MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulog2sum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulog2sum 26813
Description: Asymptotic formula for Σ𝑛𝑥, (μ(𝑛) / 𝑛)log↑2(𝑥 / 𝑛) = 2log𝑥 + 𝑂(1). Equation 10.2.8 of [Shapiro], p. 407. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulog2sum (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem mulog2sum
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
21logdivsum 26809 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))):ℝ+⟶ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 ∧ (((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 1 ∧ 1 ∈ ℝ+ ∧ e ≤ 1) → (abs‘(((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))‘1) − 1)) ≤ ((log‘1) / 1)))
32simp2i 1141 . 2 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟
4 eldmg 5851 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑧(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧))
54ibi 267 . 2 ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑧(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧)
6 id 22 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧)
71, 6mulog2sumlem3 26812 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
87exlimiv 1934 . 2 (∃𝑧(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑚) / 𝑚) − (((log‘𝑦)↑2) / 2))) ⇝𝑟 𝑧 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
93, 5, 8mp2b 10 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088  wex 1782  wcel 2107   class class class wbr 5104  cmpt 5187  dom cdm 5631  wf 6488  cfv 6492  (class class class)co 7350  cr 10984  1c1 10986   · cmul 10990  cle 11124  cmin 11319   / cdiv 11746  2c2 12142  +crp 12845  ...cfz 13354  cfl 13625  cexp 13897  abscabs 15054  𝑟 crli 15303  𝑂(1)co1 15304  Σcsu 15506  eceu 15881  logclog 25838  μcmu 26372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-q 12804  df-rp 12846  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-ioo 13198  df-ioc 13199  df-ico 13200  df-icc 13201  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-fl 13627  df-mod 13705  df-seq 13837  df-exp 13898  df-fac 14103  df-bc 14132  df-hash 14160  df-shft 14887  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-limsup 15289  df-clim 15306  df-rlim 15307  df-o1 15308  df-lo1 15309  df-sum 15507  df-ef 15886  df-e 15887  df-sin 15888  df-cos 15889  df-tan 15890  df-pi 15891  df-dvds 16073  df-gcd 16311  df-prm 16484  df-pc 16645  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-ip 17087  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-hom 17093  df-cco 17094  df-rest 17240  df-topn 17241  df-0g 17259  df-gsum 17260  df-topgen 17261  df-pt 17262  df-prds 17265  df-xrs 17320  df-qtop 17325  df-imas 17326  df-xps 17328  df-mre 17402  df-mrc 17403  df-acs 17405  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-submnd 18538  df-mulg 18808  df-cntz 19032  df-cmn 19499  df-psmet 20717  df-xmet 20718  df-met 20719  df-bl 20720  df-mopn 20721  df-fbas 20722  df-fg 20723  df-cnfld 20726  df-top 22171  df-topon 22188  df-topsp 22210  df-bases 22224  df-cld 22298  df-ntr 22299  df-cls 22300  df-nei 22377  df-lp 22415  df-perf 22416  df-cn 22506  df-cnp 22507  df-haus 22594  df-cmp 22666  df-tx 22841  df-hmeo 23034  df-fil 23125  df-fm 23217  df-flim 23218  df-flf 23219  df-xms 23601  df-ms 23602  df-tms 23603  df-cncf 24169  df-limc 25158  df-dv 25159  df-ulm 25664  df-log 25840  df-cxp 25841  df-atan 26145  df-em 26270  df-mu 26378
This theorem is referenced by:  selberglem1  26821
  Copyright terms: Public domain W3C validator