Theorem iccvonmbl 42960

Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccvonmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
iccvonmbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccvonmbl	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbl

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccvonmbl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		iccvonmbl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
3		iccvonmbl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		iccvonmbl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5		fveq2 6669	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑖))
6	5	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))
7	6	cbvmptv 5168	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))
8	7	mpteq2i 5157	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))))
9		fveq2 6669	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
10	9	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛)) = ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))
11	10	cbvmptv 5168	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))
12	11	mpteq2i 5157	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))))
13	1, 2, 3, 4, 8, 12	iccvonmbllem 42959	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5145  dom cdm 5554  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Xcixp 8460  Fincfn 8508  ℝcr 10535  1c1 10537   + caddc 10539   − cmin 10869   / cdiv 11296  ℕcn 11637  [,]cicc 12740  volncvoln 42819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cc 9856  ax-ac2 9884  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-disj 5031  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-acn 9370  df-ac 9541  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-prod 15259  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-prds 16720  df-pws 16722  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19503  df-field 19504  df-subrg 19532  df-abv 19587  df-staf 19615  df-srng 19616  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lmhm 19793  df-lvec 19874  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-cnfld 20545  df-refld 20748  df-phl 20769  df-dsmm 20875  df-frlm 20890  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cmp 21994  df-xms 22929  df-ms 22930  df-nm 23191  df-ngp 23192  df-tng 23193  df-nrg 23194  df-nlm 23195  df-clm 23666  df-cph 23771  df-tcph 23772  df-rrx 23987  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-salg 42593  df-sumge0 42644  df-mea 42731  df-ome 42771  df-caragen 42773  df-ovoln 42818  df-voln 42820

This theorem is referenced by:  vonicc  42966  snvonmbl  42967