Theorem bru3val 49747

Description: An alternate way to express the basic 3rd root of unity. (Contributed by AV, 24-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
bru3eq.w	⊢ 𝑊 = (bRoU‘3)

Assertion

Ref	Expression
bru3val	⊢ 𝑊 = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)

Proof of Theorem bru3val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bru3eq.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (bRoU‘3)
2		3nn 12460	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		bruval3 49742	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (bRoU‘3) = ((cos‘((2 · π) / 3)) + (i · (sin‘((2 · π) / 3)))))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (bRoU‘3) = ((cos‘((2 · π) / 3)) + (i · (sin‘((2 · π) / 3))))
5		ax-icn 11296	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		3re 12461	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
7		3pos 12489	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
8	6, 7	sqrtpclii 15591	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
9	8	recni 11360	. . . . 5 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
10		2cn 12456	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		2ne0 12487	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
12	5, 9, 10, 11	divassi 12111	. . . 4 ⊢ ((i · (√‘3)) / 2) = (i · ((√‘3) / 2))
13	12	oveq2i 7460	. . 3 ⊢ (( -1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2)) = (( -1 / 2) + (i · ((√‘3) / 2)))
14		neg1cn 12343	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
15	5, 9	mulcli 11353	. . . 4 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
16	14, 15, 10, 11	divdiri 12112	. . 3 ⊢ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) = (( -1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
17		picn 26831	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
18		3cn 12462	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
19		3ne0 12490	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
20	10, 17, 18, 19	divassi 12111	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) / 3) = (2 · (π / 3))
21	20	fveq2i 6917	. . . . 5 ⊢ (cos‘((2 · π) / 3)) = (cos‘(2 · (π / 3)))
22	17, 18, 19	divcli 12097	. . . . . . 7 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
23		cos2t 16387	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (π / 3))) = ((2 · ((cos‘(π / 3))↑2)) − 1))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(2 · (π / 3))) = ((2 · ((cos‘(π / 3))↑2)) − 1)
25		sincos3rdpi 26891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
26	25	simpri 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
27	26	oveq1i 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘(π / 3))↑2) = ((1 / 2)↑2)
28	10, 11	sqrecii 14364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
29	27, 28	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘(π / 3))↑2) = (1 / (2↑2))
30	29	oveq2i 7460	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((cos‘(π / 3))↑2)) = (2 · (1 / (2↑2)))
31	30	oveq1i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ((cos‘(π / 3))↑2)) − 1) = ((2 · (1 / (2↑2))) − 1)
32	24, 31	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (cos‘(2 · (π / 3))) = ((2 · (1 / (2↑2))) − 1)
33	10	sqvali 14361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
34	33	oveq2i 7460	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / (2 · 2))
35	34	oveq2i 7460	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (1 / (2↑2))) = (2 · (1 / (2 · 2)))
36		ax-1cn 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
37	10, 10	mulcli 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) ∈ ℂ
38		2t2e4 12544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
39		4ne0 12492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 0
40	38, 39	eqnetri 3029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) ≠ 0
41	10, 36, 37, 40	divassi 12111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 · (1 / (2 · 2)))
42		2cnne0 12593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
43		divcan5 12057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
44	36, 42, 42, 43	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
45	41, 44	eqtr3i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (1 / (2 · 2))) = (1 / 2)
46	35, 45	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (1 / (2↑2))) = (1 / 2)
47	46	oveq1i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (1 / (2↑2))) − 1) = ((1 / 2) − 1)
48		2div2e1 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 2) = 1
49	48	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (2 / 2)
50	49	oveq2i 7460	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) − 1) = ((1 / 2) − (2 / 2))
51		divsubdir 12048	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 − 2) / 2) = ((1 / 2) − (2 / 2)))
52	36, 10, 42, 51	mp3an 1491	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 2) / 2) = ((1 / 2) − (2 / 2))
53	50, 52	eqtr4i 2789	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) − 1) = ((1 − 2) / 2)
54	10, 36	negsubdi2i 11681	. . . . . . . 8 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
55		2m1e1 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
56	55	negeqi 11587	. . . . . . . 8 ⊢ -(2 − 1) = -1
57	54, 56	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 2) = -1
58	57	oveq1i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 2) / 2) = ( -1 / 2)
59	47, 53, 58	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ ((2 · (1 / (2↑2))) − 1) = ( -1 / 2)
60	21, 32, 59	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ (cos‘((2 · π) / 3)) = ( -1 / 2)
61	20	fveq2i 6917	. . . . . 6 ⊢ (sin‘((2 · π) / 3)) = (sin‘(2 · (π / 3)))
62		sin2t 16386	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 3))) = (2 · ((sin‘(π / 3)) · (cos‘(π / 3)))))
63	22, 62	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (sin‘(2 · (π / 3))) = (2 · ((sin‘(π / 3)) · (cos‘(π / 3))))
64		oveq12 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)) → ((sin‘(π / 3)) · (cos‘(π / 3))) = (((√‘3) / 2) · (1 / 2)))
65	25, 64	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘(π / 3)) · (cos‘(π / 3))) = (((√‘3) / 2) · (1 / 2))
66	65	oveq2i 7460	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 3)) · (cos‘(π / 3)))) = (2 · (((√‘3) / 2) · (1 / 2)))
67	9, 10, 11	divcli 12097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℂ
68	67, 10, 11	divreci 12100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘3) / 2) / 2) = (((√‘3) / 2) · (1 / 2))
69	68	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((√‘3) / 2) · (1 / 2)) = (((√‘3) / 2) / 2)
70	69	oveq2i 7460	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (((√‘3) / 2) · (1 / 2))) = (2 · (((√‘3) / 2) / 2))
71	67, 10, 11	divcan2i 12098	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (((√‘3) / 2) / 2)) = ((√‘3) / 2)
72	66, 70, 71	3eqtri 2790	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 3)) · (cos‘(π / 3)))) = ((√‘3) / 2)
73	61, 63, 72	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ (sin‘((2 · π) / 3)) = ((√‘3) / 2)
74	73	oveq2i 7460	. . . 4 ⊢ (i · (sin‘((2 · π) / 3))) = (i · ((√‘3) / 2))
75	60, 74	oveq12i 7461	. . 3 ⊢ ((cos‘((2 · π) / 3)) + (i · (sin‘((2 · π) / 3)))) = (( -1 / 2) + (i · ((√‘3) / 2)))
76	13, 16, 75	3eqtr4ri 2797	. 2 ⊢ ((cos‘((2 · π) / 3)) + (i · (sin‘((2 · π) / 3)))) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
77	1, 4, 76	3eqtri 2790	1 ⊢ 𝑊 = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238  ici 11239   + caddc 11240   · cmul 11242   − cmin 11578   -cneg 11579   / cdiv 12011  ℕcn 12373  2c2 12435  3c3 12436  4c4 12437  ↑cexp 14242  √csqrt 15441  sincsin 16270  cosccos 16271  πcpi 16273  bRoUcbru 49737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ioc 13519  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-bc 14486  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-sin 16276  df-cos 16277  df-pi 16279  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-mulg 19319  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-lp 23498  df-perf 23499  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-haus 23677  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cncf 25243  df-limc 26230  df-dv 26231  df-bru 49738

This theorem is used by:  bru3sq  49749  bru3eq  49750