Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierd 42492
 Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. The series converges to the average value of the left and the right limit of the function. Thus, if the function is continuous at a given point, the series converges exactly to the function value, see fouriercnp 42496. Notice that for a piecewise smooth function, the left and right limits always exist, see fourier2 42497 for an alternative form of the theorem that makes this fact explicit. When the first derivative is continuous, a simpler version of the theorem can be stated, see fouriercn 42502. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierd.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierd.t 𝑇 = (2 · π)
fourierd.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierd.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierd.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierd.dvcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourierd.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierd.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierd.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierd.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierd.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierd.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierd.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
Assertion
Ref Expression
fourierd (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierd.f . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierd.t . . 3 𝑇 = (2 · π)
3 fourierd.per . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourierd.g . . 3 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5 fourierd.dmdv . . 3 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fourierd.dvcn . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
7 fourierd.rlim . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
8 fourierd.llim . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
9 fourierd.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
10 fourierd.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11 fourierd.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
12 fourierd.a . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13 fourierd.b . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
14 nfcv 2975 . . . 4 𝑘(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
15 nfmpt1 5155 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1612, 15nfcxfr 2973 . . . . . . 7 𝑛𝐴
17 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑛𝑘
1816, 17nffv 6673 . . . . . 6 𝑛(𝐴𝑘)
19 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑛 ·
20 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑛(cos‘(𝑘 · 𝑋))
2118, 19, 20nfov 7178 . . . . 5 𝑛((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
22 nfcv 2975 . . . . 5 𝑛 +
23 nfmpt1 5155 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2413, 23nfcxfr 2973 . . . . . . 7 𝑛𝐵
2524, 17nffv 6673 . . . . . 6 𝑛(𝐵𝑘)
26 nfcv 2975 . . . . . 6 𝑛(sin‘(𝑘 · 𝑋))
2725, 19, 26nfov 7178 . . . . 5 𝑛((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
2821, 22, 27nfov 7178 . . . 4 𝑛(((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
29 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
30 oveq1 7155 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
3130fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
3229, 31oveq12d 7166 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
33 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑘))
3430fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
3533, 34oveq12d 7166 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
3632, 35oveq12d 7166 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
3714, 28, 36cbvmpt 5158 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 37fourierdlem115 42491 . 2 (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
3938simprd 498 1 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3931  ∅c0 4289   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  dom cdm 5548   ↾ cres 5550  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665   − cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  ℕcn 11630  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  (,)cioo 12730  (,]cioc 12731  [,)cico 12732  seqcseq 13361   ⇝ cli 14833  Σcsu 15034  sincsin 15409  cosccos 15410  πcpi 15412  –cn→ccncf 23476  ∫citg 24211   limℂ climc 24452   D cdv 24453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-symdif 4217  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-t1 21914  df-haus 21915  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-mbf 24212  df-itg1 24213  df-itg2 24214  df-ibl 24215  df-itg 24216  df-0p 24263  df-ditg 24437  df-limc 24456  df-dv 24457 This theorem is referenced by:  fourier  42495  fouriercnp  42496  fourier2  42497
 Copyright terms: Public domain W3C validator