Theorem pnt3 26760

Description: The Prime Number Theorem, version 3: the second Chebyshev function tends asymptotically to 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt3	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝑔 𝑘 𝑙 𝑟 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrmax 26712	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏
3	1	pntibnd 26741	. . . 4 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)
4		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
5		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏)
6		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥))
7		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → 𝑟 = 𝑥)
8	6, 7	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟) = (((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥))
9	8	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) = (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)))
10	9	breq1d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏))
11	10	cbvralvw 3383	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏)
12	5, 11	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏)
13		simprll 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
14		simprlr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑙 ∈ (0(,)1))
15		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 + 1) = (𝑏 + 1)
16		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − (1 / (𝑏 + 1))) · ((𝑙 / (;32 · 𝑐)) / ((𝑏 + 1)↑2))) = ((1 − (1 / (𝑏 + 1))) · ((𝑙 / (;32 · 𝑐)) / ((𝑏 + 1)↑2)))
17		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
18		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑔))
19		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))
20	19	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)))
21	18, 20	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦))))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → 𝑧 = 𝑔)
23	22, 19	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔)))
24	23	raleqdv 3348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
25	21, 24	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
26	25	cbvrexvw 3384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
27		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (𝑦 < 𝑔 ↔ 𝑓 < 𝑔))
28		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (𝑘 · 𝑦) = (𝑘 · 𝑓))
29	28	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)))
30	27, 29	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓))))
31	30	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
32	31	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
33	26, 32	bitrid 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
34	33	cbvralvw 3383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
35		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑟(,)+∞) = (𝑥(,)+∞))
36	35	raleqdv 3348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑓 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
37	34, 36	bitrid 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
38	37	ralbidv 3112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
39	38	cbvrexvw 3384	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
40	39	ralbii 3092	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
41	17, 40	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
42	1, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 41	pntleml 26759	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
43	42	expr 457	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1))) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1))
44	43	rexlimdvva 3223	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1))
45	3, 44	mpi 20	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
46	45	rexlimiva 3210	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
47	2, 46	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  3c3 12029  ;cdc 12437  ℝ⁺crp 12730  (,)cioo 13079  [,)cico 13081  [,]cicc 13082  ↑cexp 13782  abscabs 14945   ⇝_𝑟 crli 15194  expce 15771  ψcchp 26242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-o1 15199  df-lo1 15200  df-sum 15398  df-ef 15777  df-e 15778  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-pc 16538  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-ulm 25536  df-log 25712  df-cxp 25713  df-atan 26017  df-em 26142  df-cht 26246  df-vma 26247  df-chp 26248  df-ppi 26249  df-mu 26250

This theorem is referenced by:  pnt2  26761