Theorem pnt3 27366

Description: The Prime Number Theorem, version 3: the second Chebyshev function tends asymptotically to 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt3	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝑔 𝑘 𝑙 𝑟 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrmax 27318	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏
3	1	pntibnd 27347	. . . 4 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)
4		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
5		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏)
6		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥))
7		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → 𝑟 = 𝑥)
8	6, 7	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟) = (((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥))
9	8	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) = (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)))
10	9	breq1d 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏))
11	10	cbvralvw 3233	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏)
12	5, 11	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏)
13		simprll 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
14		simprlr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑙 ∈ (0(,)1))
15		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 + 1) = (𝑏 + 1)
16		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − (1 / (𝑏 + 1))) · ((𝑙 / (;32 · 𝑐)) / ((𝑏 + 1)↑2))) = ((1 − (1 / (𝑏 + 1))) · ((𝑙 / (;32 · 𝑐)) / ((𝑏 + 1)↑2)))
17		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
18		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑔))
19		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))
20	19	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)))
21	18, 20	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦))))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → 𝑧 = 𝑔)
23	22, 19	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔)))
24	23	raleqdv 3324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
25	21, 24	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
26	25	cbvrexvw 3234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
27		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (𝑦 < 𝑔 ↔ 𝑓 < 𝑔))
28		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (𝑘 · 𝑦) = (𝑘 · 𝑓))
29	28	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)))
30	27, 29	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓))))
31	30	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
32	31	rexbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
33	26, 32	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
34	33	cbvralvw 3233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
35		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑟(,)+∞) = (𝑥(,)+∞))
36	35	raleqdv 3324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑓 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
37	34, 36	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
38	37	ralbidv 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
39	38	cbvrexvw 3234	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
40	39	ralbii 3092	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
41	17, 40	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
42	1, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 41	pntleml 27365	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
43	42	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1))) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1))
44	43	rexlimdvva 3210	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1))
45	3, 44	mpi 20	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
46	45	rexlimiva 3146	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
47	2, 46	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  +∞cpnf 11252   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  3c3 12275  ;cdc 12684  ℝ⁺crp 12981  (,)cioo 13331  [,)cico 13333  [,]cicc 13334  ↑cexp 14034  abscabs 15188   ⇝_𝑟 crli 15436  expce 16012  ψcchp 26848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-o1 15441  df-lo1 15442  df-sum 15640  df-ef 16018  df-e 16019  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022  df-pi 16023  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16777  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-mulg 18991  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-fg 21146  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-lp 22873  df-perf 22874  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-haus 23052  df-cmp 23124  df-tx 23299  df-hmeo 23492  df-fil 23583  df-fm 23675  df-flim 23676  df-flf 23677  df-xms 24059  df-ms 24060  df-tms 24061  df-cncf 24631  df-limc 25628  df-dv 25629  df-ulm 26139  df-log 26316  df-cxp 26317  df-atan 26623  df-em 26748  df-cht 26852  df-vma 26853  df-chp 26854  df-ppi 26855  df-mu 26856

This theorem is referenced by:  pnt2  27367