Theorem iccvonmbl 47572

Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccvonmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
iccvonmbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccvonmbl	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbl

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccvonmbl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		iccvonmbl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
3		iccvonmbl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		iccvonmbl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑖))
6	5	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))
7	6	cbvmptv 5209	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))
8	7	mpteq2i 5201	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))))
9		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
10	9	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛)) = ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))
11	10	cbvmptv 5209	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))
12	11	mpteq2i 5201	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))))
13	1, 2, 3, 4, 8, 12	iccvonmbllem 47571	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Xcixp 8911  Fincfn 8959  ℝcr 11148  1c1 11150   + caddc 11152   − cmin 11490   / cdiv 11920  ℕcn 12282  [,]cicc 13426  volncvoln 47431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cc 10462  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-dju 9931  df-card 9969  df-acn 9972  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-ioo 13427  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-seq 14091  df-exp 14151  df-hash 14420  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-clim 15600  df-rlim 15601  df-sum 15799  df-prod 16018  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-rest 17532  df-topn 17533  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-topgen 17553  df-prds 17557  df-pws 17559  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-subg 19272  df-ghm 19367  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-cring 20401  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-invr 20557  df-dvr 20570  df-rhm 20641  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-drng 20921  df-field 20922  df-abv 21005  df-staf 21035  df-srng 21036  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lmhm 21236  df-lvec 21317  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-cnfld 21618  df-refld 21850  df-phl 21871  df-dsmm 21977  df-frlm 21992  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-cmp 23644  df-xms 24578  df-ms 24579  df-nm 24840  df-ngp 24841  df-tng 24842  df-nrg 24843  df-nlm 24844  df-clm 25323  df-cph 25428  df-tcph 25429  df-rrx 25645  df-ovol 25724  df-vol 25725  df-salg 47202  df-sumge0 47256  df-mea 47343  df-ome 47383  df-caragen 47385  df-ovoln 47430  df-voln 47432

This theorem is used by:  vonicc  47578  snvonmbl  47579