Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourier Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourier 42509
Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. The series converges to the average value of the left and the right limit of the function. Thus, if the function is continuous at a given point, the series converges exactly to the function value, see fouriercnp 42510. Notice that for a piecewise smooth function, the left and right limits always exist, see fourier2 42511 for an alternative form of the theorem that makes this fact explicit. When the first derivative is continuous, a simpler version of the theorem can be stated, see fouriercn 42516. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourier.f 𝐹:ℝ⟶ℝ
fourier.t 𝑇 = (2 · π)
fourier.per (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourier.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourier.dmdv ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
fourier.dvcn 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ)
fourier.rlim (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourier.llim (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourier.x 𝑋 ∈ ℝ
fourier.l 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
fourier.r 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)
fourier.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourier.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
Assertion
Ref Expression
fourier (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourier
StepHypRef Expression
1 fourier.f . . . 4 𝐹:ℝ⟶ℝ
21a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourier.t . . 3 𝑇 = (2 · π)
4 fourier.per . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
54adantl 484 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
6 fourier.g . . 3 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
7 fourier.dmdv . . . 4 ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
9 fourier.dvcn . . . 4 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ)
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
11 fourier.rlim . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
1211adantl 484 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
13 fourier.llim . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
1413adantl 484 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
15 fourier.x . . . 4 𝑋 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
17 fourier.l . . . 4 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
1817a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
19 fourier.r . . . 4 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)
2019a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
21 fourier.a . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
22 fourier.b . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
232, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22fourierd 42506 . 2 (⊤ → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
2423mptru 1540 1 (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2110  wne 3016  cdif 3932  c0 4290  cmpt 5145  dom cdm 5554  cres 5556  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536   + caddc 10539   · cmul 10541  +∞cpnf 10671  -∞cmnf 10672  -cneg 10870   / cdiv 11296  cn 11637  2c2 11691  0cn0 11896  (,)cioo 12737  (,]cioc 12738  [,)cico 12739  Σcsu 15041  sincsin 15416  cosccos 15417  πcpi 15419  cnccncf 23483  citg 24218   lim climc 24459   D cdv 24460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-symdif 4218  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-disj 5031  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-pi 15425  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-t1 21921  df-haus 21922  df-cmp 21994  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-mbf 24219  df-itg1 24220  df-itg2 24221  df-ibl 24222  df-itg 24223  df-0p 24270  df-ditg 24444  df-limc 24463  df-dv 24464
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator