Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem108 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem108 45835
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any positive value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 45819 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem108.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem108.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem108.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem108.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
fourierdlem108.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem108.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem108.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem108.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem108.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem108.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem108.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem108.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem108 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem108
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑤 𝑦 𝑗 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem108.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem108.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem108.t . 2 𝑇 = (𝐵𝐴)
4 fourierdlem108.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
5 fourierdlem108.p . 2 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6 fourierdlem108.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7 fourierdlem108.q . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
8 fourierdlem108.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
9 fourierdlem108.fper . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
10 fourierdlem108.fcn . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11 fourierdlem108.r . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
12 fourierdlem108.l . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
13 eqid 2726 . 2 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
14 oveq1 7431 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
1514eleq1d 2811 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1615rexbidv 3169 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1716cbvrabv 3430 . . 3 {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
1817uneq2i 4160 . 2 ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19 oveq1 7431 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
2019oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
2120eleq1d 2811 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2221cbvrexvw 3226 . . . . . . 7 (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
2322rgenw 3055 . . . . . 6 𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)(∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
24 rabbi 3450 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)(∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2523, 24mpbi 229 . . . . 5 {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
2625uneq2i 4160 . . . 4 ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2726fveq2i 6904 . . 3 (♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
2827oveq1i 7434 . 2 ((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
29 isoeq5 7333 . . . . 5 (({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3026, 29ax-mp 5 . . . 4 (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
31 isoeq1 7329 . . . 4 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3230, 31bitrid 282 . . 3 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3332cbviotavw 6514 . 2 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
34 id 22 . . . 4 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
35 oveq2 7432 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (𝐵𝑤) = (𝐵𝑥))
3635oveq1d 7439 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐵𝑤) / 𝑇) = ((𝐵𝑥) / 𝑇))
3736fveq2d 6905 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)))
3837oveq1d 7439 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
3934, 38oveq12d 7442 . . 3 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
4039cbvmptv 5266 . 2 (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
41 eqeq1 2730 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = 𝐵𝑦 = 𝐵))
42 id 22 . . . 4 (𝑤 = 𝑦𝑤 = 𝑦)
4341, 42ifbieq2d 4559 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
4443cbvmptv 5266 . 2 (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
45 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
4645fveq2d 6905 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
4746breq2d 5165 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
4847rabbidv 3427 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
49 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
5049breq1d 5163 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
5150cbvrabv 3430 . . . . 5 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}
5248, 51eqtrdi 2782 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
5352supeq1d 9489 . . 3 (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
5453cbvmptv 5266 . 2 (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
551, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 28, 33, 40, 44, 54fourierdlem107 45834 1 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  cun 3945  ifcif 4533  {cpr 4635   class class class wbr 5153  cmpt 5236  ran crn 5683  cres 5684  cio 6504  wf 6550  cfv 6554   Isom wiso 6555  (class class class)co 7424  m cmap 8855  supcsup 9483  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494   / cdiv 11921  cn 12264  cz 12610  +crp 13028  (,)cioo 13378  (,]cioc 13379  [,]cicc 13381  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  cfl 13810  chash 14347  cnccncf 24887  citg 25638   lim climc 25882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-symdif 4244  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-acn 9985  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640  df-itg2 25641  df-ibl 25642  df-itg 25643  df-0p 25690  df-ditg 25867  df-limc 25886  df-dv 25887
This theorem is referenced by:  fourierdlem109  45836
  Copyright terms: Public domain W3C validator