Theorem iccvonmbl 47471

Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccvonmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
iccvonmbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccvonmbl	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbl

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccvonmbl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		iccvonmbl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
3		iccvonmbl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		iccvonmbl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑖))
6	5	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))
7	6	cbvmptv 5217	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))
8	7	mpteq2i 5209	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))))
9		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
10	9	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛)) = ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))
11	10	cbvmptv 5217	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))
12	11	mpteq2i 5209	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))))
13	1, 2, 3, 4, 8, 12	iccvonmbllem 47470	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  Xcixp 8902  Fincfn 8950  ℝcr 11119  1c1 11121   + caddc 11123   − cmin 11461   / cdiv 11891  ℕcn 12253  [,]cicc 13396  volncvoln 47330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-inf2 9618  ax-cc 10435  ax-ac2 10463  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-addf 11199  ax-mulf 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-fi 9379  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-dju 9904  df-card 9942  df-acn 9945  df-ac 10117  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-q 12994  df-rp 13038  df-xneg 13158  df-xadd 13159  df-xmul 13160  df-ioo 13397  df-ico 13399  df-icc 13400  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-fl 13848  df-seq 14061  df-exp 14121  df-hash 14390  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-clim 15568  df-rlim 15569  df-sum 15767  df-prod 15986  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-hom 17361  df-cco 17362  df-rest 17502  df-topn 17503  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-topgen 17523  df-prds 17527  df-pws 17529  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-mhm 18883  df-submnd 18884  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-subg 19238  df-ghm 19333  df-cntz 19436  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-ring 20366  df-cring 20367  df-oppr 20470  df-dvdsr 20490  df-unit 20491  df-invr 20521  df-dvr 20534  df-rhm 20605  df-subrng 20700  df-subrg 20724  df-drng 20884  df-field 20885  df-abv 20967  df-staf 20997  df-srng 20998  df-lmod 21038  df-lss 21108  df-lmhm 21198  df-lvec 21279  df-sra 21349  df-rgmod 21350  df-psmet 21569  df-xmet 21570  df-met 21571  df-bl 21572  df-mopn 21573  df-cnfld 21578  df-refld 21810  df-phl 21831  df-dsmm 21937  df-frlm 21952  df-top 23106  df-topon 23123  df-topsp 23145  df-bases 23158  df-cmp 23599  df-xms 24533  df-ms 24534  df-nm 24795  df-ngp 24796  df-tng 24797  df-nrg 24798  df-nlm 24799  df-clm 25278  df-cph 25383  df-tcph 25384  df-rrx 25600  df-ovol 25679  df-vol 25680  df-salg 47101  df-sumge0 47155  df-mea 47242  df-ome 47282  df-caragen 47284  df-ovoln 47329  df-voln 47331

This theorem is used by:  vonicc  47477  snvonmbl  47478