Theorem goldrasin 48022

Description: Alternative trigonometric formula for the golden ratio. (Contributed by Ender Ting, 15-Mar-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
goldra.val	⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))

Assertion

Ref	Expression
goldrasin	⊢ 𝐹 = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))

Proof of Theorem goldrasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goldra.val	. 2 ⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))
2		picn 26790	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
3		5cn 12434	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
4		5re 12433	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
5		5pos 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 5
6	4, 5	gt0ne0ii 11855	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ≠ 0
7	2, 3, 6	divreci 12065	. . . . . . 7 ⊢ (π / 5) = (π · (1 / 5))
8		2cn 12421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		2ne0 12452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
10	8, 3, 9, 6	subreci 12151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 5)) = ((5 − 2) / (2 · 5))
11		3cn 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		3p2e5 12496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 + 2) = 5
13	12	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = (3 + 2)
14	11, 8, 13	mvrraddi 11577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 − 2) = 3
15		5t2e10 12922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 2) = ;10
16	3, 8, 15	mulcomli 11321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 5) = ;10
17	14, 16	oveq12i 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 − 2) / (2 · 5)) = (3 / ;10)
18	10, 17	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 5)) = (3 / ;10)
19	18	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5))
20		10re 12840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;10 ∈ ℝ
21	20	recni 11326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ∈ ℂ
22		10pos 12838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < ;10
23	20, 22	gt0ne0ii 11855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ≠ 0
24	11, 21, 23	divcli 12062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / ;10) ∈ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (3 / ;10) ∈ ℂ)
26	3, 6	reccli 12050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 5) ∈ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (1 / 5) ∈ ℂ)
28		halfcn 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
30	25, 27, 29	subexsub 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5)) ↔ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10))))
31	30	mptru 1576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5)) ↔ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10)))
32	19, 31	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10))
33	32	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (π · (1 / 5)) = (π · ((1 / 2) − (3 / ;10)))
34	2, 28, 24	subdii 11768	. . . . . . . 8 ⊢ (π · ((1 / 2) − (3 / ;10))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
35	33, 34	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (π · (1 / 5)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
36	7, 35	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (π / 5) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
37	2, 8, 9	divreci 12065	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
38	37	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ (π · (1 / 2)) = (π / 2)
39	38	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10))) = ((π / 2) − (π · (3 / ;10)))
40	36, 39	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (π / 5) = ((π / 2) − (π · (3 / ;10)))
41	40	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 5)) = (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10))))
42	2, 24	mulcli 11319	. . . . 5 ⊢ (π · (3 / ;10)) ∈ ℂ
43		coshalfpim 26829	. . . . 5 ⊢ ((π · (3 / ;10)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10)))) = (sin‘(π · (3 / ;10))))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10)))) = (sin‘(π · (3 / ;10)))
45	41, 44	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 5)) = (sin‘(π · (3 / ;10)))
46	45	oveq2i 7431	. 2 ⊢ (2 · (cos‘(π / 5))) = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))
47	1, 46	eqtri 2783	1 ⊢ 𝐹 = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   / cdiv 11976  2c2 12400  3c3 12401  5c5 12403  ;cdc 12817  sincsin 16234  cosccos 16235  πcpi 16237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192

This theorem is used by: (None)