Theorem dmdsym 32465

Description: Dual M-symmetry of the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 25-Jul-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdsym	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴))

Proof of Theorem dmdsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		choccl 31358	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
2		choccl 31358	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
3		mdsym 32464	. . 3 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵) ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴)))
5		dmdmd 32352	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ (⊥‘𝐴) 𝑀ℋ (⊥‘𝐵)))
6		dmdmd 32352	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴)))
7	6	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ (⊥‘𝐵) 𝑀ℋ (⊥‘𝐴)))
8	4, 5, 7	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5167  ‘cfv 6576   C_ℋ cch 30981  ⊥cort 30982   𝑀_ℋ cmd 31018   𝑀_ℋ^* cdmd 31019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5304  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-inf2 9713  ax-cc 10507  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264  ax-pre-sup 11265  ax-addf 11266  ax-mulf 11267  ax-hilex 31051  ax-hfvadd 31052  ax-hvcom 31053  ax-hvass 31054  ax-hv0cl 31055  ax-hvaddid 31056  ax-hfvmul 31057  ax-hvmulid 31058  ax-hvmulass 31059  ax-hvdistr1 31060  ax-hvdistr2 31061  ax-hvmul0 31062  ax-hfi 31131  ax-his1 31134  ax-his2 31135  ax-his3 31136  ax-his4 31137  ax-hcompl 31254

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4933  df-int 4972  df-iun 5018  df-iin 5019  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-se 5654  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-isom 6585  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7717  df-om 7907  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8205  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-1o 8525  df-2o 8526  df-oadd 8529  df-omul 8530  df-er 8766  df-map 8889  df-pm 8890  df-ixp 8959  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-fin 9010  df-fsupp 9435  df-fi 9483  df-sup 9514  df-inf 9515  df-oi 9582  df-card 10011  df-acn 10014  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-div 11953  df-nn 12299  df-2 12361  df-3 12362  df-4 12363  df-5 12364  df-6 12365  df-7 12366  df-8 12367  df-9 12368  df-n0 12559  df-z 12646  df-dec 12766  df-uz 12911  df-q 13023  df-rp 13067  df-xneg 13186  df-xadd 13187  df-xmul 13188  df-ioo 13422  df-ico 13424  df-icc 13425  df-fz 13579  df-fzo 13723  df-fl 13859  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14397  df-cj 15165  df-re 15166  df-im 15167  df-sqrt 15301  df-abs 15302  df-clim 15551  df-rlim 15552  df-sum 15752  df-struct 17214  df-sets 17231  df-slot 17249  df-ndx 17261  df-base 17279  df-ress 17308  df-plusg 17344  df-mulr 17345  df-starv 17346  df-sca 17347  df-vsca 17348  df-ip 17349  df-tset 17350  df-ple 17351  df-ds 17353  df-unif 17354  df-hom 17355  df-cco 17356  df-rest 17502  df-topn 17503  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-topgen 17523  df-pt 17524  df-prds 17527  df-xrs 17582  df-qtop 17587  df-imas 17588  df-xps 17590  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18839  df-mulg 19128  df-cntz 19377  df-cmn 19844  df-psmet 21399  df-xmet 21400  df-met 21401  df-bl 21402  df-mopn 21403  df-fbas 21404  df-fg 21405  df-cnfld 21408  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22994  df-cld 23068  df-ntr 23069  df-cls 23070  df-nei 23147  df-cn 23276  df-cnp 23277  df-lm 23278  df-haus 23364  df-tx 23611  df-hmeo 23804  df-fil 23895  df-fm 23987  df-flim 23988  df-flf 23989  df-xms 24371  df-ms 24372  df-tms 24373  df-cfil 25328  df-cau 25329  df-cmet 25330  df-grpo 30545  df-gid 30546  df-ginv 30547  df-gdiv 30548  df-ablo 30597  df-vc 30611  df-nv 30644  df-va 30647  df-ba 30648  df-sm 30649  df-0v 30650  df-vs 30651  df-nmcv 30652  df-ims 30653  df-dip 30753  df-ssp 30774  df-ph 30865  df-cbn 30915  df-hnorm 31020  df-hba 31021  df-hvsub 31023  df-hlim 31024  df-hcau 31025  df-sh 31259  df-ch 31273  df-oc 31304  df-ch0 31305  df-shs 31360  df-span 31361  df-chj 31362  df-chsup 31363  df-pjh 31447  df-cv 32331  df-md 32332  df-dmd 32333  df-at 32390

This theorem is referenced by:  atdmd2  32466