Theorem fourier 46196

Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. The series converges to the average value of the left and the right limit of the function. Thus, if the function is continuous at a given point, the series converges exactly to the function value, see fouriercnp 46197. Notice that for a piecewise smooth function, the left and right limits always exist, see fourier2 46198 for an alternative form of the theorem that makes this fact explicit. When the first derivative is continuous, a simpler version of the theorem can be stated, see fouriercn 46203. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourier.f	⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
fourier.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourier.per	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourier.g	⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourier.dmdv	⊢ ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
fourier.dvcn	⊢ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ)
fourier.rlim	⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourier.llim	⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourier.x	⊢ 𝑋 ∈ ℝ
fourier.l	⊢ 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
fourier.r	⊢ 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)
fourier.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourier.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))

Assertion

Ref	Expression
fourier	⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourier

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourier.f	. . . 4 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		fourier.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
4		fourier.per	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
6		fourier.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
7		fourier.dmdv	. . . 4 ⊢ ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
9		fourier.dvcn	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
11		fourier.rlim	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
13		fourier.llim	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
15		fourier.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
17		fourier.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
19		fourier.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
21		fourier.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
22		fourier.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
23	2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22	fourierd 46193	. 2 ⊢ (⊤ → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
24	23	mptru 1547	1 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927   ∖ cdif 3919  ∅c0 4304   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5646   ↾ cres 5648  ⟶wf 6515  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Fincfn 8922  ℂcc 11084  ℝcr 11085  0cc0 11086   + caddc 11089   · cmul 11091  +∞cpnf 11223  -∞cmnf 11224  -cneg 11424   / cdiv 11851  ℕcn 12197  2c2 12252  ℕ₀cn0 12458  (,)cioo 13319  (,]cioc 13320  [,)cico 13321  Σcsu 15659  sincsin 16036  cosccos 16037  πcpi 16039  –cn→ccncf 24775  ∫citg 25526   lim_ℂ climc 25770   D cdv 25771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-inf2 9612  ax-cc 10406  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164  ax-addf 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-symdif 4224  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-disj 5083  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-oadd 8447  df-omul 8448  df-er 8682  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9331  df-fi 9380  df-sup 9411  df-inf 9412  df-oi 9481  df-dju 9872  df-card 9910  df-acn 9913  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-q 12922  df-rp 12966  df-xneg 13085  df-xadd 13086  df-xmul 13087  df-ioo 13323  df-ioc 13324  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-fl 13766  df-mod 13844  df-seq 13977  df-exp 14037  df-fac 14249  df-bc 14278  df-hash 14306  df-shft 15043  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-lp 23029  df-perf 23030  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-t1 23207  df-haus 23208  df-cmp 23280  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cncf 24777  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528  df-itg2 25529  df-ibl 25530  df-itg 25531  df-0p 25578  df-ditg 25755  df-limc 25774  df-dv 25775

This theorem is referenced by: (None)