Theorem fourierdlem108 43645

Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any positive value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 43629 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem108.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem108.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem108.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem108.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
fourierdlem108.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem108.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem108.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem108.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem108.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem108.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem108.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem108.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem108	⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem108

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑤 𝑦 𝑗 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem108.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem108.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		fourierdlem108.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
4		fourierdlem108.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
5		fourierdlem108.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6		fourierdlem108.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7		fourierdlem108.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
8		fourierdlem108.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9		fourierdlem108.fper	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10		fourierdlem108.fcn	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11		fourierdlem108.r	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
12		fourierdlem108.l	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
13		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
14		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
15	14	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
16	15	rexbidv 3225	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
17	16	cbvrabv 3416	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
18	17	uneq2i 4090	. 2 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
20	19	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
21	20	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
22	21	cbvrexvw 3373	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
23	22	rgenw 3075	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴)(∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
24		rabbi 3309	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴)(∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
25	23, 24	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
26	25	uneq2i 4090	. . . 4 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
27	26	fveq2i 6759	. . 3 ⊢ (♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
28	27	oveq1i 7265	. 2 ⊢ ((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
29		isoeq5 7172	. . . . 5 ⊢ (({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
30	26, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
31		isoeq1 7168	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
32	30, 31	syl5bb 282	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
33	32	cbviotavw 6384	. 2 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
34		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → 𝑤 = 𝑥)
35		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐵 − 𝑤) = (𝐵 − 𝑥))
36	35	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝐵 − 𝑤) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
37	36	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)))
38	37	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
39	34, 38	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
40	39	cbvmptv 5183	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
41		eqeq1 2742	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐵))
42		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → 𝑤 = 𝑦)
43	41, 42	ifbieq2d 4482	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
44	43	cbvmptv 5183	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
45		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
46	45	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
47	46	breq2d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
48	47	rabbidv 3404	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
49		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
50	49	breq1d 5080	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
51	50	cbvrabv 3416	. . . . 5 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}
52	48, 51	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
53	52	supeq1d 9135	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
54	53	cbvmptv 5183	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
55	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 28, 33, 40, 44, 54	fourierdlem107 43644	1 ⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ∪ cun 3881  ifcif 4456  {cpr 4560   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581   ↾ cres 5582  ℩cio 6374  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418   Isom wiso 6419  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  supcsup 9129  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  (,)cioo 13008  (,]cioc 13009  [,]cicc 13011  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ⌊cfl 13438  ♯chash 13972  –cn→ccncf 23945  ∫citg 24687   lim_ℂ climc 24931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-symdif 4173  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-itg 24692  df-0p 24739  df-ditg 24916  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  fourierdlem109  43646