Theorem goldrasin 47330

Description: Alternative trigonometric formula for the golden ratio. (Contributed by Ender Ting, 15-Mar-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
goldra.val	⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))

Assertion

Ref	Expression
goldrasin	⊢ 𝐹 = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))

Proof of Theorem goldrasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goldra.val	. 2 ⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))
2		picn 26422	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
3		5cn 12269	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
4		5re 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
5		5pos 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 5
6	4, 5	gt0ne0ii 11686	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ≠ 0
7	2, 3, 6	divreci 11900	. . . . . . 7 ⊢ (π / 5) = (π · (1 / 5))
8		2cn 12256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		2ne0 12285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
10	8, 3, 9, 6	subreci 11986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 5)) = ((5 − 2) / (2 · 5))
11		3cn 12262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		3p2e5 12327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 + 2) = 5
13	12	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = (3 + 2)
14	11, 8, 13	mvrraddi 11410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 − 2) = 3
15		5t2e10 12744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 2) = ;10
16	3, 8, 15	mulcomli 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 5) = ;10
17	14, 16	oveq12i 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 − 2) / (2 · 5)) = (3 / ;10)
18	10, 17	eqtri 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 5)) = (3 / ;10)
19	18	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5))
20		10re 12663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;10 ∈ ℝ
21	20	recni 11159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ∈ ℂ
22		10pos 12661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < ;10
23	20, 22	gt0ne0ii 11686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ≠ 0
24	11, 21, 23	divcli 11897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / ;10) ∈ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (3 / ;10) ∈ ℂ)
26	3, 6	reccli 11885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 5) ∈ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (1 / 5) ∈ ℂ)
28		halfcn 12391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
30	25, 27, 29	subexsub 11568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5)) ↔ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10))))
31	30	mptru 1549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5)) ↔ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10)))
32	19, 31	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10))
33	32	oveq2i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (π · (1 / 5)) = (π · ((1 / 2) − (3 / ;10)))
34	2, 28, 24	subdii 11599	. . . . . . . 8 ⊢ (π · ((1 / 2) − (3 / ;10))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
35	33, 34	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (π · (1 / 5)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
36	7, 35	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (π / 5) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
37	2, 8, 9	divreci 11900	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
38	37	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ (π · (1 / 2)) = (π / 2)
39	38	oveq1i 7377	. . . . . 6 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10))) = ((π / 2) − (π · (3 / ;10)))
40	36, 39	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (π / 5) = ((π / 2) − (π · (3 / ;10)))
41	40	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 5)) = (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10))))
42	2, 24	mulcli 11152	. . . . 5 ⊢ (π · (3 / ;10)) ∈ ℂ
43		coshalfpim 26459	. . . . 5 ⊢ ((π · (3 / ;10)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10)))) = (sin‘(π · (3 / ;10))))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10)))) = (sin‘(π · (3 / ;10)))
45	41, 44	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 5)) = (sin‘(π · (3 / ;10)))
46	45	oveq2i 7378	. 2 ⊢ (2 · (cos‘(π / 5))) = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))
47	1, 46	eqtri 2759	1 ⊢ 𝐹 = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  3c3 12237  5c5 12239  ;cdc 12644  sincsin 16028  cosccos 16029  πcpi 16031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by: (None)