Theorem goldrasin 47543

Description: Alternative trigonometric formula for the golden ratio. (Contributed by Ender Ting, 15-Mar-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
goldra.val	⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))

Assertion

Ref	Expression
goldrasin	⊢ 𝐹 = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))

Proof of Theorem goldrasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goldra.val	. 2 ⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))
2		picn 26587	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
3		5cn 12329	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
4		5re 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
5		5pos 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 5
6	4, 5	gt0ne0ii 11750	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ≠ 0
7	2, 3, 6	divreci 11960	. . . . . . 7 ⊢ (π / 5) = (π · (1 / 5))
8		2cn 12316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		2ne0 12347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
10	8, 3, 9, 6	subreci 12046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 5)) = ((5 − 2) / (2 · 5))
11		3cn 12322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		3p2e5 12391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 + 2) = 5
13	12	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = (3 + 2)
14	11, 8, 13	mvrraddi 11474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 − 2) = 3
15		5t2e10 12816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 2) = ;10
16	3, 8, 15	mulcomli 11218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 5) = ;10
17	14, 16	oveq12i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 − 2) / (2 · 5)) = (3 / ;10)
18	10, 17	eqtri 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 5)) = (3 / ;10)
19	18	eqcomi 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5))
20		10re 12734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;10 ∈ ℝ
21	20	recni 11223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ∈ ℂ
22		10pos 12732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < ;10
23	20, 22	gt0ne0ii 11750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ≠ 0
24	11, 21, 23	divcli 11957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / ;10) ∈ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (3 / ;10) ∈ ℂ)
26	3, 6	reccli 11945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 5) ∈ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (1 / 5) ∈ ℂ)
28		halfcn 12458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
30	25, 27, 29	subexsub 11632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5)) ↔ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10))))
31	30	mptru 1574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5)) ↔ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10)))
32	19, 31	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10))
33	32	oveq2i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (π · (1 / 5)) = (π · ((1 / 2) − (3 / ;10)))
34	2, 28, 24	subdii 11663	. . . . . . . 8 ⊢ (π · ((1 / 2) − (3 / ;10))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
35	33, 34	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (π · (1 / 5)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
36	7, 35	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ (π / 5) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
37	2, 8, 9	divreci 11960	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
38	37	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ (π · (1 / 2)) = (π / 2)
39	38	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10))) = ((π / 2) − (π · (3 / ;10)))
40	36, 39	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (π / 5) = ((π / 2) − (π · (3 / ;10)))
41	40	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 5)) = (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10))))
42	2, 24	mulcli 11216	. . . . 5 ⊢ (π · (3 / ;10)) ∈ ℂ
43		coshalfpim 26626	. . . . 5 ⊢ ((π · (3 / ;10)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10)))) = (sin‘(π · (3 / ;10))))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10)))) = (sin‘(π · (3 / ;10)))
45	41, 44	eqtri 2792	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 5)) = (sin‘(π · (3 / ;10)))
46	45	oveq2i 7422	. 2 ⊢ (2 · (cos‘(π / 5))) = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))
47	1, 46	eqtri 2792	1 ⊢ 𝐹 = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   − cmin 11441   / cdiv 11871  2c2 12295  3c3 12296  5c5 12298  ;cdc 12711  sincsin 16117  cosccos 16118  πcpi 16120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995

This theorem is referenced by: (None)