Theorem dvsec 50772

Description: Derivative of the secant function. (Contributed by Jon Pennant, 28-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dvsec	⊢ (ℂ D sec) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))

Proof of Theorem dvsec

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sec 50753	. . 3 ⊢ sec = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))
2	1	oveq2i 7420	. 2 ⊢ (ℂ D sec) = (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥))))
3		cnelprrecn 11250	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
5		1cnd 11259	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
6		elrabi 3641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → 𝑥 ∈ ℂ)
7		coscl 16248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
9		fveq2 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (cos‘𝑦) = (cos‘𝑥))
10	9	neeq1d 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((cos‘𝑦) ≠ 0 ↔ (cos‘𝑥) ≠ 0))
11	10	elrab 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
12	11	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ≠ 0)
13	8, 12	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
14		eldifsn 4748	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
15	13, 14	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	15	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → (cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		sincl 16247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
18	6, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
20	19	negcld 11613	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
21	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
22	17	negcld 11613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
24		cosf 16246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
26	25	feqmptd 6942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
27	26	mptru 1577	. . . . . . . . 9 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
28	27	oveq2i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
29		dvcos 26250	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
30	28, 29	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
32		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ)
34		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35	34	cnfldtopon 25048	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
36	35	toponrestid 23186	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
37		coscn 26721	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
38		ssid 3953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
39	34, 36, 36	cncfcn 25178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40	38, 38, 39	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
41	37, 40	eleqtri 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ cos ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
42		cnn0opn 25053	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
43		cnima 23530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
44	41, 42, 43	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
45		coscl 16248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘𝑦) ∈ ℂ)
46		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0))
47	46	baib 545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((cos‘𝑦) ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (cos‘𝑦) ≠ 0))
48	45, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (cos‘𝑦) ≠ 0))
49	48	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ≠ 0 ↔ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
50	49	rabbiia 3416	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
51	25	feqmptd 6942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦)))
52	51	mptru 1577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦))
53	52	mptpreima 6229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
54	50, 53	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))
55	54	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld) ↔ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
56	44, 55	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld)
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld))
58	4, 21, 23, 31, 33, 36, 34, 57	dvmptres 26230	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -(sin‘𝑥)))
59	4, 5, 16, 20, 58	dvrecg 26240	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))))
60	59	mptru 1577	. . 3 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)))
61	18	negcld 11613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
62	61	mullidd 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 · -(sin‘𝑥)) = -(sin‘𝑥))
63		sqval 14211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
64	8, 63	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
65	62, 64	oveq12d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = (-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
66	65	negeqd 11508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = -(-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
67	8, 8	mulcld 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
68	8, 8, 12, 12	mulne0d 11923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) ≠ 0)
69	61, 67, 68	divnegd 12061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -(-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = (--(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
70	18	negnegd 11617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
71	70	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (--(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
72	69, 71	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -(-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
73	66, 72	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
74		ax-1cn 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → 1 ∈ ℂ)
76	75, 8, 18, 8, 12, 12	divmuldivd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((1 · (sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
77	18	mullidd 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 · (sin‘𝑥)) = (sin‘𝑥))
78	77	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 · (sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
79	76, 78	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
80	79	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))))
81	73, 80	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))))
82		secval 50756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (sec‘𝑥) = (1 / (cos‘𝑥)))
83	11, 82	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (sec‘𝑥) = (1 / (cos‘𝑥)))
84	83	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 / (cos‘𝑥)) = (sec‘𝑥))
85		tanval 16249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
86	11, 85	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
87	86	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = (tan‘𝑥))
88	84, 87	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
89	81, 88	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
90	89	mpteq2ia 5200	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
91	75, 8, 12	divcld 12048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 / (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
92	1, 91	fmpti 7101	. . . . . . 7 ⊢ sec:{𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}⟶ℂ
93	92	fdmi 6710	. . . . . 6 ⊢ dom sec = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}
94	93	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = dom sec
95	94	mpteq1i 5196	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
96	90, 95	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
97	60, 96	eqtri 2783	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
98	2, 97	eqtri 2783	1 ⊢ (ℂ D sec) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5647  dom cdm 5648   “ cima 5651  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   · cmul 11162  -cneg 11499   / cdiv 11928  2c2 12352  ↑cexp 14158  sincsin 16182  cosccos 16183  tanctan 16184  TopOpenctopn 17539  ℂ_fldccnfld 21625   Cn ccn 23489  –cn→ccncf 25144   D cdv 26130  seccsec 50750

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-ef 16186  df-sin 16188  df-cos 16189  df-tan 16190  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-lp 23401  df-perf 23402  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-t1 23579  df-haus 23580  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cncf 25146  df-limc 26133  df-dv 26134  df-sec 50753

This theorem is used by: (None)