Theorem mulog2sum 27478

Description: Asymptotic formula for Σ𝑛 ≤ 𝑥, (μ(𝑛) / 𝑛)log↑2(𝑥 / 𝑛) = 2log𝑥 + 𝑂(1). Equation 10.2.8 of [Shapiro], p. 407. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulog2sum	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem mulog2sum

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
2		id 22	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧)
3	1, 2	mulog2sumlem3 27477	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
4	1	logdivsum 27474	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 ∧ (((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 1 ∧ 1 ∈ ℝ+ ∧ e ≤ 1) → (abs‘(((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))‘1) − 1)) ≤ ((log‘1) / 1)))
5	4	simp2i 1140	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟
6		eldmg 5844	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑧(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧))
7	6	ibi 267	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑧(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧)
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑧(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧
9	3, 8	exlimiiv 1932	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5621  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  1c1 11016   · cmul 11020   ≤ cle 11156   − cmin 11353   / cdiv 11783  2c2 12189  ℝ⁺crp 12894  ...cfz 13411  ⌊cfl 13698  ↑cexp 13972  abscabs 15145   ⇝_𝑟 crli 15396  𝑂(1)co1 15397  Σcsu 15597  eceu 15973  logclog 26493  μcmu 27035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-oadd 8397  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-fi 9304  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-dju 9803  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-xnn0 12464  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-ioo 13253  df-ioc 13254  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-mod 13778  df-seq 13913  df-exp 13973  df-fac 14185  df-bc 14214  df-hash 14242  df-shft 14978  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-limsup 15382  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-o1 15401  df-lo1 15402  df-sum 15598  df-ef 15978  df-e 15979  df-sin 15980  df-cos 15981  df-tan 15982  df-pi 15983  df-dvds 16168  df-gcd 16410  df-prm 16587  df-pc 16753  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-rest 17330  df-topn 17331  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-topgen 17351  df-pt 17352  df-prds 17355  df-xrs 17410  df-qtop 17415  df-imas 17416  df-xps 17418  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-mulg 18985  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-fbas 21292  df-fg 21293  df-cnfld 21296  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-cld 22937  df-ntr 22938  df-cls 22939  df-nei 23016  df-lp 23054  df-perf 23055  df-cn 23145  df-cnp 23146  df-haus 23233  df-cmp 23305  df-tx 23480  df-hmeo 23673  df-fil 23764  df-fm 23856  df-flim 23857  df-flf 23858  df-xms 24238  df-ms 24239  df-tms 24240  df-cncf 24801  df-limc 25797  df-dv 25798  df-ulm 26316  df-log 26495  df-cxp 26496  df-atan 26807  df-em 26933  df-mu 27041

This theorem is referenced by:  selberglem1  27486