Theorem goldrasin 47873

Description: Alternative trigonometric formula for the golden ratio. (Contributed by Ender Ting, 15-Mar-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
goldra.val	⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))

Assertion

Ref	Expression
goldrasin	⊢ 𝐹 = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))

Proof of Theorem goldrasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goldra.val	. 2 ⊢ 𝐹 = (2 · (cos‘(π / 5)))
2		picn 26767	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
3		5cn 12412	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
4		5re 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
5		5pos 12436	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 5
6	4, 5	gt0ne0ii 11833	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ≠ 0
7	2, 3, 6	divreci 12043	. . . . . . 7 ⊢ (π / 5) = (π · (1 / 5))
8		2cn 12399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		2ne0 12430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
10	8, 3, 9, 6	subreci 12129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 5)) = ((5 − 2) / (2 · 5))
11		3cn 12405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		3p2e5 12474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 + 2) = 5
13	12	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = (3 + 2)
14	11, 8, 13	mvrraddi 11555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 − 2) = 3
15		5t2e10 12900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 2) = ;10
16	3, 8, 15	mulcomli 11299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 5) = ;10
17	14, 16	oveq12i 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 − 2) / (2 · 5)) = (3 / ;10)
18	10, 17	eqtri 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 5)) = (3 / ;10)
19	18	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5))
20		10re 12818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;10 ∈ ℝ
21	20	recni 11304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ∈ ℂ
22		10pos 12816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < ;10
23	20, 22	gt0ne0ii 11833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ≠ 0
24	11, 21, 23	divcli 12040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / ;10) ∈ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (3 / ;10) ∈ ℂ)
26	3, 6	reccli 12028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 5) ∈ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (1 / 5) ∈ ℂ)
28		halfcn 12541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
30	25, 27, 29	subexsub 11715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5)) ↔ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10))))
31	30	mptru 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 / ;10) = ((1 / 2) − (1 / 5)) ↔ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10)))
32	19, 31	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 5) = ((1 / 2) − (3 / ;10))
33	32	oveq2i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (π · (1 / 5)) = (π · ((1 / 2) − (3 / ;10)))
34	2, 28, 24	subdii 11746	. . . . . . . 8 ⊢ (π · ((1 / 2) − (3 / ;10))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
35	33, 34	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (π · (1 / 5)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
36	7, 35	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (π / 5) = ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10)))
37	2, 8, 9	divreci 12043	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
38	37	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ (π · (1 / 2)) = (π / 2)
39	38	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (3 / ;10))) = ((π / 2) − (π · (3 / ;10)))
40	36, 39	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (π / 5) = ((π / 2) − (π · (3 / ;10)))
41	40	fveq2i 6880	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 5)) = (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10))))
42	2, 24	mulcli 11297	. . . . 5 ⊢ (π · (3 / ;10)) ∈ ℂ
43		coshalfpim 26806	. . . . 5 ⊢ ((π · (3 / ;10)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10)))) = (sin‘(π · (3 / ;10))))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π · (3 / ;10)))) = (sin‘(π · (3 / ;10)))
45	41, 44	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 5)) = (sin‘(π · (3 / ;10)))
46	45	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (2 · (cos‘(π / 5))) = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))
47	1, 46	eqtri 2784	1 ⊢ 𝐹 = (2 · (sin‘(π · (3 / ;10))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522   / cdiv 11954  2c2 12378  3c3 12379  5c5 12381  ;cdc 12795  sincsin 16209  cosccos 16210  πcpi 16212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167

This theorem is used by: (None)