Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylth 24957
 Description: Taylor's theorem. The Taylor polynomial of a 𝑁-times differentiable function is such that the error term goes to zero faster than (𝑥 − 𝐵)↑𝑁. This is Metamath 100 proof #35. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylth.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
taylth.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
taylth.d (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
taylth.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
taylth.b (𝜑𝐵𝐴)
taylth.t 𝑇 = (𝑁(ℝ Tayl 𝐹)𝐵)
taylth.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
Assertion
Ref Expression
taylth (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem taylth
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10623 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 taylth.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4 ax-resscn 10588 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
5 fss 6521 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
63, 4, 5sylancl 588 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
7 taylth.a . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
8 taylth.d . 2 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
9 taylth.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
10 taylth.b . 2 (𝜑𝐵𝐴)
11 taylth.t . 2 𝑇 = (𝑁(ℝ Tayl 𝐹)𝐵)
12 taylth.r . 2 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
133adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
147adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
158adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
169adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1710adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝐵𝐴)
18 simprl 769 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝑚 ∈ (1..^𝑁))
19 simprr 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))
20 fveq2 6664 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥))
21 fveq2 6664 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥))
2220, 21oveq12d 7168 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)))
23 oveq1 7157 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵) = (𝑥𝐵))
2423oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑𝑚))
2522, 24oveq12d 7168 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚)) = (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)))
2625cbvmptv 5161 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)))
2726oveq1i 7160 . . . 4 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)
2819, 27eleqtrdi 2923 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))
2913, 14, 15, 16, 17, 11, 18, 28taylthlem2 24956 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑚 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑚 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑚 + 1)))) lim 𝐵))
302, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29taylthlem1 24955 1 (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  {csn 4560  {cpr 4562   ↦ cmpt 5138  dom cdm 5549  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ..^cfzo 13027  ↑cexp 13423   limℂ climc 24454   D𝑛 cdvn 24456   Tayl ctayl 24935 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19498  df-subrg 19527  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-refld 20743  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-tsms 22729  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-0p 24265  df-limc 24458  df-dv 24459  df-dvn 24460  df-ply 24772  df-idp 24773  df-coe 24774  df-dgr 24775  df-tayl 24937 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator