Theorem fourier 46173

Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. The series converges to the average value of the left and the right limit of the function. Thus, if the function is continuous at a given point, the series converges exactly to the function value, see fouriercnp 46174. Notice that for a piecewise smooth function, the left and right limits always exist, see fourier2 46175 for an alternative form of the theorem that makes this fact explicit. When the first derivative is continuous, a simpler version of the theorem can be stated, see fouriercn 46180. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourier.f	⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
fourier.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fourier.per	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourier.g	⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourier.dmdv	⊢ ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
fourier.dvcn	⊢ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ)
fourier.rlim	⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourier.llim	⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
fourier.x	⊢ 𝑋 ∈ ℝ
fourier.l	⊢ 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
fourier.r	⊢ 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)
fourier.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourier.b	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))

Assertion

Ref	Expression
fourier	⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourier

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourier.f	. . . 4 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		fourier.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
4		fourier.per	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
6		fourier.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
7		fourier.dmdv	. . . 4 ⊢ ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
9		fourier.dvcn	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ (dom 𝐺–cn→ℂ))
11		fourier.rlim	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
13		fourier.llim	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
15		fourier.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
17		fourier.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
19		fourier.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
21		fourier.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
22		fourier.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
23	2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22	fourierd 46170	. 2 ⊢ (⊤ → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
24	23	mptru 1546	1 ⊢ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∖ cdif 3928  ∅c0 4313   ↦ cmpt 5205  dom cdm 5665   ↾ cres 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  Fincfn 8966  ℂcc 11134  ℝcr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139   · cmul 11141  +∞cpnf 11273  -∞cmnf 11274  -cneg 11474   / cdiv 11901  ℕcn 12247  2c2 12302  ℕ₀cn0 12508  (,)cioo 13368  (,]cioc 13369  [,)cico 13370  Σcsu 15703  sincsin 16080  cosccos 16081  πcpi 16083  –cn→ccncf 24837  ∫citg 25588   lim_ℂ climc 25832   D cdv 25833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-symdif 4233  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-disj 5091  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9383  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12860  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13135  df-xadd 13136  df-xmul 13137  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14024  df-exp 14084  df-fac 14294  df-bc 14323  df-hash 14351  df-shft 15087  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-ef 16084  df-sin 16086  df-cos 16087  df-pi 16089  df-struct 17165  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-mulr 17286  df-starv 17287  df-sca 17288  df-vsca 17289  df-ip 17290  df-tset 17291  df-ple 17292  df-ds 17294  df-unif 17295  df-hom 17296  df-cco 17297  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-submnd 18765  df-mulg 19054  df-cntz 19303  df-cmn 19767  df-psmet 21317  df-xmet 21318  df-met 21319  df-bl 21320  df-mopn 21321  df-fbas 21322  df-fg 21323  df-cnfld 21326  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-lp 23089  df-perf 23090  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-t1 23267  df-haus 23268  df-cmp 23340  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24274  df-ms 24275  df-tms 24276  df-cncf 24839  df-ovol 25434  df-vol 25435  df-mbf 25589  df-itg1 25590  df-itg2 25591  df-ibl 25592  df-itg 25593  df-0p 25640  df-ditg 25817  df-limc 25836  df-dv 25837

This theorem is referenced by: (None)