jm2.27 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > jm2.27		Structured version Visualization version GIF version

Theorem jm2.27 43020

Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 43017 and jm2.27c 43019. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.27	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗 𝐵,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗 𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗

**Proof of Theorem jm2.27**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
3		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵))
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 X_rm 𝐵) = (𝐴 X_rm 𝐵)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)) = (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	jm2.27c 43019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀)) ∧ ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))))
14	13	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → (((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀)))
15	14	simpld 494	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀))
16	14	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀))
17	13	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
18		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (𝑗 + 1) = ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
19	18	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
20	19	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
21	20	3anbi2d 1443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
22	21	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
23	22	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
24	23	rspcev 3622	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
25	17, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
26		eleq1 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)))
27	26	3anbi3d 1444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2))))
28		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔↑2) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2))
29	28	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑔↑2) − 1) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1))
30	29	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2)))
31	30	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))))
32	31	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1))
33		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 𝐴) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))
34	33	breq2d 5155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))
35	32, 34	3anbi13d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
36	27, 35	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
37		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 1) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1))
38	37	breq2d 5155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ↔ (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1)))
39	38	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶))))
40	39	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
41	36, 40	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
42	41	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
43		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))
44	43	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2)))
45	44	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))))
46	45	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1))
47	46	3anbi1d 1442	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
48	47	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
49		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ − 𝐶) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶))
50	49	breq2d 5155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)))
51	50	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶))))
52		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ − 𝐵) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵))
53	52	breq2d 5155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ↔ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵)))
54	53	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
55	51, 54	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
56	48, 55	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
57	56	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
58		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (𝑖↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2))
59	58	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))))
60	59	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ↔ ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1))
61	60	3anbi1d 1442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
62	61	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
63	62	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
64	63	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
65	42, 57, 64	rspc3ev 3639	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
66	16, 25, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
67		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (𝑑↑2) = ((𝐴 X_rm 𝐵)↑2))
68	67	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))))
69	68	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1))
70	69	3anbi1d 1442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
71	70	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
72	71	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
73	72	2rexbidv 3222	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
74	73	2rexbidv 3222	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
75		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑒↑2) = ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))
76	75	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2)))
77	76	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))))
78	77	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ↔ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1))
79	78	3anbi2d 1443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
80		eqeq1 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
81	80	3anbi2d 1443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))))
82	79, 81	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
83	82	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
84	83	2rexbidv 3222	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
85	84	2rexbidv 3222	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
86		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓↑2) = ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))
87	86	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))))
88	87	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1))
89	88	3anbi2d 1443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
90		breq1 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)))
91	90	3anbi3d 1444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))))
92	89, 91	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
93		breq1 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)))
94	93	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶))))
95	94	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
96	92, 95	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
97	96	2rexbidv 3222	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
98	97	2rexbidv 3222	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
99	74, 85, 98	rspc3ev 3639	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
100	15, 66, 99	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
101	100	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
102		simpll1 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
103	102	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
104		simpll2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐵 ∈ ℕ)
105	104	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
106		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐶 ∈ ℕ)
107	106	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
108		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑑 ∈ ℕ₀)
109	108	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑑 ∈ ℕ₀)
110		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑒 ∈ ℕ₀)
111	110	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑒 ∈ ℕ₀)
112		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑓 ∈ ℕ₀)
113	112	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∈ ℕ₀)
114		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑔 ∈ ℕ₀)
115	114	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑔 ∈ ℕ₀)
116		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → ℎ ∈ ℕ₀)
117	116	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ℎ ∈ ℕ₀)
118		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
119	118	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
120		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
121		simp2l1 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
122	121	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
123		simp2l2 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
124	123	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
125		simp2l3 1275	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))
126	125	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))
127		simp2r1 1276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1)
128	127	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1)
129		simp2r2 1277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
130	129	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
131		simp2r3 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))
132	131	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))
133		simp3ll 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
134	133	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
135		simp3lr 1246	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶))
136	135	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶))
137		simp3rl 1247	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵))
138	137	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵))
139		simp3rr 1248	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
140	139	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
141	103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140	jm2.27b 43018	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵))
142	141	rexlimdva2 3157	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
143	142	rexlimdvva 3213	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → (∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
144	143	rexlimdvva 3213	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
145	144	rexlimdvva 3213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
146	101, 145	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ∃wrex 3070 class class class wbr 5143 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 ≤ cle 11296 − cmin 11492 / cdiv 11920 ℕcn 12266 2c2 12321 ℕ₀cn0 12526 ℤ_≥cuz 12878 ↑cexp 14102 ∥ cdvds 16290 X_rm crmx 42911 Y_rm crmy 42912

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233 ax-addf 11234

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-tp 4631 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-supp 8186 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-2o 8507 df-oadd 8510 df-omul 8511 df-er 8745 df-map 8868 df-pm 8869 df-ixp 8938 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-fsupp 9402 df-fi 9451 df-sup 9482 df-inf 9483 df-oi 9550 df-card 9979 df-acn 9982 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-4 12331 df-5 12332 df-6 12333 df-7 12334 df-8 12335 df-9 12336 df-n0 12527 df-xnn0 12600 df-z 12614 df-dec 12734 df-uz 12879 df-q 12991 df-rp 13035 df-xneg 13154 df-xadd 13155 df-xmul 13156 df-ioo 13391 df-ioc 13392 df-ico 13393 df-icc 13394 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-fl 13832 df-mod 13910 df-seq 14043 df-exp 14103 df-fac 14313 df-bc 14342 df-hash 14370 df-shft 15106 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-limsup 15507 df-clim 15524 df-rlim 15525 df-sum 15723 df-ef 16103 df-sin 16105 df-cos 16106 df-pi 16108 df-dvds 16291 df-gcd 16532 df-prm 16709 df-numer 16772 df-denom 16773 df-struct 17184 df-sets 17201 df-slot 17219 df-ndx 17231 df-base 17248 df-ress 17275 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-hom 17321 df-cco 17322 df-rest 17467 df-topn 17468 df-0g 17486 df-gsum 17487 df-topgen 17488 df-pt 17489 df-prds 17492 df-xrs 17547 df-qtop 17552 df-imas 17553 df-xps 17555 df-mre 17629 df-mrc 17630 df-acs 17632 df-mgm 18653 df-sgrp 18732 df-mnd 18748 df-submnd 18797 df-mulg 19086 df-cntz 19335 df-cmn 19800 df-psmet 21356 df-xmet 21357 df-met 21358 df-bl 21359 df-mopn 21360 df-fbas 21361 df-fg 21362 df-cnfld 21365 df-top 22900 df-topon 22917 df-topsp 22939 df-bases 22953 df-cld 23027 df-ntr 23028 df-cls 23029 df-nei 23106 df-lp 23144 df-perf 23145 df-cn 23235 df-cnp 23236 df-haus 23323 df-tx 23570 df-hmeo 23763 df-fil 23854 df-fm 23946 df-flim 23947 df-flf 23948 df-xms 24330 df-ms 24331 df-tms 24332 df-cncf 24904 df-limc 25901 df-dv 25902 df-log 26598 df-squarenn 42852 df-pell1qr 42853 df-pell14qr 42854 df-pell1234qr 42855 df-pellfund 42856 df-rmx 42913 df-rmy 42914

This theorem is referenced by: rmydioph 43026

W3C validator