Theorem fourierclim 47327

Description: Fourier series convergence, for piecewise smooth functions. See fourier 47328 for the analogous Σ equation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierclim.f	⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
fourierclim.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourierclim.per	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierclim.g	⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ ( -π(,)π))
fourierclim.dmdv	⊢ (( -π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
fourierclim.dvcn	⊢ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ)
fourierclim.rlim	⊢ (𝑥 ∈ (( -π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierclim.llim	⊢ (𝑥 ∈ (( -π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourierclim.x	⊢ 𝑋 ∈ ℝ
fourierclim.l	⊢ 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
fourierclim.r	⊢ 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)
fourierclim.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierclim.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierclim.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))

Assertion

Ref	Expression
fourierclim	⊢ seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑛)   𝐵(𝑥, 𝑛)   𝑅(𝑥, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem fourierclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierclim.f	. . . 4 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		fourierclim.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
4		fourierclim.per	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
6		fourierclim.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ ( -π(,)π))
7		fourierclim.dmdv	. . . 4 ⊢ (( -π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (( -π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
9		fourierclim.dvcn	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
11		fourierclim.rlim	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( -π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
12	11	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (( -π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
13		fourierclim.llim	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( -π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
14	13	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (( -π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
15		fourierclim.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
17		fourierclim.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
19		fourierclim.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
21		fourierclim.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
22		fourierclim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫( -π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
23		fourierclim.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
24	2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 23	fourierclimd 47326	. 2 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
25	24	mptru 1576	1 ⊢ seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8976  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  +∞cpnf 11343  -∞cmnf 11344   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  (,)cioo 13479  (,]cioc 13480  [,)cico 13481  seqcseq 14147   ⇝ cli 15656  sincsin 16234  cosccos 16235  πcpi 16237  –cn→ccncf 25202  ∫citg 25944   lim_ℂ climc 26187   D cdv 26188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cc 10516  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-symdif 4198  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-acn 10026  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-t1 23637  df-haus 23638  df-cmp 23710  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-ovol 25790  df-vol 25791  df-mbf 25945  df-itg1 25946  df-itg2 25947  df-ibl 25948  df-itg 25949  df-0p 25996  df-ditg 26172  df-limc 26191  df-dv 26192

This theorem is used by:  fouriersw  47334