Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierd 41008
Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. The series converges to the average value of the left and the right limit of the function. Thus, if the function is continuous at a given point, the series converges exactly to the function value, see fouriercnp 41012. Notice that for a piecewise smooth function, the left and right limits always exist, see fourier2 41013 for an alternative form of the theorem that makes this fact explicit. When the first derivative is continuous, a simpler version of the theorem can be stated, see fouriercn 41018. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierd.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierd.t 𝑇 = (2 · π)
fourierd.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierd.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierd.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierd.dvcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourierd.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierd.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierd.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierd.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierd.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierd.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierd.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
Assertion
Ref Expression
fourierd (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierd.f . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierd.t . . 3 𝑇 = (2 · π)
3 fourierd.per . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourierd.g . . 3 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5 fourierd.dmdv . . 3 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fourierd.dvcn . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
7 fourierd.rlim . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
8 fourierd.llim . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
9 fourierd.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
10 fourierd.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11 fourierd.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
12 fourierd.a . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13 fourierd.b . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
14 nfcv 2906 . . . 4 𝑘(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
15 nfmpt1 4905 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1612, 15nfcxfr 2904 . . . . . . 7 𝑛𝐴
17 nfcv 2906 . . . . . . 7 𝑛𝑘
1816, 17nffv 6384 . . . . . 6 𝑛(𝐴𝑘)
19 nfcv 2906 . . . . . 6 𝑛 ·
20 nfcv 2906 . . . . . 6 𝑛(cos‘(𝑘 · 𝑋))
2118, 19, 20nfov 6871 . . . . 5 𝑛((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
22 nfcv 2906 . . . . 5 𝑛 +
23 nfmpt1 4905 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2413, 23nfcxfr 2904 . . . . . . 7 𝑛𝐵
2524, 17nffv 6384 . . . . . 6 𝑛(𝐵𝑘)
26 nfcv 2906 . . . . . 6 𝑛(sin‘(𝑘 · 𝑋))
2725, 19, 26nfov 6871 . . . . 5 𝑛((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
2821, 22, 27nfov 6871 . . . 4 𝑛(((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
29 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
30 oveq1 6848 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
3130fveq2d 6378 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
3229, 31oveq12d 6859 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
33 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑘))
3430fveq2d 6378 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
3533, 34oveq12d 6859 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
3632, 35oveq12d 6859 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
3714, 28, 36cbvmpt 4907 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 37fourierdlem115 41007 . 2 (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
3938simprd 489 1 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  cdif 3728  c0 4078   class class class wbr 4808  cmpt 4887  dom cdm 5276  cres 5278  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  Fincfn 8159  cc 10186  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193  +∞cpnf 10324  -∞cmnf 10325  cmin 10519  -cneg 10520   / cdiv 10937  cn 11273  2c2 11326  0cn0 11537  (,)cioo 12376  (,]cioc 12377  [,)cico 12378  seqcseq 13007  cli 14501  Σcsu 14702  sincsin 15077  cosccos 15078  πcpi 15080  cnccncf 22957  citg 23675   lim climc 23916   D cdv 23917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cc 9509  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-addf 10267  ax-mulf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-symdif 4004  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-disj 4777  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-ofr 7095  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-omul 7768  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-oi 8621  df-card 9015  df-acn 9018  df-cda 9242  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-xnn0 11610  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ioo 12380  df-ioc 12381  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14093  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-limsup 14488  df-clim 14505  df-rlim 14506  df-sum 14703  df-ef 15081  df-sin 15083  df-cos 15084  df-pi 15086  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-hom 16239  df-cco 16240  df-rest 16350  df-topn 16351  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-topgen 16371  df-pt 16372  df-prds 16375  df-xrs 16429  df-qtop 16434  df-imas 16435  df-xps 16437  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-mulg 17809  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-fbas 20015  df-fg 20016  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-nei 21181  df-lp 21219  df-perf 21220  df-cn 21310  df-cnp 21311  df-t1 21397  df-haus 21398  df-cmp 21469  df-tx 21644  df-hmeo 21837  df-fil 21928  df-fm 22020  df-flim 22021  df-flf 22022  df-xms 22403  df-ms 22404  df-tms 22405  df-cncf 22959  df-ovol 23521  df-vol 23522  df-mbf 23676  df-itg1 23677  df-itg2 23678  df-ibl 23679  df-itg 23680  df-0p 23727  df-ditg 23901  df-limc 23920  df-dv 23921
This theorem is referenced by:  fourier  41011  fouriercnp  41012  fourier2  41013
  Copyright terms: Public domain W3C validator