MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylth 26433
Description: Taylor's theorem. The Taylor polynomial of a 𝑁-times differentiable function is such that the error term goes to zero faster than (𝑥𝐵)↑𝑁. This is Metamath 100 proof #35. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylth.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
taylth.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
taylth.d (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
taylth.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
taylth.b (𝜑𝐵𝐴)
taylth.t 𝑇 = (𝑁(ℝ Tayl 𝐹)𝐵)
taylth.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
Assertion
Ref Expression
taylth (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem taylth
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11245 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 taylth.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4 ax-resscn 11210 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
5 fss 6753 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
63, 4, 5sylancl 586 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
7 taylth.a . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
8 taylth.d . 2 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
9 taylth.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
10 taylth.b . 2 (𝜑𝐵𝐴)
11 taylth.t . 2 𝑇 = (𝑁(ℝ Tayl 𝐹)𝐵)
12 taylth.r . 2 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
133adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
147adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
158adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
169adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1710adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝐵𝐴)
18 simprl 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝑚 ∈ (1..^𝑁))
19 simprr 773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))
20 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥))
21 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥))
2220, 21oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)))
23 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵) = (𝑥𝐵))
2423oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑𝑚))
2522, 24oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚)) = (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)))
2625cbvmptv 5261 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)))
2726oveq1i 7441 . . . 4 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)
2819, 27eleqtrdi 2849 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))
2913, 14, 15, 16, 17, 11, 18, 28taylthlem2 26431 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑚 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑚 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑚 + 1)))) lim 𝐵))
302, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29taylthlem1 26430 1 (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  cmpt 5231  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  ..^cfzo 13691  cexp 14099   lim climc 25912   D𝑛 cdvn 25914   Tayl ctayl 26409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tsms 24151  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917  df-dvn 25918  df-ply 26242  df-idp 26243  df-coe 26244  df-dgr 26245  df-tayl 26411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator