Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirling Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirling 45104
Description: Stirling's approximation formula for ๐‘› factorial. The proof follows two major steps: first it is proven that ๐‘† and ๐‘› factorial are asymptotically equivalent, up to an unknown constant. Then, using Wallis' formula for ฯ€ it is proven that the unknown constant is the square root of ฯ€ and then the exact Stirling's formula is established. This is Metamath 100 proof #90. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirling.1 ๐‘† = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((โˆšโ€˜((2 ยท ฯ€) ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
stirling (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / (๐‘†โ€˜๐‘›))) โ‡ 1

Proof of Theorem stirling
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))
2 eqid 2732 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))โ€˜๐‘›)))
31, 2stirlinglem14 45102 . 2 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) โ‡ ๐‘
4 nfv 1917 . . . . 5 โ„ฒ๐‘› ๐‘ โˆˆ โ„+
5 nfmpt1 5256 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘›(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))
6 nfcv 2903 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘› โ‡
7 nfcv 2903 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘›๐‘
85, 6, 7nfbr 5195 . . . . 5 โ„ฒ๐‘›(๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) โ‡ ๐‘
94, 8nfan 1902 . . . 4 โ„ฒ๐‘›(๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) โ‡ ๐‘)
10 stirling.1 . . . 4 ๐‘† = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((โˆšโ€˜((2 ยท ฯ€) ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))
11 eqid 2732 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))โ€˜(2 ยท ๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))โ€˜(2 ยท ๐‘›)))
12 eqid 2732 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))
13 eqid 2732 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
14 eqid 2732 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))โ€˜๐‘›)โ†‘4) / (((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))โ€˜(2 ยท ๐‘›)))โ€˜๐‘›)โ†‘2))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))โ€˜๐‘›)โ†‘4) / (((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))โ€˜(2 ยท ๐‘›)))โ€˜๐‘›)โ†‘2)))
15 eqid 2732 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘›โ†‘2) / (๐‘› ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐‘›โ†‘2) / (๐‘› ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
16 simpl 483 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) โ‡ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
17 simpr 485 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) โ‡ ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) โ‡ ๐‘)
189, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17stirlinglem15 45103 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) โ‡ ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / (๐‘†โ€˜๐‘›))) โ‡ 1)
1918rexlimiva 3147 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) โ‡ ๐‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / (๐‘†โ€˜๐‘›))) โ‡ 1)
203, 19ax-mp 5 1 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / (๐‘†โ€˜๐‘›))) โ‡ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  โ„•0cn0 12476  โ„+crp 12978  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237  โˆšcsqrt 15184   โ‡ cli 15432  eceu 16010  ฯ€cpi 16014  logclog 26287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25205  df-vol 25206  df-mbf 25360  df-itg1 25361  df-itg2 25362  df-ibl 25363  df-itg 25364  df-0p 25411  df-limc 25607  df-dv 25608  df-ulm 26113  df-log 26289  df-cxp 26290
This theorem is referenced by:  stirlingr  45105
  Copyright terms: Public domain W3C validator