Theorem goldrasin 47660

Description: Alternative trigonometric formula for the golden ratio. (Contributed by Ender Ting, 15-Mar-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
goldra.val	⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))

Assertion

Ref	Expression
goldrasin	⊢ 𝐹 = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))

Proof of Theorem goldrasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goldra.val	. 2 ⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))
2		picn 26658	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
3		5cn 12347	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
4		5re 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
5		5pos 12371	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 5
6	4, 5	gt0ne0ii 11768	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ≠ 0
7	2, 3, 6	divreci 11978	. . . . . . 7 ⊢ (π / 5) = (π · (1 / 5))
8		2cn 12334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		2ne0 12365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
10	8, 3, 9, 6	subreci 12064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 5)) = ((5 − 2) / (2 · 5))
11		3cn 12340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		3p2e5 12409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 + 2) = 5
13	12	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = (3 + 2)
14	11, 8, 13	mvrraddi 11492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 − 2) = 3
15		5t2e10 12834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 2) = ;10
16	3, 8, 15	mulcomli 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 5) = ;10
17	14, 16	oveq12i 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 − 2) / (2 · 5)) = (3 / ;10)
18	10, 17	eqtri 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 5)) = (3 / ;10)
19	18	eqcomi 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5))
20		10re 12752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;10 ∈ ℝ
21	20	recni 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ∈ ℂ
22		10pos 12750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < ;10
23	20, 22	gt0ne0ii 11768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ≠ 0
24	11, 21, 23	divcli 11975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / ;10) ∈ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (3 / ;10) ∈ ℂ)
26	3, 6	reccli 11963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 5) ∈ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (1 / 5) ∈ ℂ)
28		halfcn 12476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
30	25, 27, 29	subexsub 11650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5)) ↔ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10))))
31	30	mptru 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5)) ↔ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10)))
32	19, 31	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10))
33	32	oveq2i 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (π · (1 / 5)) = (π · ((1 / 2) − (3 / ;10)))
34	2, 28, 24	subdii 11681	. . . . . . . 8 ⊢ (π · ((1 / 2) − (3 / ;10))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
35	33, 34	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (π · (1 / 5)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
36	7, 35	eqtri 2789	. . . . . 6 ⊢ (π / 5) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
37	2, 8, 9	divreci 11978	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
38	37	eqcomi 2775	. . . . . . 7 ⊢ (π · (1 / 2)) = (π / 2)
39	38	oveq1i 7433	. . . . . 6 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10))) = ((π / 2) − (π · (3 / ;10)))
40	36, 39	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (π / 5) = ((π / 2) − (π · (3 / ;10)))
41	40	fveq2i 6891	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 5)) = (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10))))
42	2, 24	mulcli 11234	. . . . 5 ⊢ (π · (3 / ;10)) ∈ ℂ
43		coshalfpim 26697	. . . . 5 ⊢ ((π · (3 / ;10)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10)))) = (sin‘(π · (3 / ;10))))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10)))) = (sin‘(π · (3 / ;10)))
45	41, 44	eqtri 2789	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 5)) = (sin‘(π · (3 / ;10)))
46	45	oveq2i 7434	. 2 ⊢ (2 · (cos‘(π / 5))) = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))
47	1, 46	eqtri 2789	1 ⊢ 𝐹 = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459   / cdiv 11889  2c2 12313  3c3 12314  5c5 12316  ;cdc 12729  sincsin 16142  cosccos 16143  πcpi 16145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063

This theorem is used by: (None)