MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylth 26419
Description: Taylor's theorem. The Taylor polynomial of a 𝑁-times differentiable function is such that the error term goes to zero faster than (𝑥𝐵)↑𝑁. This is Metamath 100 proof #35. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylth.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
taylth.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
taylth.d (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
taylth.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
taylth.b (𝜑𝐵𝐴)
taylth.t 𝑇 = (𝑁(ℝ Tayl 𝐹)𝐵)
taylth.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
Assertion
Ref Expression
taylth (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem taylth
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11248 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 taylth.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4 ax-resscn 11213 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
5 fss 6751 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
63, 4, 5sylancl 586 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
7 taylth.a . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
8 taylth.d . 2 (𝜑 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
9 taylth.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
10 taylth.b . 2 (𝜑𝐵𝐴)
11 taylth.t . 2 𝑇 = (𝑁(ℝ Tayl 𝐹)𝐵)
12 taylth.r . 2 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
133adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
147adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
158adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
169adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1710adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝐵𝐴)
18 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 𝑚 ∈ (1..^𝑁))
19 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))
20 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥))
21 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥))
2220, 21oveq12d 7450 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) = ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)))
23 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵) = (𝑥𝐵))
2423oveq1d 7447 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑𝑚))
2522, 24oveq12d 7450 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚)) = (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)))
2625cbvmptv 5254 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)))
2726oveq1i 7442 . . . 4 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)
2819, 27eleqtrdi 2850 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))
2913, 14, 15, 16, 17, 11, 18, 28taylthlem2 26417 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑚 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑚 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑚 + 1)))) lim 𝐵))
302, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29taylthlem1 26416 1 (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cdif 3947  wss 3950  {csn 4625  {cpr 4627  cmpt 5224  dom cdm 5684  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  ..^cfzo 13695  cexp 14103   lim climc 25898   D𝑛 cdvn 25900   Tayl ctayl 26395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-refld 21624  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-tsms 24136  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-0p 25706  df-limc 25902  df-dv 25903  df-dvn 25904  df-ply 26228  df-idp 26229  df-coe 26230  df-dgr 26231  df-tayl 26397
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator