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต))))โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง (๐ด Yrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง (๐ด Xrm (2 ยท (๐ต ยท (๐ด Yrm ๐ต)))) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
10015, 66, 99syl2anc 585 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))))
101100ex 414 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
102 simpll1 1213 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
103102ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
104 simpll2 1214 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
105104ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
106 simpll3 1215 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
107106ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
108 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
109108ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
110 simplrr 777 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„•0)
111110ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„•0)
112 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„•0)
113112ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„•0)
114 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘” โˆˆ โ„•0)
115114ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘” โˆˆ โ„•0)
116 simprl 770 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„•0)
117116ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„•0)
118 simprr 772 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
119118ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
120 simplr 768 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
121 simp2l1 1273 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1)
1221213expb 1121 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1)
123 simp2l2 1274 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1)
1241233expb 1121 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1)
125 simp2l3 1275 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
1261253expb 1121 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
127 simp2r1 1276 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1)
1281273expb 1121 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1)
129 simp2r2 1277 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
1301293expb 1121 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
131 simp2r3 1278 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))
1321313expb 1121 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))
133 simp3ll 1245 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1))
1341333expb 1121 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1))
135 simp3lr 1246 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))
1361353expb 1121 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ))
137 simp3rl 1247 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต))
1381373expb 1121 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต))
139 simp3rr 1248 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง ((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
1401393expb 1121 . . . . . . 7 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
141103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140jm2.27b 41373 . . . . . 6 (((((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โˆง (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต))
142141rexlimdva2 3151 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โˆง (โ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
143142rexlimdvva 3202 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘” โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
144143rexlimdvva 3202 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘’ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
145144rexlimdvva 3202 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))) โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต)))
146101, 145impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„•0 โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 (((((๐‘‘โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1 โˆง ((๐‘“โ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐‘’โ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘” โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (((๐‘–โ†‘2) โˆ’ (((๐‘”โ†‘2) โˆ’ 1) ยท (โ„Žโ†‘2))) = 1 โˆง ๐‘’ = ((๐‘— + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) โˆง ๐‘“ โˆฅ (๐‘” โˆ’ ๐ด))) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘” โˆ’ 1) โˆง ๐‘“ โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ถ)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (โ„Ž โˆ’ ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ†‘cexp 13973   โˆฅ cdvds 16141   Xrm crmx 41266   Yrm crmy 41267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-numer 16615  df-denom 16616  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-squarenn 41207  df-pell1qr 41208  df-pell14qr 41209  df-pell1234qr 41210  df-pellfund 41211  df-rmx 41268  df-rmy 41269
This theorem is referenced by:  rmydioph  41381
  Copyright terms: Public domain W3C validator