Theorem pnt3 27591

Description: The Prime Number Theorem, version 3: the second Chebyshev function tends asymptotically to 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt3	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝑔 𝑘 𝑙 𝑟 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrmax 27543	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏
3	1	pntibnd 27572	. . . 4 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)
4		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
5		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏)
6		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥))
7		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → 𝑟 = 𝑥)
8	6, 7	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟) = (((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥))
9	8	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) = (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)))
10	9	breq1d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏))
11	10	cbvralvw 3216	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏)
12	5, 11	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏)
13		simprll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
14		simprlr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑙 ∈ (0(,)1))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 + 1) = (𝑏 + 1)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − (1 / (𝑏 + 1))) · ((𝑙 / (;32 · 𝑐)) / ((𝑏 + 1)↑2))) = ((1 − (1 / (𝑏 + 1))) · ((𝑙 / (;32 · 𝑐)) / ((𝑏 + 1)↑2)))
17		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
18		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑔))
19		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))
20	19	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)))
21	18, 20	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦))))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → 𝑧 = 𝑔)
23	22, 19	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔)))
24	23	raleqdv 3298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
25	21, 24	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
26	25	cbvrexvw 3217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
27		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (𝑦 < 𝑔 ↔ 𝑓 < 𝑔))
28		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (𝑘 · 𝑦) = (𝑘 · 𝑓))
29	28	breq2d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)))
30	27, 29	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓))))
31	30	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
32	31	rexbidv 3162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
33	26, 32	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
34	33	cbvralvw 3216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
35		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑟(,)+∞) = (𝑥(,)+∞))
36	35	raleqdv 3298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑓 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
37	34, 36	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
38	37	ralbidv 3161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
39	38	cbvrexvw 3217	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
40	39	ralbii 3084	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
41	17, 40	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
42	1, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 41	pntleml 27590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
43	42	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1))) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1))
44	43	rexlimdvva 3195	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1))
45	3, 44	mpi 20	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
46	45	rexlimiva 3131	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
47	2, 46	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  +∞cpnf 11175   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376   / cdiv 11806  2c2 12212  3c3 12213  ;cdc 12619  ℝ⁺crp 12917  (,)cioo 13273  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  ↑cexp 13996  abscabs 15169   ⇝_𝑟 crli 15420  expce 15996  ψcchp 27071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-o1 15425  df-lo1 15426  df-sum 15622  df-ef 16002  df-e 16003  df-sin 16004  df-cos 16005  df-tan 16006  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-pc 16777  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-ulm 26354  df-log 26533  df-cxp 26534  df-atan 26845  df-em 26971  df-cht 27075  df-vma 27076  df-chp 27077  df-ppi 27078  df-mu 27079

This theorem is referenced by:  pnt2  27592