Theorem stcltrthi 32367

Description: Theorem for classically strong set of states. If there exists a "classically strong set of states" on lattice C_ℋ (or actually any ortholattice, which would have an identical proof), then any two elements of the lattice commute, i.e., the lattice is distributive. (Proof due to Mladen Pavicic.) Theorem 3.3 of [MegPav2000] p. 2344. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stcltrth.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
stcltrth.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
stcltrth.3	⊢ ∃𝑠 ∈ States ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑠‘𝑥) = 1 → (𝑠‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
stcltrthi	⊢ 𝐵 ⊆ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑠,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑠

Proof of Theorem stcltrthi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stcltrth.3	. 2 ⊢ ∃𝑠 ∈ States ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑠‘𝑥) = 1 → (𝑠‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)
2		biid 261	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑠‘𝑥) = 1 → (𝑠‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)) ↔ (𝑠 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑠‘𝑥) = 1 → (𝑠‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
3		stcltrth.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4		stcltrth.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
5	2, 3, 4	stcltrlem2 32366	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑠‘𝑥) = 1 → (𝑠‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
6	5	rexlimiva 3131	. 2 ⊢ (∃𝑠 ∈ States ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑠‘𝑥) = 1 → (𝑠‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝐵 ⊆ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
7	1, 6	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐵 ⊆ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1c1 11033   C_ℋ cch 31018  ⊥cort 31019   ∨_ℋ chj 31022  Statescst 31051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cc 10351  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174  ax-hcompl 31291

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-acn 9860  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-lm 23207  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cfil 25235  df-cau 25236  df-cmet 25237  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-dip 30790  df-ssp 30811  df-ph 30902  df-cbn 30952  df-hnorm 31057  df-hba 31058  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-hcau 31062  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342  df-chj 31399  df-st 32300

This theorem is referenced by: (None)