HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chjassi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chjassi 28735
Description: Associative law for Hilbert lattice join. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14. (Contributed by NM, 10-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1 𝐴C
chjcl.2 𝐵C
chjass.3 𝐶C
Assertion
Ref Expression
chjassi ((𝐴 𝐵) ∨ 𝐶) = (𝐴 (𝐵 𝐶))

Proof of Theorem chjassi
StepHypRef Expression
1 inass 3982 . . . 4 (((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))
2 ch0le.1 . . . . . 6 𝐴C
3 chjcl.2 . . . . . 6 𝐵C
42, 3chdmj1i 28730 . . . . 5 (⊥‘(𝐴 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))
54ineq1i 3971 . . . 4 ((⊥‘(𝐴 𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶)) = (((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶))
6 chjass.3 . . . . . 6 𝐶C
73, 6chdmj1i 28730 . . . . 5 (⊥‘(𝐵 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))
87ineq2i 3972 . . . 4 ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 𝐶))) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))
91, 5, 83eqtr4i 2796 . . 3 ((⊥‘(𝐴 𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 𝐶)))
109fveq2i 6377 . 2 (⊥‘((⊥‘(𝐴 𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶))) = (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 𝐶))))
112, 3chjcli 28706 . . 3 (𝐴 𝐵) ∈ C
1211, 6chdmm4i 28729 . 2 (⊥‘((⊥‘(𝐴 𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶))) = ((𝐴 𝐵) ∨ 𝐶)
133, 6chjcli 28706 . . 3 (𝐵 𝐶) ∈ C
142, 13chdmm4i 28729 . 2 (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 𝐶)))) = (𝐴 (𝐵 𝐶))
1510, 12, 143eqtr3i 2794 1 ((𝐴 𝐵) ∨ 𝐶) = (𝐴 (𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  cin 3730  cfv 6067  (class class class)co 6841   C cch 28176  cort 28177   chj 28180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cc 9509  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-addf 10267  ax-mulf 10268  ax-hilex 28246  ax-hfvadd 28247  ax-hvcom 28248  ax-hvass 28249  ax-hv0cl 28250  ax-hvaddid 28251  ax-hfvmul 28252  ax-hvmulid 28253  ax-hvmulass 28254  ax-hvdistr1 28255  ax-hvdistr2 28256  ax-hvmul0 28257  ax-hfi 28326  ax-his1 28329  ax-his2 28330  ax-his3 28331  ax-his4 28332  ax-hcompl 28449
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-omul 7768  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-oi 8621  df-card 9015  df-acn 9018  df-cda 9242  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ioo 12380  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-clim 14505  df-rlim 14506  df-sum 14703  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-hom 16239  df-cco 16240  df-rest 16350  df-topn 16351  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-topgen 16371  df-pt 16372  df-prds 16375  df-xrs 16429  df-qtop 16434  df-imas 16435  df-xps 16437  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-mulg 17809  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-fbas 20015  df-fg 20016  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-nei 21181  df-cn 21310  df-cnp 21311  df-lm 21312  df-haus 21398  df-tx 21644  df-hmeo 21837  df-fil 21928  df-fm 22020  df-flim 22021  df-flf 22022  df-xms 22403  df-ms 22404  df-tms 22405  df-cfil 23331  df-cau 23332  df-cmet 23333  df-grpo 27738  df-gid 27739  df-ginv 27740  df-gdiv 27741  df-ablo 27790  df-vc 27804  df-nv 27837  df-va 27840  df-ba 27841  df-sm 27842  df-0v 27843  df-vs 27844  df-nmcv 27845  df-ims 27846  df-dip 27946  df-ssp 27967  df-ph 28058  df-cbn 28109  df-hnorm 28215  df-hba 28216  df-hvsub 28218  df-hlim 28219  df-hcau 28220  df-sh 28454  df-ch 28468  df-oc 28499  df-ch0 28500  df-shs 28557  df-chj 28559
This theorem is referenced by:  chj12i  28771  chj4i  28772  chjass  28782  qlax3i  28878  mayetes3i  28978  atabs2i  29651
  Copyright terms: Public domain W3C validator