MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnt3 27105
Description: The Prime Number Theorem, version 3: the second Chebyshev function tends asymptotically to ๐‘ฅ. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 1

Proof of Theorem pnt3
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘’ ๐‘“ ๐‘” ๐‘˜ ๐‘™ ๐‘Ÿ ๐‘ข ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž)) = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
21pntrmax 27057 . 2 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘
31pntibnd 27086 . . . 4 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)
4 simpll 766 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5 simplr 768 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘)
6 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) = ((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ฅ))
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ ๐‘Ÿ = ๐‘ฅ)
86, 7oveq12d 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ) = (((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
98fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) = (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
109breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ ((absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘ โ†” (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘))
1110cbvralvw 3235 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘)
125, 11sylib 217 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘)
13 simprll 778 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
14 simprlr 779 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))) โ†’ ๐‘™ โˆˆ (0(,)1))
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐‘ + 1) = (๐‘ + 1)
16 eqid 2733 . . . . . . 7 ((1 โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) ยท ((๐‘™ / (32 ยท ๐‘)) / ((๐‘ + 1)โ†‘2))) = ((1 โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) ยท ((๐‘™ / (32 ยท ๐‘)) / ((๐‘ + 1)โ†‘2)))
17 simprr 772 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
18 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ๐‘” โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ง โ†” ๐‘ฆ < ๐‘”))
19 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง = ๐‘” โ†’ ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) = ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))
2019breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ๐‘” โ†’ (((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)))
2118, 20anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ๐‘” โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ))))
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง = ๐‘” โ†’ ๐‘ง = ๐‘”)
2322, 19oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ๐‘” โ†’ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง)) = (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”)))
2423raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ๐‘” โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’ โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
2521, 24anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ๐‘” โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
2625cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
27 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘” โ†” ๐‘“ < ๐‘”))
28 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘˜ ยท ๐‘“))
2928breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)))
3027, 29anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“))))
3130anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
3231rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
3326, 32bitrid 283 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
3433cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
35 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Ÿ(,)+โˆž) = (๐‘ฅ(,)+โˆž))
3635raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
3734, 36bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
3837ralbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
3938cbvrexvw 3236 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
4039ralbii 3094 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
4117, 40sylib 217 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ ((๐‘“ < ๐‘” โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”) < (๐‘˜ ยท ๐‘“)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘”[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘”))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
421, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 41pntleml 27104 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 1)
4342expr 458 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘™ โˆˆ (0(,)1))) โ†’ (โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 1))
4443rexlimdvva 3212 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 1))
453, 44mpi 20 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 1)
4645rexlimiva 3148 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ (absโ€˜(((๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))โ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘Ÿ)) โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 1)
472, 46ax-mp 5 1 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  +โˆžcpnf 11242   < clt 11245   โ‰ค cle 11246   โˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  2c2 12264  3c3 12265  cdc 12674  โ„+crp 12971  (,)cioo 13321  [,)cico 13323  [,]cicc 13324  โ†‘cexp 14024  abscabs 15178   โ‡๐‘Ÿ crli 15426  expce 16002  ฯˆcchp 26587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-o1 15431  df-lo1 15432  df-sum 15630  df-ef 16008  df-e 16009  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-pc 16767  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-ulm 25881  df-log 26057  df-cxp 26058  df-atan 26362  df-em 26487  df-cht 26591  df-vma 26592  df-chp 26593  df-ppi 26594  df-mu 26595
This theorem is referenced by:  pnt2  27106
  Copyright terms: Public domain W3C validator