Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccvonmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccvonmbl 42941
Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccvonmbl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbl.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
iccvonmbl.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbl.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
iccvonmbl (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbl
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccvonmbl.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 iccvonmbl.s . 2 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
3 iccvonmbl.a . 2 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
4 iccvonmbl.b . 2 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
5 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑖))
65oveq1d 7163 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐴𝑗) − (1 / 𝑛)) = ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
76cbvmptv 5160 . . 3 (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) − (1 / 𝑛))) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
87mpteq2i 5149 . 2 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) − (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
9 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
109oveq1d 7163 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑛)) = ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
1110cbvmptv 5160 . . 3 (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑛))) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
1211mpteq2i 5149 . 2 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
131, 2, 3, 4, 8, 12iccvonmbllem 42940 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cmpt 5137  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  Xcixp 8453  Fincfn 8501  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  [,]cicc 12733  volncvoln 42800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-prod 15252  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-rnghom 19459  df-drng 19496  df-field 19497  df-subrg 19525  df-abv 19580  df-staf 19608  df-srng 19609  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lmhm 19786  df-lvec 19867  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-refld 20741  df-phl 20762  df-dsmm 20868  df-frlm 20883  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cmp 21987  df-xms 22922  df-ms 22923  df-nm 23184  df-ngp 23185  df-tng 23186  df-nrg 23187  df-nlm 23188  df-clm 23659  df-cph 23764  df-tcph 23765  df-rrx 23980  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-salg 42574  df-sumge0 42625  df-mea 42712  df-ome 42752  df-caragen 42754  df-ovoln 42799  df-voln 42801
This theorem is referenced by:  vonicc  42947  snvonmbl  42948
  Copyright terms: Public domain W3C validator