Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem110 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem110 43340
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 43322 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem110.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem110.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem110.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem110.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem110.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem110.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem110.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem110.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem110.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem110.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem110.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem110.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem110 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem110
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem110.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem110.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem110.t . 2 𝑇 = (𝐵𝐴)
4 fourierdlem110.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 fourierdlem110.p . 2 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6 fourierdlem110.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7 fourierdlem110.q . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
8 fourierdlem110.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
9 fourierdlem110.fper . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
10 fourierdlem110.fcn . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11 fourierdlem110.r . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
12 fourierdlem110.l . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
13 eqid 2739 . 2 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
14 oveq1 7190 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
1514eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1615rexbidv 3208 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1716cbvrabv 3394 . . 3 {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
1817uneq2i 4060 . 2 ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19 oveq1 7190 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
2019oveq2d 7199 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
2120eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2221cbvrexvw 3351 . . . . . . 7 (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2423rabbiia 3374 . . . . 5 {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
2524uneq2i 4060 . . . 4 ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2625fveq2i 6690 . . 3 (♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
2726oveq1i 7193 . 2 ((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
28 isoeq5 7100 . . . . 5 (({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
2925, 28ax-mp 5 . . . 4 (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
30 isoeq1 7096 . . . 4 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3129, 30syl5bb 286 . . 3 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3231cbviotavw 6316 . 2 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
33 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
34 oveq2 7191 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝑦) = (𝐵𝑥))
3534oveq1d 7198 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐵𝑦) / 𝑇) = ((𝐵𝑥) / 𝑇))
3635fveq2d 6691 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)))
3736oveq1d 7198 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
3833, 37oveq12d 7201 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
3938cbvmptv 5143 . 2 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
40 eqeq1 2743 . . . 4 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝐵𝑤 = 𝐵))
41 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤)
4240, 41ifbieq2d 4450 . . 3 (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))
4342cbvmptv 5143 . 2 (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))
44 fveq2 6687 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
4544fveq2d 6691 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
4645breq2d 5052 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
4746rabbidv 3382 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
4847supeq1d 8996 . . 3 (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
4948cbvmptv 5143 . 2 (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 27, 32, 39, 43, 49fourierdlem109 43339 1 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  cun 3851  ifcif 4424  {cpr 4528   class class class wbr 5040  cmpt 5120  ran crn 5536  cres 5537  cio 6306  wf 6346  cfv 6350   Isom wiso 6351  (class class class)co 7183  m cmap 8450  supcsup 8990  cc 10626  cr 10627  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631   · cmul 10633   < clt 10766  cle 10767  cmin 10961   / cdiv 11388  cn 11729  cz 12075  (,)cioo 12834  (,]cioc 12835  [,]cicc 12837  ...cfz 12994  ..^cfzo 13137  cfl 13264  chash 13795  cnccncf 23641  citg 24383   lim climc 24627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cc 9948  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-symdif 4143  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-ofr 7439  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-oadd 8148  df-omul 8149  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-dju 9416  df-card 9454  df-acn 9457  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-xnn0 12062  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-ioc 12839  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-limsup 14931  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-sum 15149  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-hom 16705  df-cco 16706  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-pt 16834  df-prds 16837  df-xrs 16891  df-qtop 16896  df-imas 16897  df-xps 16899  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-mulg 18356  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-cnfld 20231  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-cld 21783  df-ntr 21784  df-cls 21785  df-nei 21862  df-lp 21900  df-perf 21901  df-cn 21991  df-cnp 21992  df-haus 22079  df-cmp 22151  df-tx 22326  df-hmeo 22519  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-xms 23086  df-ms 23087  df-tms 23088  df-cncf 23643  df-ovol 24229  df-vol 24230  df-mbf 24384  df-itg1 24385  df-itg2 24386  df-ibl 24387  df-itg 24388  df-0p 24435  df-ditg 24612  df-limc 24631  df-dv 24632
This theorem is referenced by:  fourierdlem111  43341
  Copyright terms: Public domain W3C validator