Theorem fourierdlem108 46400

Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any positive value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 46384 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem108.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem108.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem108.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem108.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
fourierdlem108.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem108.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem108.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem108.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem108.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem108.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem108.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem108.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem108	⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem108

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑤 𝑦 𝑗 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem108.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem108.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		fourierdlem108.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
4		fourierdlem108.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
5		fourierdlem108.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6		fourierdlem108.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7		fourierdlem108.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
8		fourierdlem108.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9		fourierdlem108.fper	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10		fourierdlem108.fcn	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11		fourierdlem108.r	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
12		fourierdlem108.l	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
13		eqid 2734	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
14		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
15	14	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
16	15	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
17	16	cbvrabv 3407	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
18	17	uneq2i 4115	. 2 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
20	19	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
21	20	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
22	21	cbvrexvw 3213	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
23	22	rgenw 3053	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴)(∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
24		rabbi 3427	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴)(∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
25	23, 24	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
26	25	uneq2i 4115	. . . 4 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
27	26	fveq2i 6835	. . 3 ⊢ (♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
28	27	oveq1i 7366	. 2 ⊢ ((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
29		isoeq5 7265	. . . . 5 ⊢ (({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
30	26, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
31		isoeq1 7261	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
32	30, 31	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
33	32	cbviotavw 6454	. 2 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
34		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → 𝑤 = 𝑥)
35		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐵 − 𝑤) = (𝐵 − 𝑥))
36	35	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝐵 − 𝑤) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
37	36	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)))
38	37	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
39	34, 38	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
40	39	cbvmptv 5200	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
41		eqeq1 2738	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐵))
42		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → 𝑤 = 𝑦)
43	41, 42	ifbieq2d 4504	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
44	43	cbvmptv 5200	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
45		fveq2 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
46	45	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
47	46	breq2d 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
48	47	rabbidv 3404	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
49		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
50	49	breq1d 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
51	50	cbvrabv 3407	. . . . 5 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}
52	48, 51	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
53	52	supeq1d 9347	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
54	53	cbvmptv 5200	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
55	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 28, 33, 40, 44, 54	fourierdlem107 46399	1 ⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {crab 3397   ∪ cun 3897  ifcif 4477  {cpr 4580   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ran crn 5623   ↾ cres 5624  ℩cio 6444  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490   Isom wiso 6491  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  supcsup 9341  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362   / cdiv 11792  ℕcn 12143  ℤcz 12486  ℝ⁺crp 12903  (,)cioo 13259  (,]cioc 13260  [,]cicc 13262  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568  ⌊cfl 13708  ♯chash 14251  –cn→ccncf 24823  ∫citg 25573   lim_ℂ climc 25817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cc 10343  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4203  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-acn 9852  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-cmp 23329  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-ovol 25419  df-vol 25420  df-mbf 25574  df-itg1 25575  df-itg2 25576  df-ibl 25577  df-itg 25578  df-0p 25625  df-ditg 25802  df-limc 25821  df-dv 25822

This theorem is referenced by:  fourierdlem109  46401