Theorem fourier 46148

Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. The series converges to the average value of the left and the right limit of the function. Thus, if the function is continuous at a given point, the series converges exactly to the function value, see fouriercnp 46149. Notice that for a piecewise smooth function, the left and right limits always exist, see fourier2 46150 for an alternative form of the theorem that makes this fact explicit. When the first derivative is continuous, a simpler version of the theorem can be stated, see fouriercn 46155. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourier.f	⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
fourier.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourier.per	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourier.g	⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourier.dmdv	⊢ ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
fourier.dvcn	⊢ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ)
fourier.rlim	⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourier.llim	⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourier.x	⊢ 𝑋 ∈ ℝ
fourier.l	⊢ 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
fourier.r	⊢ 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)
fourier.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourier.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))

Assertion

Ref	Expression
fourier	⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourier

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourier.f	. . . 4 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		fourier.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
4		fourier.per	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
6		fourier.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
7		fourier.dmdv	. . . 4 ⊢ ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
9		fourier.dvcn	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
11		fourier.rlim	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
13		fourier.llim	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
15		fourier.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
17		fourier.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
19		fourier.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
21		fourier.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
22		fourier.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
23	2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22	fourierd 46145	. 2 ⊢ (⊤ → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
24	23	mptru 1544	1 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  ∅c0 4352   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  ⟶wf 6571  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Fincfn 9005  ℂcc 11184  ℝcr 11185  0cc0 11186   + caddc 11189   · cmul 11191  +∞cpnf 11323  -∞cmnf 11324  -cneg 11523   / cdiv 11949  ℕcn 12295  2c2 12350  ℕ₀cn0 12555  (,)cioo 13409  (,]cioc 13410  [,)cico 13411  Σcsu 15736  sincsin 16113  cosccos 16114  πcpi 16116  –cn→ccncf 24923  ∫citg 25674   lim_ℂ climc 25919   D cdv 25920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cc 10506  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264  ax-addf 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-symdif 4272  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-ofr 7717  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-oadd 8528  df-omul 8529  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-ixp 8958  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-fi 9482  df-sup 9513  df-inf 9514  df-oi 9581  df-dju 9972  df-card 10010  df-acn 10013  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-xnn0 12628  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-xneg 13177  df-xadd 13178  df-xmul 13179  df-ioo 13413  df-ioc 13414  df-ico 13415  df-icc 13416  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14055  df-exp 14115  df-fac 14325  df-bc 14354  df-hash 14382  df-shft 15118  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15519  df-clim 15536  df-rlim 15537  df-sum 15737  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17484  df-topn 17485  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-topgen 17505  df-pt 17506  df-prds 17509  df-xrs 17564  df-qtop 17569  df-imas 17570  df-xps 17572  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-mulg 19110  df-cntz 19359  df-cmn 19826  df-psmet 21381  df-xmet 21382  df-met 21383  df-bl 21384  df-mopn 21385  df-fbas 21386  df-fg 21387  df-cnfld 21390  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22976  df-cld 23050  df-ntr 23051  df-cls 23052  df-nei 23129  df-lp 23167  df-perf 23168  df-cn 23258  df-cnp 23259  df-t1 23345  df-haus 23346  df-cmp 23418  df-tx 23593  df-hmeo 23786  df-fil 23877  df-fm 23969  df-flim 23970  df-flf 23971  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-cncf 24925  df-ovol 25520  df-vol 25521  df-mbf 25675  df-itg1 25676  df-itg2 25677  df-ibl 25678  df-itg 25679  df-0p 25726  df-ditg 25904  df-limc 25923  df-dv 25924

This theorem is referenced by: (None)