Theorem stirling 46863

Description: Stirling's approximation formula for 𝑛 factorial. The proof follows two major steps: first it is proven that 𝑆 and 𝑛 factorial are asymptotically equivalent, up to an unknown constant. Then, using Wallis' formula for π it is proven that the unknown constant is the square root of π and then the exact Stirling's formula is established. This is Metamath 100 proof #90. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
stirling.1	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirling	⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1

Proof of Theorem stirling

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘𝑛)))
3	1, 2	stirlinglem14 46861	. 2 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐
4		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑐 ∈ ℝ+
5		nfmpt1 5212	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
6		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 ⇝
7		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑐
8	5, 6, 7	nfbr 5160	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐
9	4, 8	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐)
10		stirling.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘(2 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘(2 · 𝑛)))
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
14		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘𝑛)↑4) / (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘(2 · 𝑛)))‘𝑛)↑2))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘𝑛)↑4) / (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘(2 · 𝑛)))‘𝑛)↑2)))
15		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
16		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐) → 𝑐 ∈ ℝ+)
17		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐)
18	9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	stirlinglem15 46862	. . 3 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)
19	18	rexlimiva 3160	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)
20	3, 19	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   / cdiv 11888  ℕcn 12250  2c2 12312  4c4 12314  ℕ₀cn0 12521  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14117  !cfa 14329  √csqrt 15310   ⇝ cli 15561  eceu 16140  πcpi 16144  logclog 26772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16145  df-e 16146  df-sin 16147  df-cos 16148  df-tan 16149  df-pi 16150  df-dvds 16335  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-cmp 23596  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-ovol 25676  df-vol 25677  df-mbf 25831  df-itg1 25832  df-itg2 25833  df-ibl 25834  df-itg 25835  df-0p 25882  df-limc 26078  df-dv 26079  df-ulm 26593  df-log 26774  df-cxp 26775

This theorem is used by:  stirlingr  46864