Theorem logleb 24585

Description: Natural logarithm preserves ≤. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
logleb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵)))

Proof of Theorem logleb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logltb 24582	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (log‘𝐵) < (log‘𝐴)))
2	1	ancoms 448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (log‘𝐵) < (log‘𝐴)))
3	2	notbid 309	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (log‘𝐵) < (log‘𝐴)))
4		rpre 12072	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		rpre 12072	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		lenlt 10410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2an 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		relogcl 24558	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
9		relogcl 24558	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
10		lenlt 10410	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ ¬ (log‘𝐵) < (log‘𝐴)))
11	8, 9, 10	syl2an 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ ¬ (log‘𝐵) < (log‘𝐴)))
12	3, 7, 11	3bitr4d 302	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4855  ‘cfv 6110  ℝcr 10229   < clt 10368   ≤ cle 10369  ℝ⁺crp 12065  logclog 24537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-inf2 8794  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307  ax-pre-sup 10308  ax-addf 10309  ax-mulf 10310

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-isom 6119  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-of 7136  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-supp 7539  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-2o 7806  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-pm 8104  df-ixp 8155  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-fsupp 8524  df-fi 8565  df-sup 8596  df-inf 8597  df-oi 8663  df-card 9057  df-cda 9284  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10979  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-q 12027  df-rp 12066  df-xneg 12181  df-xadd 12182  df-xmul 12183  df-ioo 12416  df-ioc 12417  df-ico 12418  df-icc 12419  df-fz 12569  df-fzo 12709  df-fl 12836  df-mod 12912  df-seq 13044  df-exp 13103  df-fac 13300  df-bc 13329  df-hash 13357  df-shft 14049  df-cj 14081  df-re 14082  df-im 14083  df-sqrt 14217  df-abs 14218  df-limsup 14444  df-clim 14461  df-rlim 14462  df-sum 14659  df-ef 15037  df-sin 15039  df-cos 15040  df-pi 15042  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-ress 16095  df-plusg 16185  df-mulr 16186  df-starv 16187  df-sca 16188  df-vsca 16189  df-ip 16190  df-tset 16191  df-ple 16192  df-ds 16194  df-unif 16195  df-hom 16196  df-cco 16197  df-rest 16307  df-topn 16308  df-0g 16326  df-gsum 16327  df-topgen 16328  df-pt 16329  df-prds 16332  df-xrs 16386  df-qtop 16391  df-imas 16392  df-xps 16394  df-mre 16470  df-mrc 16471  df-acs 16473  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-submnd 17560  df-mulg 17765  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19965  df-xmet 19966  df-met 19967  df-bl 19968  df-mopn 19969  df-fbas 19970  df-fg 19971  df-cnfld 19974  df-top 20932  df-topon 20949  df-topsp 20971  df-bases 20984  df-cld 21057  df-ntr 21058  df-cls 21059  df-nei 21136  df-lp 21174  df-perf 21175  df-cn 21265  df-cnp 21266  df-haus 21353  df-tx 21599  df-hmeo 21792  df-fil 21883  df-fm 21975  df-flim 21976  df-flf 21977  df-xms 22358  df-ms 22359  df-tms 22360  df-cncf 22914  df-limc 23866  df-dv 23867  df-log 24539

This theorem is referenced by:  logge0  24587  logled  24609  logbleb  24757  harmonicbnd3  24970  harmonicbnd4  24973  vmalelog  25166  logfacubnd  25182  logfacbnd3  25184  logfacrlim  25185  logexprlim  25186  rpvmasumlem  25412  dchrvmasumiflem1  25426  dchrisum0fno1  25436  dchrisum0re  25438  dirith2  25453  mulog2sumlem1  25459  mulog2sumlem2  25460  log2sumbnd  25469  selberg2lem  25475  chpdifbndlem1  25478  chpdifbndlem2  25479  logdivbnd  25481  selberg3lem1  25482  pntpbnd1a  25510  pntlemn  25525  pntlemj  25528  pntlemk  25531  hgt750lem  31076  hgt750lemb  31081  reglogleb  37975