Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccvonmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccvonmbl 45006
Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccvonmbl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbl.s 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
iccvonmbl.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
iccvonmbl.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
iccvonmbl (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝑖,𝑋   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbl
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccvonmbl.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 iccvonmbl.s . 2 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
3 iccvonmbl.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
4 iccvonmbl.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
5 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘–))
65oveq1d 7373 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (1 / 𝑛)) = ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛)))
76cbvmptv 5219 . . 3 (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (1 / 𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛)))
87mpteq2i 5211 . 2 (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) βˆ’ (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))))
9 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π΅β€˜π‘–))
109oveq1d 7373 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π΅β€˜π‘—) + (1 / 𝑛)) = ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛)))
1110cbvmptv 5219 . . 3 (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) + (1 / 𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛)))
1211mpteq2i 5211 . 2 (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) + (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
131, 2, 3, 4, 8, 12iccvonmbllem 45005 1 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Xcixp 8838  Fincfn 8886  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  [,]cicc 13273  volncvoln 44865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-abv 20290  df-staf 20318  df-srng 20319  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lmhm 20498  df-lvec 20579  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-phl 21046  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-xms 23689  df-ms 23690  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-tng 23956  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-clm 24442  df-cph 24548  df-tcph 24549  df-rrx 24765  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-salg 44636  df-sumge0 44690  df-mea 44777  df-ome 44817  df-caragen 44819  df-ovoln 44864  df-voln 44866
This theorem is referenced by:  vonicc  45012  snvonmbl  45013
  Copyright terms: Public domain W3C validator