Theorem fourierdlem110 46666

Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 46648 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem110.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem110.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem110.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem110.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem110.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem110.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem110.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem110.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem110.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem110.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem110.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem110.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem110	⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem110

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem110.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem110.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		fourierdlem110.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
4		fourierdlem110.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		fourierdlem110.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6		fourierdlem110.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7		fourierdlem110.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
8		fourierdlem110.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9		fourierdlem110.fper	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10		fourierdlem110.fcn	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11		fourierdlem110.r	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
12		fourierdlem110.l	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
13		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 − 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
14		oveq1 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
15	14	eleq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
16	15	rexbidv 3164	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
17	16	cbvrabv 3402	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
18	17	uneq2i 4102	. 2 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19		oveq1 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
20	19	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
21	20	eleq1d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
22	21	cbvrexvw 3219	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
24	23	rabbiia 3396	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
25	24	uneq2i 4102	. . . 4 ⊢ ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
26	25	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
27	26	oveq1i 7373	. 2 ⊢ ((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
28		isoeq5 7272	. . . . 5 ⊢ (({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
29	25, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
30		isoeq1 7268	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
31	29, 30	bitrid 284	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
32	31	cbviotavw 6456	. 2 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴 − 𝑋), (𝐵 − 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
33		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑥)
34		oveq2 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵 − 𝑦) = (𝐵 − 𝑥))
35	34	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐵 − 𝑦) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
36	35	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)))
37	36	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
38	33, 37	oveq12d 7381	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
39	38	cbvmptv 5183	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
40		eqeq1 2744	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑤 = 𝐵))
41		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 𝑤)
42	40, 41	ifbieq2d 4488	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))
43	42	cbvmptv 5183	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))
44		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
45	44	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
46	45	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
47	46	rabbidv 3399	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
48	47	supeq1d 9356	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
49	48	cbvmptv 5183	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 27, 32, 39, 43, 49	fourierdlem109 46665	1 ⊢ (𝜑 → ∫((𝐴 − 𝑋)[,](𝐵 − 𝑋))(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392   ∪ cun 3888  ifcif 4461  {cpr 4564   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ran crn 5626   ↾ cres 5627  ℩cio 6446  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492   Isom wiso 6493  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  supcsup 9350  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  ℤcz 12522  (,)cioo 13296  (,]cioc 13297  [,]cicc 13299  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606  ⌊cfl 13747  ♯chash 14290  –cn→ccncf 24868  ∫citg 25610   lim_ℂ climc 25854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cc 10355  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-symdif 4188  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-disj 5047  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-acn 9864  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-cmp 23377  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-ovol 25456  df-vol 25457  df-mbf 25611  df-itg1 25612  df-itg2 25613  df-ibl 25614  df-itg 25615  df-0p 25662  df-ditg 25839  df-limc 25858  df-dv 25859

This theorem is referenced by:  fourierdlem111  46667