Theorem sq2reunnltb 31583

Description: There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different positive integers iff the prime is of the form 4𝑘 + 1. Double restricted existential uniqueness variant of 2sqreunnltb 26886. (Contributed by AV, 5-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sq2reunnltb	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ , 𝑏 ∈ ℕ(𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem sq2reunnltb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 260	. . 3 ⊢ ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2	1	2sqreunnltb 26886	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))))
3		df-2reu 31577	. 2 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ , 𝑏 ∈ ℕ(𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
4	2, 3	bitr4di 288	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ , 𝑏 ∈ ℕ(𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069  ∃!wreu 3373   class class class wbr 5138  (class class class)co 7390  1c1 11090   + caddc 11092   < clt 11227  ℕcn 12191  2c2 12246  4c4 12248   mod cmo 13813  ↑cexp 14006  ℙcprime 16587  ∃!w2reu 31576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167  ax-addf 11168  ax-mulf 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-isom 6538  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7650  df-ofr 7651  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-supp 8126  df-tpos 8190  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-2o 8446  df-oadd 8449  df-er 8683  df-ec 8685  df-qs 8689  df-map 8802  df-pm 8803  df-ixp 8872  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-fsupp 9342  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9484  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-7 12259  df-8 12260  df-9 12261  df-n0 12452  df-xnn0 12524  df-z 12538  df-dec 12657  df-uz 12802  df-q 12912  df-rp 12954  df-fz 13464  df-fzo 13607  df-fl 13736  df-mod 13814  df-seq 13946  df-exp 14007  df-hash 14270  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-dvds 16177  df-gcd 16415  df-prm 16588  df-phi 16678  df-pc 16749  df-gz 16842  df-struct 17059  df-sets 17076  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-ress 17153  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-starv 17191  df-sca 17192  df-vsca 17193  df-ip 17194  df-tset 17195  df-ple 17196  df-ds 17198  df-unif 17199  df-hom 17200  df-cco 17201  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-prds 17372  df-pws 17374  df-imas 17433  df-qus 17434  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18540  df-sgrp 18589  df-mnd 18600  df-mhm 18644  df-submnd 18645  df-grp 18794  df-minusg 18795  df-sbg 18796  df-mulg 18920  df-subg 18972  df-nsg 18973  df-eqg 18974  df-ghm 19053  df-cntz 19144  df-cmn 19611  df-abl 19612  df-mgp 19944  df-ur 19961  df-srg 19965  df-ring 20013  df-cring 20014  df-oppr 20099  df-dvdsr 20120  df-unit 20121  df-invr 20151  df-dvr 20162  df-rnghom 20198  df-nzr 20239  df-drng 20264  df-field 20265  df-subrg 20305  df-lmod 20417  df-lss 20487  df-lsp 20527  df-sra 20729  df-rgmod 20730  df-lidl 20731  df-rsp 20732  df-2idl 20798  df-rlreg 20830  df-domn 20831  df-idom 20832  df-cnfld 20874  df-zring 20947  df-zrh 20981  df-zn 20984  df-assa 21336  df-asp 21337  df-ascl 21338  df-psr 21388  df-mvr 21389  df-mpl 21390  df-opsr 21392  df-evls 21559  df-evl 21560  df-psr1 21628  df-vr1 21629  df-ply1 21630  df-coe1 21631  df-evl1 21759  df-mdeg 25494  df-deg1 25495  df-mon1 25572  df-uc1p 25573  df-q1p 25574  df-r1p 25575  df-lgs 26720  df-2reu 31577

This theorem is referenced by: (None)