Theorem chjassi 30716

Description: Associative law for Hilbert lattice join. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14. (Contributed by NM, 10-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
chjass.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chjassi	⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝐶) = (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Proof of Theorem chjassi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4217	. . . 4 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))
2		ch0le.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		chjcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	chdmj1i 30711	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵))
5	4	ineq1i 4206	. . . 4 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶)) = (((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶))
6		chjass.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
7	3, 6	chdmj1i 30711	. . . . 5 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))
8	7	ineq2i 4207	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))
9	1, 5, 8	3eqtr4i 2771	. . 3 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
10	9	fveq2i 6890	. 2 ⊢ (⊥‘((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶))) = (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
11	2, 3	chjcli 30687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
12	11, 6	chdmm4i 30710	. 2 ⊢ (⊥‘((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ (⊥‘𝐶))) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝐶)
13	3, 6	chjcli 30687	. . 3 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
14	2, 13	chdmm4i 30710	. 2 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐴) ∩ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝐶)))) = (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
15	10, 12, 14	3eqtr3i 2769	1 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝐶) = (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3945  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403   C_ℋ cch 30159  ⊥cort 30160   ∨_ℋ chj 30163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cc 10425  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185  ax-hilex 30229  ax-hfvadd 30230  ax-hvcom 30231  ax-hvass 30232  ax-hv0cl 30233  ax-hvaddid 30234  ax-hfvmul 30235  ax-hvmulid 30236  ax-hvmulass 30237  ax-hvdistr1 30238  ax-hvdistr2 30239  ax-hvmul0 30240  ax-hfi 30309  ax-his1 30312  ax-his2 30313  ax-his3 30314  ax-his4 30315  ax-hcompl 30432

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-ioo 13323  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-fl 13752  df-seq 13962  df-exp 14023  df-hash 14286  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15427  df-rlim 15428  df-sum 15628  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-hom 17216  df-cco 17217  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-submnd 18667  df-mulg 18944  df-cntz 19174  df-cmn 19642  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-fbas 20925  df-fg 20926  df-cnfld 20929  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-cld 22504  df-ntr 22505  df-cls 22506  df-nei 22583  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-lm 22714  df-haus 22800  df-tx 23047  df-hmeo 23240  df-fil 23331  df-fm 23423  df-flim 23424  df-flf 23425  df-xms 23807  df-ms 23808  df-tms 23809  df-cfil 24753  df-cau 24754  df-cmet 24755  df-grpo 29723  df-gid 29724  df-ginv 29725  df-gdiv 29726  df-ablo 29775  df-vc 29789  df-nv 29822  df-va 29825  df-ba 29826  df-sm 29827  df-0v 29828  df-vs 29829  df-nmcv 29830  df-ims 29831  df-dip 29931  df-ssp 29952  df-ph 30043  df-cbn 30093  df-hnorm 30198  df-hba 30199  df-hvsub 30201  df-hlim 30202  df-hcau 30203  df-sh 30437  df-ch 30451  df-oc 30482  df-ch0 30483  df-shs 30538  df-chj 30540

This theorem is referenced by:  chj12i  30752  chj4i  30753  chjass  30763  qlax3i  30859  mayetes3i  30959  atabs2i  31632