Theorem cldcss2 25349

Description: Corollary of the Projection Theorem: A topologically closed subspace is algebraically closed in Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cldcss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cldcss.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cldcss.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
cldcss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cldcss2	⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐶 = (𝐿 ∩ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem cldcss2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldcss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		cldcss.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		cldcss.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
4		cldcss.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cldcss 25348	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))))
6		elin 3933	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐿 ∩ (Clsd‘𝐽)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)))
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ (𝐿 ∩ (Clsd‘𝐽))))
8	7	eqrdv 2728	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐶 = (𝐿 ∩ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  TopOpenctopn 17391  LSubSpclss 20844  ClSubSpccss 21577  Clsdccld 22910  ℂHilchl 25241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-lsm 19573  df-pj1 19574  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-staf 20755  df-srng 20756  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lmhm 20936  df-lvec 21017  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-phl 21542  df-ipf 21543  df-ocv 21579  df-css 21580  df-pj 21619  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-t1 23208  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-flim 23833  df-fcls 23835  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-nm 24477  df-ngp 24478  df-tng 24479  df-nlm 24481  df-cncf 24778  df-clm 24970  df-cph 25075  df-tcph 25076  df-cfil 25162  df-cmet 25164  df-cms 25242  df-bn 25243  df-hl 25244

This theorem is referenced by:  hlhil  25350