MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem taylth 25878
Description: Taylor's theorem. The Taylor polynomial of a 𝑁-times differentiable function is such that the error term goes to zero faster than (π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑁. This is Metamath 100 proof #35. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylth.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
taylth.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
taylth.d (πœ‘ β†’ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = 𝐴)
taylth.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
taylth.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
taylth.t 𝑇 = (𝑁(ℝ Tayl 𝐹)𝐡)
taylth.r 𝑅 = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘₯)) / ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑁)))
Assertion
Ref Expression
taylth (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑅 limβ„‚ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑅(π‘₯)
Proof of Theorem taylth
Dummy variables π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11198 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
3 taylth.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4 ax-resscn 11163 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
5 fss 6731 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
63, 4, 5sylancl 586 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
7 taylth.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
8 taylth.d . 2 (πœ‘ β†’ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = 𝐴)
9 taylth.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10 taylth.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
11 taylth.t . 2 𝑇 = (𝑁(ℝ Tayl 𝐹)𝐡)
12 taylth.r . 2 𝑅 = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘₯)) / ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑁)))
133adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
147adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
158adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))) β†’ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = 𝐴)
169adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1710adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
18 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))) β†’ π‘š ∈ (1..^𝑁))
19 simprr 771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))) β†’ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))
20 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯))
21 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) = (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯))
2220, 21oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯)))
23 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 βˆ’ 𝐡) = (π‘₯ βˆ’ 𝐡))
2423oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))
2522, 24oveq12d 7423 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š)) = (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯)) / ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š)))
2625cbvmptv 5260 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯)) / ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š)))
2726oveq1i 7415 . . . 4 ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡) = ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯)) / ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡)
2819, 27eleqtrdi 2843 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))) β†’ 0 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘₯)) / ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))
2913, 14, 15, 16, 17, 11, 18, 28taylthlem2 25877 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ π‘š))β€˜π‘¦)) / ((𝑦 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘š))) limβ„‚ 𝐡))) β†’ 0 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ (π‘š + 1)))β€˜π‘₯) βˆ’ (((β„‚ D𝑛 𝑇)β€˜(𝑁 βˆ’ (π‘š + 1)))β€˜π‘₯)) / ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘š + 1)))) limβ„‚ 𝐡))
302, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29taylthlem1 25876 1 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑅 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  ..^cfzo 13623  β†‘cexp 14023   limβ„‚ climc 25370   D𝑛 cdvn 25372   Tayl ctayl 25856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-refld 21149  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tsms 23622  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-0p 25178  df-limc 25374  df-dv 25375  df-dvn 25376  df-ply 25693  df-idp 25694  df-coe 25695  df-dgr 25696  df-tayl 25858
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator