Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27 39111
Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 39108 and jm2.27c 39110. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine" (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.27 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗   𝐵,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑗

Proof of Theorem jm2.27
StepHypRef Expression
1 simpl1 1184 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
2 simpl2 1185 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
3 simpl3 1186 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
4 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
5 eqid 2797 . . . . . . 7 (𝐴 Xrm 𝐵) = (𝐴 Xrm 𝐵)
6 eqid 2797 . . . . . . 7 (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)) = (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))
7 eqid 2797 . . . . . . 7 (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))
8 eqid 2797 . . . . . . 7 (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))
9 eqid 2797 . . . . . . 7 (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))
10 eqid 2797 . . . . . . 7 ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)
11 eqid 2797 . . . . . . 7 ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)
12 eqid 2797 . . . . . . 7 (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12jm2.27c 39110 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)) ∧ ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))))
1413simpld 495 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → (((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)))
1514simpld 495 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0))
1614simprd 496 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0))
1713simprd 496 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
18 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (𝑗 + 1) = ((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
1918oveq1d 7038 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
2019eqeq2d 2807 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
21203anbi2d 1433 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
2221anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
2322anbi1d 629 . . . . . . 7 (𝑗 = (((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
2423rspcev 3561 . . . . . 6 (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = (((((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
2517, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
26 eleq1 2872 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)))
27263anbi3d 1434 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2))))
28 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔↑2) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2))
2928oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑔↑2) − 1) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1))
3029oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑔↑2) − 1) · (↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2)))
3130oveq2d 7039 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))))
3231eqeq1d 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1))
33 oveq1 7030 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔𝐴) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))
3433breq2d 4980 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))
3532, 343anbi13d 1430 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
3627, 35anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
37 oveq1 7030 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 1) = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1))
3837breq2d 4980 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ↔ (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1)))
3938anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶))))
4039anbi1d 629 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
4136, 40anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
4241rexbidv 3262 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
43 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . . 13 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))
4443oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . 12 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2)))
4544oveq2d 7039 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))))
4645eqeq1d 2799 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1))
47463anbi1d 1432 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
4847anbi2d 628 . . . . . . . 8 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
49 oveq1 7030 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (𝐶) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶))
5049breq2d 4980 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)))
5150anbi2d 628 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶))))
52 oveq1 7030 . . . . . . . . . . 11 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (𝐵) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵))
5352breq2d 4980 . . . . . . . . . 10 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ↔ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵)))
5453anbi1d 629 . . . . . . . . 9 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))
5551, 54anbi12d 630 . . . . . . . 8 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → ((((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
5648, 55anbi12d 630 . . . . . . 7 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
5756rexbidv 3262 . . . . . 6 ( = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
58 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (𝑖↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2))
5958oveq1d 7038 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))))
6059eqeq1d 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ↔ ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1))
61603anbi1d 1432 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
6261anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
6362anbi1d 629 . . . . . . 7 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
6463rexbidv 3262 . . . . . 6 (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
6542, 57, 64rspc3ev 3578 . . . . 5 ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Xrm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Yrm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
6616, 25, 65syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
67 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (𝑑↑2) = ((𝐴 Xrm 𝐵)↑2))
6867oveq1d 7038 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))))
6968eqeq1d 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1))
70693anbi1d 1432 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
7170anbi1d 629 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)))))
7271anbi1d 629 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → ((((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
73722rexbidv 3265 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
74732rexbidv 3265 . . . . 5 (𝑑 = (𝐴 Xrm 𝐵) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
75 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑒↑2) = ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))
7675oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2)))
7776oveq2d 7039 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))))
7877eqeq1d 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ↔ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1))
79783anbi2d 1433 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
80 eqeq1 2801 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
81803anbi2d 1433 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))))
8279, 81anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)))))
8382anbi1d 629 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
84832rexbidv 3265 . . . . . 6 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
85842rexbidv 3265 . . . . 5 (𝑒 = (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
86 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓↑2) = ((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))
8786oveq1d 7038 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))))
8887eqeq1d 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1))
89883anbi2d 1433 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2))))
90 breq1 4971 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝑔𝐴) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)))
91903anbi3d 1434 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))))
9289, 91anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ↔ (((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴)))))
93 breq1 4971 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝐶) ↔ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)))
9493anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶))))
9594anbi1d 629 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
9692, 95anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
97962rexbidv 3265 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
98972rexbidv 3265 . . . . 5 (𝑓 = (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
9974, 85, 98rspc3ev 3578 . . . 4 ((((𝐴 Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 ((((((𝐴 Xrm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Yrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 Xrm (2 · (𝐵 · (𝐴 Yrm 𝐵)))) ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
10015, 66, 99syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))))
101100ex 413 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
102 simpll1 1205 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
103102ad3antrrr 726 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
104 simpll2 1206 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
105104ad3antrrr 726 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
106 simpll3 1207 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℕ)
107106ad3antrrr 726 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
108 simplrl 773 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑑 ∈ ℕ0)
109108ad3antrrr 726 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
110 simplrr 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑒 ∈ ℕ0)
111110ad3antrrr 726 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
112 simprl 767 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑓 ∈ ℕ0)
113112ad3antrrr 726 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∈ ℕ0)
114 simprr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → 𝑔 ∈ ℕ0)
115114ad3antrrr 726 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑔 ∈ ℕ0)
116 simprl 767 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → ∈ ℕ0)
117116ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ∈ ℕ0)
118 simprr 769 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
119118ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
120 simplr 765 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
121 simp2l1 1265 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
1221213expb 1113 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
123 simp2l2 1266 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
1241233expb 1113 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
125 simp2l3 1267 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
1261253expb 1113 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
127 simp2r1 1268 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1)
1281273expb 1113 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1)
129 simp2r2 1269 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
1301293expb 1113 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
131 simp2r3 1270 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))
1321313expb 1113 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))
133 simp3ll 1237 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
1341333expb 1113 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
135 simp3lr 1238 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝐶))
1361353expb 1113 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝐶))
137 simp3rl 1239 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵))
1381373expb 1113 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵))
139 simp3rr 1240 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐵𝐶)
1401393expb 1113 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐵𝐶)
141103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140jm2.27b 39109 . . . . . 6 (((((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
142141rexlimdva2 3252 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) ∧ ( ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
143142rexlimdvva 3259 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0)) → (∃ ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
144143rexlimdvva 3259 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
145144rexlimdvva 3259 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵)))
146101, 145impbid 213 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0 (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵) ∧ 𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wrex 3108   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395  cle 10529  cmin 10723   / cdiv 11151  cn 11492  2c2 11546  0cn0 11751  cuz 12097  cexp 13283  cdvds 15444   Xrm crmx 39003   Yrm crmy 39004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-omul 7965  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-acn 9224  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261  df-pi 15263  df-dvds 15445  df-gcd 15681  df-prm 15849  df-numer 15908  df-denom 15909  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152  df-log 24825  df-squarenn 38944  df-pell1qr 38945  df-pell14qr 38946  df-pell1234qr 38947  df-pellfund 38948  df-rmx 39005  df-rmy 39006
This theorem is referenced by:  rmydioph  39117
  Copyright terms: Public domain W3C validator