Theorem fourierdlem108 46229

Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any positive value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 46213 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem108.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem108.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem108.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem108.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
fourierdlem108.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem108.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem108.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem108.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem108.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem108.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem108.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem108.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem108	⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem108

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑤 𝑦 𝑗 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem108.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem108.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		fourierdlem108.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
4		fourierdlem108.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
5		fourierdlem108.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6		fourierdlem108.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7		fourierdlem108.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
8		fourierdlem108.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9		fourierdlem108.fper	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10		fourierdlem108.fcn	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11		fourierdlem108.r	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
12		fourierdlem108.l	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
13		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
14		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
15	14	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
16	15	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
17	16	cbvrabv 3447	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
18	17	uneq2i 4165	. 2 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
20	19	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
21	20	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
22	21	cbvrexvw 3238	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
23	22	rgenw 3065	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴)(∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
24		rabbi 3467	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴)(∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
25	23, 24	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
26	25	uneq2i 4165	. . . 4 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
27	26	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
28	27	oveq1i 7441	. 2 ⊢ ((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
29		isoeq5 7341	. . . . 5 ⊢ (({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
30	26, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
31		isoeq1 7337	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
32	30, 31	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
33	32	cbviotavw 6522	. 2 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
34		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → 𝑤 = 𝑥)
35		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐵 − 𝑤) = (𝐵 − 𝑥))
36	35	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝐵 − 𝑤) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
37	36	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)))
38	37	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
39	34, 38	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
40	39	cbvmptv 5255	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
41		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐵))
42		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → 𝑤 = 𝑦)
43	41, 42	ifbieq2d 4552	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
44	43	cbvmptv 5255	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
45		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
46	45	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
47	46	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
48	47	rabbidv 3444	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
49		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
50	49	breq1d 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
51	50	cbvrabv 3447	. . . . 5 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}
52	48, 51	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
53	52	supeq1d 9486	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
54	53	cbvmptv 5255	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
55	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 28, 33, 40, 44, 54	fourierdlem107 46228	1 ⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436   ∪ cun 3949  ifcif 4525  {cpr 4628   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686   ↾ cres 5687  ℩cio 6512  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561   Isom wiso 6562  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  supcsup 9480  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ⌊cfl 13830  ♯chash 14369  –cn→ccncf 24902  ∫citg 25653   lim_ℂ climc 25897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-ditg 25882  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  fourierdlem109  46230