Theorem stirling 44022

Description: Stirling's approximation formula for 𝑛 factorial. The proof follows two major steps: first it is proven that 𝑆 and 𝑛 factorial are asymptotically equivalent, up to an unknown constant. Then, using Wallis' formula for π it is proven that the unknown constant is the square root of π and then the exact Stirling's formula is established. This is Metamath 100 proof #90. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
stirling.1	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirling	⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1

Proof of Theorem stirling

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘𝑛)))
3	1, 2	stirlinglem14 44020	. 2 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐
4		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑐 ∈ ℝ+
5		nfmpt1 5211	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
6		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 ⇝
7		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑐
8	5, 6, 7	nfbr 5150	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐
9	4, 8	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐)
10		stirling.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘(2 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘(2 · 𝑛)))
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘𝑛)↑4) / (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘(2 · 𝑛)))‘𝑛)↑2))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘𝑛)↑4) / (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))‘(2 · 𝑛)))‘𝑛)↑2)))
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
16		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐) → 𝑐 ∈ ℝ+)
17		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐)
18	9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	stirlinglem15 44021	. . 3 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)
19	18	rexlimiva 3142	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) ⇝ 𝑐 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1)
20	3, 19	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆‘𝑛))) ⇝ 1

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3071   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6491  (class class class)co 7349  1c1 10985   + caddc 10987   · cmul 10989   / cdiv 11745  ℕcn 12086  2c2 12141  4c4 12143  ℕ₀cn0 12346  ℝ⁺crp 12843  ↑cexp 13895  !cfa 14100  √csqrt 15051   ⇝ cli 15300  eceu 15879  πcpi 15883  logclog 25823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cc 10304  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063  ax-mulf 11064

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-ofr 7608  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-supp 8060  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-omul 8384  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-ixp 8769  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fsupp 9239  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-dju 9770  df-card 9808  df-acn 9811  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-xnn0 12419  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ioo 13196  df-ioc 13197  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-mod 13703  df-seq 13835  df-exp 13896  df-fac 14101  df-bc 14130  df-hash 14158  df-shft 14885  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-limsup 15287  df-clim 15304  df-rlim 15305  df-sum 15505  df-ef 15884  df-e 15885  df-sin 15886  df-cos 15887  df-tan 15888  df-pi 15889  df-dvds 16071  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-starv 17082  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-ip 17085  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-unif 17090  df-hom 17091  df-cco 17092  df-rest 17238  df-topn 17239  df-0g 17257  df-gsum 17258  df-topgen 17259  df-pt 17260  df-prds 17263  df-xrs 17318  df-qtop 17323  df-imas 17324  df-xps 17326  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-submnd 18536  df-mulg 18805  df-cntz 19027  df-cmn 19491  df-psmet 20702  df-xmet 20703  df-met 20704  df-bl 20705  df-mopn 20706  df-fbas 20707  df-fg 20708  df-cnfld 20711  df-top 22156  df-topon 22173  df-topsp 22195  df-bases 22209  df-cld 22283  df-ntr 22284  df-cls 22285  df-nei 22362  df-lp 22400  df-perf 22401  df-cn 22491  df-cnp 22492  df-haus 22579  df-cmp 22651  df-tx 22826  df-hmeo 23019  df-fil 23110  df-fm 23202  df-flim 23203  df-flf 23204  df-xms 23586  df-ms 23587  df-tms 23588  df-cncf 24154  df-ovol 24741  df-vol 24742  df-mbf 24896  df-itg1 24897  df-itg2 24898  df-ibl 24899  df-itg 24900  df-0p 24947  df-limc 25143  df-dv 25144  df-ulm 25649  df-log 25825  df-cxp 25826

This theorem is referenced by:  stirlingr  44023