Theorem rpcxpcld 26773

Description: Positive real closure of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpcxpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpcxpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpcxpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcxpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpcxpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		rpcxpcl 26716	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7390  ℝcr 11067  ℝ⁺crp 12988  ↑_𝑐ccxp 26595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-inf2 9591  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9303  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9453  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12477  df-z 12564  df-dec 12684  df-uz 12835  df-q 12945  df-rp 12989  df-xneg 13109  df-xadd 13110  df-xmul 13111  df-ioo 13348  df-ioc 13349  df-ico 13350  df-icc 13351  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14010  df-exp 14070  df-fac 14282  df-bc 14311  df-hash 14339  df-shft 15075  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-limsup 15479  df-clim 15496  df-rlim 15497  df-sum 15695  df-ef 16078  df-sin 16080  df-cos 16081  df-pi 16083  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-mulr 17281  df-starv 17282  df-sca 17283  df-vsca 17284  df-ip 17285  df-tset 17286  df-ple 17287  df-ds 17289  df-unif 17290  df-hom 17291  df-cco 17292  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17513  df-qtop 17518  df-imas 17519  df-xps 17521  df-mre 17595  df-mrc 17596  df-acs 17598  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-submnd 18799  df-mulg 19091  df-cntz 19338  df-cmn 19803  df-psmet 21394  df-xmet 21395  df-met 21396  df-bl 21397  df-mopn 21398  df-fbas 21399  df-fg 21400  df-cnfld 21403  df-top 22932  df-topon 22949  df-topsp 22971  df-bases 22984  df-cld 23057  df-ntr 23058  df-cls 23059  df-nei 23136  df-lp 23174  df-perf 23175  df-cn 23265  df-cnp 23266  df-haus 23353  df-tx 23600  df-hmeo 23793  df-fil 23884  df-fm 23976  df-flim 23977  df-flf 23978  df-xms 24358  df-ms 24359  df-tms 24360  df-cncf 24918  df-limc 25906  df-dv 25907  df-log 26596  df-cxp 26597

This theorem is referenced by:  cxpgt0d  26778  cxpcn3lem  26787  cxpaddle  26792  cxplim  27011  rlimcxp  27013  cxp2lim  27016  cxploglim  27017  cxploglim2  27018  bposlem6  27328  chtppilimlem1  27512  chtppilimlem2  27513  abvcxp  27654  padicabvcxp  27671  ostth2lem3  27674  ostth2lem4  27675  aks4d1p1p2  42640  aks4d1p1p4  42641  fltne  43179  xralrple4  45901  amgmwlem  50376  amgmlemALT  50377  amgmw2d  50378  young2d  50379