Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27 38255
Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 38252 and jm2.27c 38254. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine" (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.27 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗   𝐵,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗

Proof of Theorem jm2.27
StepHypRef Expression
1 simpl1 1242 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
2 simpl2 1244 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
3 simpl3 1246 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
4 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
5 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝐴 Xrm 𝐵) = (𝐴 Xrm 𝐵)
6 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) = (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))
7 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))
8 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))
9 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))
10 eqid 2765 . . . . . . 7 ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)
11 eqid 2765 . . . . . . 7 ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)
12 eqid 2765 . . . . . . 7 (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12jm2.27c 38254 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)) ∧ ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))))
1413simpld 488 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → (((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)))
1514simpld 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0))
1614simprd 489 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0))
1713simprd 489 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
18 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (𝑗 + 1) = ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
1918oveq1d 6859 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
2019eqeq2d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
21203anbi2d 1565 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
2221anbi2d 622 . . . . . . . 8 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
2322anbi1d 623 . . . . . . 7 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
2423rspcev 3462 . . . . . 6 (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
2517, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
26 eleq1 2832 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)))
27263anbi3d 1566 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2))))
28 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔↑2) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2))
2928oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑔↑2) − 1) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1))
3029oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑔↑2) − 1) · (↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2)))
3130oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))))
3231eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1))
33 oveq1 6851 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔𝐴) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))
3433breq2d 4823 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))
3532, 343anbi13d 1562 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
3627, 35anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
37 oveq1 6851 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 1) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1))
3837breq2d 4823 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ↔ (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1)))
3938anbi1d 623 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶))))
4039anbi1d 623 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
4136, 40anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
4241rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
43 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . 13 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))
4443oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2)))
4544oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))))
4645eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1))
47463anbi1d 1564 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
4847anbi2d 622 . . . . . . . 8 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
49 oveq1 6851 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (𝐶) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶))
5049breq2d 4823 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)))
5150anbi2d 622 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶))))
52 oveq1 6851 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (𝐵) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵))
5352breq2d 4823 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ↔ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵)))
5453anbi1d 623 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))
5551, 54anbi12d 624 . . . . . . . 8 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
5648, 55anbi12d 624 . . . . . . 7 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
5756rexbidv 3199 . . . . . 6 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
58 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (𝑖↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2))
5958oveq1d 6859 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))))
6059eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ↔ ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1))
61603anbi1d 1564 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
6261anbi2d 622 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
6362anbi1d 623 . . . . . . 7 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
6463rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
6542, 57, 64rspc3ev 3479 . . . . 5 ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
6616, 25, 65syl2anc 579 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
67 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (𝑑↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐵)↑2))
6867oveq1d 6859 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))))
6968eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1))
70693anbi1d 1564 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
7170anbi1d 623 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)))))
7271anbi1d 623 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
73722rexbidv 3204 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
74732rexbidv 3204 . . . . 5 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
75 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑒↑2) = ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))
7675oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2)))
7776oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))))
7877eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ↔ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1))
79783anbi2d 1565 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
80 eqeq1 2769 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
81803anbi2d 1565 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))))
8279, 81anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)))))
8382anbi1d 623 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
84832rexbidv 3204 . . . . . 6 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
85842rexbidv 3204 . . . . 5 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
86 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓↑2) = ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))
8786oveq1d 6859 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))))
8887eqeq1d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1))
89883anbi2d 1565 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
90 breq1 4814 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝑔𝐴) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)))
91903anbi3d 1566 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))))
9289, 91anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)))))
93 breq1 4814 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝐶) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)))
9493anbi2d 622 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶))))
9594anbi1d 623 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
9692, 95anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
97962rexbidv 3204 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
98972rexbidv 3204 . . . . 5 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
9974, 85, 98rspc3ev 3479 . . . 4 ((((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
10015, 66, 99syl2anc 579 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
101100ex 401 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
102 simpll1 1269 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
103102ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
104 simpll2 1271 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
105104ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
106 simpll3 1273 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℕ)
107106ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
108 simplrl 795 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑑 ∈ ℕ0)
109108ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
110 simplrr 796 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑒 ∈ ℕ0)
111110ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
112 simprl 787 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑓 ∈ ℕ0)
113112ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∈ ℕ0)
114 simprr 789 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑔 ∈ ℕ0)
115114ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑔 ∈ ℕ0)
116 simprl 787 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → ∈ ℕ0)
117116ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∈ ℕ0)
118 simprr 789 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
119118ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
120 simplr 785 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
121 simp2l1 1371 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
1221213expb 1149 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
123 simp2l2 1372 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
1241233expb 1149 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
125 simp2l3 1373 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
1261253expb 1149 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
127 simp2r1 1374 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1)
1281273expb 1149 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1)
129 simp2r2 1375 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
1301293expb 1149 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
131 simp2r3 1376 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))
1321313expb 1149 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))
133 simp3ll 1325 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
1341333expb 1149 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
135 simp3lr 1326 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝐶))
1361353expb 1149 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝐶))
137 simp3rl 1327 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵))
1381373expb 1149 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵))
139 simp3rr 1328 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐵𝐶)
1401393expb 1149 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐵𝐶)
141103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140jm2.27b 38253 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
142141ex 401 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
143142rexlimdva 3178 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
144143rexlimdvva 3185 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → (∃ ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
145144rexlimdvva 3185 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
146145rexlimdvva 3185 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
147101, 146impbid 203 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  cle 10331  cmin 10522   / cdiv 10940  cn 11276  2c2 11329  0cn0 11540  cuz 11889  cexp 13070  cdvds 15268   Xrm crmx 38145   Yrm crmy 38146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-acn 9021  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-xnn0 11613  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-mod 12880  df-seq 13012  df-exp 13071  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-shft 14095  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-limsup 14490  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-sum 14705  df-ef 15083  df-sin 15085  df-cos 15086  df-pi 15088  df-dvds 15269  df-gcd 15501  df-prm 15669  df-numer 15725  df-denom 15726  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-mulg 17811  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cld 21106  df-ntr 21107  df-cls 21108  df-nei 21185  df-lp 21223  df-perf 21224  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-haus 21402  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409  df-cncf 22963  df-limc 23924  df-dv 23925  df-log 24597  df-squarenn 38086  df-pell1qr 38087  df-pell14qr 38088  df-pell1234qr 38089  df-pellfund 38090  df-rmx 38147  df-rmy 38148
This theorem is referenced by:  rmydioph  38261
  Copyright terms: Public domain W3C validator