jm2.27 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > jm2.27		Structured version Visualization version GIF version

Theorem jm2.27 40830

Description: Lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a 40827 and jm2.27c 40829. Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.27	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗 𝐵,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗 𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗

**Proof of Theorem jm2.27**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		simpl2 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
3		simpl3 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℕ)
4		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵))
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 X_rm 𝐵) = (𝐴 X_rm 𝐵)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)) = (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))
8		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))
9		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))
10		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	jm2.27c 40829	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀)) ∧ ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))))
14	13	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → (((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀)))
15	14	simpld 495	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀))
16	14	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀))
17	13	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
18		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (𝑗 + 1) = ((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1))
19	18	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
20	19	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
21	20	3anbi2d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
22	21	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
23	22	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
24	23	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = (((((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) / (2 · (𝐶↑2))) − 1) + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
25	17, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
26		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)))
27	26	3anbi3d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2))))
28		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔↑2) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2))
29	28	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑔↑2) − 1) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1))
30	29	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2)))
31	30	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))))
32	31	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1))
33		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 𝐴) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))
34	33	breq2d 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))
35	32, 34	3anbi13d 1437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
36	27, 35	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
37		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (𝑔 − 1) = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1))
38	37	breq2d 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ↔ (2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1)))
39	38	anbi1d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶))))
40	39	anbi1d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
41	36, 40	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
42	41	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
43		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))
44	43	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2)) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2)))
45	44	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))))
46	45	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ↔ ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1))
47	46	3anbi1d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
48	47	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
49		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ − 𝐶) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶))
50	49	breq2d 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)))
51	50	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶))))
52		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (ℎ − 𝐵) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵))
53	52	breq2d 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ↔ (2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵)))
54	53	anbi1d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
55	51, 54	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → ((((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
56	48, 55	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
57	56	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
58		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (𝑖↑2) = (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2))
59	58	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))))
60	59	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ↔ ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1))
61	60	3anbi1d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)) ↔ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))))
62	61	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴)))))
63	62	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
64	63	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
65	42, 57, 64	rspc3ev 3574	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ (𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) X_rm 𝐵)↑2) − ((((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴)))↑2) − 1) · (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵)↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ ((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (((𝐴 + (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) · (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − 𝐴))) Y_rm 𝐵) − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
66	16, 25, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
67		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (𝑑↑2) = ((𝐴 X_rm 𝐵)↑2))
68	67	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = (((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))))
69	68	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1))
70	69	3anbi1d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
71	70	anbi1d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
72	71	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → ((((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
73	72	2rexbidv 3229	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
74	73	2rexbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐴 X_rm 𝐵) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
75		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑒↑2) = ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))
76	75	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2)))
77	76	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))))
78	77	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ↔ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1))
79	78	3anbi2d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
80		eqeq1 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ↔ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
81	80	3anbi2d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))))
82	79, 81	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
83	82	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
84	83	2rexbidv 3229	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
85	84	2rexbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
86		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓↑2) = ((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))
87	86	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))))
88	87	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ↔ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1))
89	88	3anbi2d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))))
90		breq1 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)))
91	90	3anbi3d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴)) ↔ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))))
92	89, 91	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ↔ (((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴)))))
93		breq1 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶) ↔ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)))
94	93	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶))))
95	94	anbi1d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → ((((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ↔ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
96	92, 95	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
97	96	2rexbidv 3229	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
98	97	2rexbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) → (∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
99	74, 85, 98	rspc3ev 3574	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 X_rm 𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ ((((((𝐴 X_rm 𝐵)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ (((𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵))))↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ (𝐴 Y_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ (𝐴 X_rm (2 · (𝐵 · (𝐴 Y_rm 𝐵)))) ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
100	15, 66, 99	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))))
101	100	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) → ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))
102		simpll1 1211	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
103	102	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
104		simpll2 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐵 ∈ ℕ)
105	104	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℕ)
106		simpll3 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝐶 ∈ ℕ)
107	106	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℕ)
108		simplrl 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑑 ∈ ℕ₀)
109	108	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑑 ∈ ℕ₀)
110		simplrr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑒 ∈ ℕ₀)
111	110	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑒 ∈ ℕ₀)
112		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑓 ∈ ℕ₀)
113	112	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∈ ℕ₀)
114		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → 𝑔 ∈ ℕ₀)
115	114	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑔 ∈ ℕ₀)
116		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → ℎ ∈ ℕ₀)
117	116	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ℎ ∈ ℕ₀)
118		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
119	118	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
120		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
121		simp2l1 1271	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
122	121	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
123		simp2l2 1272	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
124	123	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1)
125		simp2l3 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))
126	125	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2))
127		simp2r1 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1)
128	127	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → ((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1)
129		simp2r2 1275	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
130	129	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
131		simp2r3 1276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))
132	131	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))
133		simp3ll 1243	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
134	133	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1))
135		simp3lr 1244	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶))
136	135	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶))
137		simp3rl 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → (2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵))
138	137	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → (2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵))
139		simp3rr 1246	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ ((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
140	139	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
141	103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140	jm2.27b 40828	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀) ∧ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵))
142	141	rexlimdva2 3216	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) ∧ (ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
143	142	rexlimdvva 3223	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀)) → (∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
144	143	rexlimdvva 3223	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
145	144	rexlimdvva 3223	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))) → 𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵)))
146	101, 145	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝐴 Y_rm 𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ ∃𝑖 ∈ ℕ₀ ∃𝑗 ∈ ℕ₀ (((((𝑑↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1 ∧ ((𝑓↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑒↑2))) = 1 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑖↑2) − (((𝑔↑2) − 1) · (ℎ↑2))) = 1 ∧ 𝑒 = ((𝑗 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) ∧ 𝑓 ∥ (𝑔 − 𝐴))) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝑔 − 1) ∧ 𝑓 ∥ (ℎ − 𝐶)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (ℎ − 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ∃wrex 3065 class class class wbr 5074 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 ≤ cle 11010 − cmin 11205 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 ℕ₀cn0 12233 ℤ_≥cuz 12582 ↑cexp 13782 ∥ cdvds 15963 X_rm crmx 40722 Y_rm crmy 40723

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949 ax-addf 10950 ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-iin 4927 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-of 7533 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-supp 7978 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-oadd 8301 df-omul 8302 df-er 8498 df-map 8617 df-pm 8618 df-ixp 8686 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-fsupp 9129 df-fi 9170 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-card 9697 df-acn 9700 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-xnn0 12306 df-z 12320 df-dec 12438 df-uz 12583 df-q 12689 df-rp 12731 df-xneg 12848 df-xadd 12849 df-xmul 12850 df-ioo 13083 df-ioc 13084 df-ico 13085 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-mod 13590 df-seq 13722 df-exp 13783 df-fac 13988 df-bc 14017 df-hash 14045 df-shft 14778 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-limsup 15180 df-clim 15197 df-rlim 15198 df-sum 15398 df-ef 15777 df-sin 15779 df-cos 15780 df-pi 15782 df-dvds 15964 df-gcd 16202 df-prm 16377 df-numer 16439 df-denom 16440 df-struct 16848 df-sets 16865 df-slot 16883 df-ndx 16895 df-base 16913 df-ress 16942 df-plusg 16975 df-mulr 16976 df-starv 16977 df-sca 16978 df-vsca 16979 df-ip 16980 df-tset 16981 df-ple 16982 df-ds 16984 df-unif 16985 df-hom 16986 df-cco 16987 df-rest 17133 df-topn 17134 df-0g 17152 df-gsum 17153 df-topgen 17154 df-pt 17155 df-prds 17158 df-xrs 17213 df-qtop 17218 df-imas 17219 df-xps 17221 df-mre 17295 df-mrc 17296 df-acs 17298 df-mgm 18326 df-sgrp 18375 df-mnd 18386 df-submnd 18431 df-mulg 18701 df-cntz 18923 df-cmn 19388 df-psmet 20589 df-xmet 20590 df-met 20591 df-bl 20592 df-mopn 20593 df-fbas 20594 df-fg 20595 df-cnfld 20598 df-top 22043 df-topon 22060 df-topsp 22082 df-bases 22096 df-cld 22170 df-ntr 22171 df-cls 22172 df-nei 22249 df-lp 22287 df-perf 22288 df-cn 22378 df-cnp 22379 df-haus 22466 df-tx 22713 df-hmeo 22906 df-fil 22997 df-fm 23089 df-flim 23090 df-flf 23091 df-xms 23473 df-ms 23474 df-tms 23475 df-cncf 24041 df-limc 25030 df-dv 25031 df-log 25712 df-squarenn 40663 df-pell1qr 40664 df-pell14qr 40665 df-pell1234qr 40666 df-pellfund 40667 df-rmx 40724 df-rmy 40725

This theorem is referenced by: rmydioph 40836

W3C validator