Theorem pnt3 27948

Description: The Prime Number Theorem, version 3: the second Chebyshev function tends asymptotically to 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt3	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝑔 𝑘 𝑙 𝑟 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrmax 27900	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏
3	1	pntibnd 27929	. . . 4 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)
4		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
5		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏)
6		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥))
7		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → 𝑟 = 𝑥)
8	6, 7	oveq12d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟) = (((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥))
9	8	fveq2d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) = (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)))
10	9	breq1d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏))
11	10	cbvralvw 3240	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏)
12	5, 11	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑏)
13		simprll 791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
14		simprlr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → 𝑙 ∈ (0(,)1))
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 + 1) = (𝑏 + 1)
16		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − (1 / (𝑏 + 1))) · ((𝑙 / (;32 · 𝑐)) / ((𝑏 + 1)↑2))) = ((1 − (1 / (𝑏 + 1))) · ((𝑙 / (;32 · 𝑐)) / ((𝑏 + 1)↑2)))
17		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
18		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑔))
19		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))
20	19	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)))
21	18, 20	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦))))
22		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → 𝑧 = 𝑔)
23	22, 19	oveq12d 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔)))
24	23	raleqdv 3319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
25	21, 24	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑔 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
26	25	cbvrexvw 3241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
27		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (𝑦 < 𝑔 ↔ 𝑓 < 𝑔))
28		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (𝑘 · 𝑦) = (𝑘 · 𝑓))
29	28	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)))
30	27, 29	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓))))
31	30	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
32	31	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
33	26, 32	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑓 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
34	33	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
35		oveq1 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑟(,)+∞) = (𝑥(,)+∞))
36	35	raleqdv 3319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑓 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
37	34, 36	bitrid 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
38	37	ralbidv 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
39	38	cbvrexvw 3241	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
40	39	ralbii 3108	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
41	17, 40	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑓 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑔 ∈ ℝ+ ((𝑓 < 𝑔 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔) < (𝑘 · 𝑓)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑔[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑔))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
42	1, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 41	pntleml 27947	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1)) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
43	42	expr 462	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑙 ∈ (0(,)1))) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1))
44	43	rexlimdvva 3219	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑟(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1))
45	3, 44	mpi 21	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
46	45	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (abs‘(((𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))‘𝑟) / 𝑟)) ≤ 𝑏 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
47	2, 46	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212  +∞cpnf 11347   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548   / cdiv 11980  2c2 12404  3c3 12405  ;cdc 12821  ℝ⁺crp 13127  (,)cioo 13483  [,)cico 13485  [,]cicc 13486  ↑cexp 14211  abscabs 15410   ⇝_𝑟 crli 15661  expce 16236  ψcchp 27429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-oadd 8488  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-o1 15666  df-lo1 15667  df-sum 15863  df-ef 16242  df-e 16243  df-sin 16244  df-cos 16245  df-tan 16246  df-pi 16247  df-dvds 16432  df-gcd 16674  df-prm 16856  df-pc 17024  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-cmp 23714  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-ulm 26713  df-log 26893  df-cxp 26894  df-atan 27204  df-em 27329  df-cht 27433  df-vma 27434  df-chp 27435  df-ppi 27436  df-mu 27437

This theorem is used by:  pnt2  27949