Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem108 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem108 44529
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any positive value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 44513 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem108.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem108.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem108.t 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
fourierdlem108.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
fourierdlem108.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem108.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem108.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem108.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fourierdlem108.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem108.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem108.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem108.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem108 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,π‘₯   𝐴,π‘š,𝑝,𝑖   𝐡,𝑖,π‘₯   𝐡,π‘š,𝑝   𝑖,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐿   𝑖,𝑀,π‘₯   π‘š,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,π‘₯   𝑄,π‘š,𝑝   π‘₯,𝑅   𝑇,𝑖,π‘₯   𝑇,π‘š,𝑝   𝑖,𝑋,π‘₯   π‘š,𝑋,𝑝   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘₯,𝑖,π‘š,𝑝)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐹(π‘š,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem108
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘˜ 𝑀 𝑦 𝑗 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem108.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem108.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 fourierdlem108.t . 2 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
4 fourierdlem108.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
5 fourierdlem108.p . 2 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
6 fourierdlem108.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
7 fourierdlem108.q . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
8 fourierdlem108.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
9 fourierdlem108.fper . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
10 fourierdlem108.fcn . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
11 fourierdlem108.r . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
12 fourierdlem108.l . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
13 eqid 2737 . 2 (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))}) = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (𝐴 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐴) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
14 oveq1 7369 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
1514eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1615rexbidv 3176 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1716cbvrabv 3420 . . 3 {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
1817uneq2i 4125 . 2 ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑦 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = π‘˜ β†’ (𝑙 Β· 𝑇) = (π‘˜ Β· 𝑇))
2019oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑙 = π‘˜ β†’ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
2120eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2221cbvrexvw 3229 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
2322rgenw 3069 . . . . . 6 βˆ€π‘€ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
24 rabbi 3435 . . . . . 6 (βˆ€π‘€ ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴)(βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2523, 24mpbi 229 . . . . 5 {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
2625uneq2i 4125 . . . 4 ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2726fveq2i 6850 . . 3 (β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
2827oveq1i 7372 . 2 ((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)
29 isoeq5 7271 . . . . 5 (({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) β†’ (𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3026, 29ax-mp 5 . . . 4 (𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
31 isoeq1 7267 . . . 4 (𝑔 = 𝑓 β†’ (𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3230, 31bitrid 283 . . 3 (𝑔 = 𝑓 β†’ (𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3332cbviotavw 6461 . 2 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((β™―β€˜({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)), ({(𝐴 βˆ’ 𝑋), 𝐴} βˆͺ {𝑀 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,]𝐴) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
34 id 22 . . . 4 (𝑀 = π‘₯ β†’ 𝑀 = π‘₯)
35 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑀) = (𝐡 βˆ’ π‘₯))
3635oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇) = ((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇))
3736fveq2d 6851 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)))
3837oveq1d 7377 . . . 4 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇) = ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))
3934, 38oveq12d 7380 . . 3 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)) = (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
4039cbvmptv 5223 . 2 (𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
41 eqeq1 2741 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀 = 𝐡 ↔ 𝑦 = 𝐡))
42 id 22 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ 𝑀 = 𝑦)
4341, 42ifbieq2d 4517 . . 3 (𝑀 = 𝑦 β†’ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀) = if(𝑦 = 𝐡, 𝐴, 𝑦))
4443cbvmptv 5223 . 2 (𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑦 = 𝐡, 𝐴, 𝑦))
45 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))
4645fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§)) = ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯)))
4746breq2d 5122 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§)) ↔ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))))
4847rabbidv 3418 . . . . 5 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))})
49 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘—) = (π‘„β€˜π‘–))
5049breq1d 5120 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯)) ↔ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))))
5150cbvrabv 3420 . . . . 5 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))}
5248, 51eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑧 = π‘₯ β†’ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))})
5352supeq1d 9389 . . 3 (𝑧 = π‘₯ β†’ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))}, ℝ, < ))
5453cbvmptv 5223 . 2 (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘§))}, ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ ((𝑀 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑀 = 𝐡, 𝐴, 𝑀))β€˜((𝑀 ∈ ℝ ↦ (𝑀 + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝑀) / 𝑇)) Β· 𝑇)))β€˜π‘₯))}, ℝ, < ))
551, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 28, 33, 40, 44, 54fourierdlem107 44528 1 (πœ‘ β†’ ∫((𝐴 βˆ’ 𝑋)[,](𝐡 βˆ’ 𝑋))(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βˆͺ cun 3913  ifcif 4491  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  β„©cio 6451  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501   Isom wiso 6502  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  (,]cioc 13272  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  βŒŠcfl 13702  β™―chash 14237  β€“cnβ†’ccncf 24255  βˆ«citg 24998   limβ„‚ climc 25242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-ditg 25227  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem109  44530
  Copyright terms: Public domain W3C validator