Theorem fourierdlem110 46662

Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 46644 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem110.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem110.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem110.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem110.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem110.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem110.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem110.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem110.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem110.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem110.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem110.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem110.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem110	⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem110

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem110.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem110.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		fourierdlem110.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
4		fourierdlem110.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		fourierdlem110.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6		fourierdlem110.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7		fourierdlem110.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
8		fourierdlem110.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9		fourierdlem110.fper	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10		fourierdlem110.fcn	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11		fourierdlem110.r	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
12		fourierdlem110.l	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
13		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
14		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
15	14	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
16	15	rexbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
17	16	cbvrabv 3400	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
18	17	uneq2i 4106	. 2 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19		oveq1 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
20	19	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
21	20	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
22	21	cbvrexvw 3217	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
24	23	rabbiia 3394	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
25	24	uneq2i 4106	. . . 4 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
26	25	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
27	26	oveq1i 7370	. 2 ⊢ ((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
28		isoeq5 7269	. . . . 5 ⊢ (({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
29	25, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
30		isoeq1 7265	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
31	29, 30	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
32	31	cbviotavw 6456	. 2 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
33		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑥)
34		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵 − 𝑦) = (𝐵 − 𝑥))
35	34	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐵 − 𝑦) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
36	35	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)))
37	36	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
38	33, 37	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
39	38	cbvmptv 5190	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
40		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
41		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 𝑤)
42	40, 41	ifbieq2d 4494	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))
43	42	cbvmptv 5190	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))
44		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
45	44	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
46	45	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
47	46	rabbidv 3397	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
48	47	supeq1d 9352	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
49	48	cbvmptv 5190	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 27, 32, 39, 43, 49	fourierdlem109 46661	1 ⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∪ cun 3888  ifcif 4467  {cpr 4570   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ℩cio 6446  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492   Isom wiso 6493  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  supcsup 9346  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℤcz 12515  (,)cioo 13289  (,]cioc 13290  [,]cicc 13292  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ⌊cfl 13740  ♯chash 14283  –cn→ccncf 24853  ∫citg 25595   lim_ℂ climc 25839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-symdif 4194  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-cmp 23362  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596  df-itg1 25597  df-itg2 25598  df-ibl 25599  df-itg 25600  df-0p 25647  df-ditg 25824  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  fourierdlem111  46663