Theorem dvsec 50689

Description: Derivative of the secant function. (Contributed by Jon Pennant, 28-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dvsec	⊢ (ℂ D sec) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))

Proof of Theorem dvsec

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sec 50670	. . 3 ⊢ sec = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))
2	1	oveq2i 7424	. 2 ⊢ (ℂ D sec) = (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥))))
3		cnelprrecn 11217	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
5		1cnd 11226	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
6		elrabi 3641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → 𝑥 ∈ ℂ)
7		coscl 16215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
9		fveq2 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (cos‘𝑦) = (cos‘𝑥))
10	9	neeq1d 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((cos‘𝑦) ≠ 0 ↔ (cos‘𝑥) ≠ 0))
11	10	elrab 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
12	11	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ≠ 0)
13	8, 12	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
14		eldifsn 4748	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
15	13, 14	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	15	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → (cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		sincl 16214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
18	6, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
20	19	negcld 11580	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
21	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
22	17	negcld 11580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
24		cosf 16213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
26	25	feqmptd 6946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
27	26	mptru 1577	. . . . . . . . 9 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
28	27	oveq2i 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
29		dvcos 26210	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
30	28, 29	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
32		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ)
34		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35	34	cnfldtopon 25008	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
36	35	toponrestid 23146	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
37		coscn 26681	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
38		ssid 3953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
39	34, 36, 36	cncfcn 25138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40	38, 38, 39	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
41	37, 40	eleqtri 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ cos ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
42		cnn0opn 25013	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
43		cnima 23490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
44	41, 42, 43	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
45		coscl 16215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘𝑦) ∈ ℂ)
46		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0))
47	46	baib 545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((cos‘𝑦) ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (cos‘𝑦) ≠ 0))
48	45, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (cos‘𝑦) ≠ 0))
49	48	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ≠ 0 ↔ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
50	49	rabbiia 3416	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
51	25	feqmptd 6946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦)))
52	51	mptru 1577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦))
53	52	mptpreima 6234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
54	50, 53	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))
55	54	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld) ↔ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
56	44, 55	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld)
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld))
58	4, 21, 23, 31, 33, 36, 34, 57	dvmptres 26190	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -(sin‘𝑥)))
59	4, 5, 16, 20, 58	dvrecg 26200	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))))
60	59	mptru 1577	. . 3 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)))
61	18	negcld 11580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
62	61	mullidd 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 · -(sin‘𝑥)) = -(sin‘𝑥))
63		sqval 14178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
64	8, 63	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
65	62, 64	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = (-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
66	65	negeqd 11475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = -(-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
67	8, 8	mulcld 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
68	8, 8, 12, 12	mulne0d 11890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) ≠ 0)
69	61, 67, 68	divnegd 12028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -(-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = (--(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
70	18	negnegd 11584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
71	70	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (--(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
72	69, 71	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -(-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
73	66, 72	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
74		ax-1cn 11182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → 1 ∈ ℂ)
76	75, 8, 18, 8, 12, 12	divmuldivd 12056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((1 · (sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
77	18	mullidd 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 · (sin‘𝑥)) = (sin‘𝑥))
78	77	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 · (sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
79	76, 78	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
80	79	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))))
81	73, 80	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))))
82		secval 50673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (sec‘𝑥) = (1 / (cos‘𝑥)))
83	11, 82	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (sec‘𝑥) = (1 / (cos‘𝑥)))
84	83	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 / (cos‘𝑥)) = (sec‘𝑥))
85		tanval 16216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
86	11, 85	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
87	86	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = (tan‘𝑥))
88	84, 87	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
89	81, 88	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
90	89	mpteq2ia 5200	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
91	75, 8, 12	divcld 12015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 / (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
92	1, 91	fmpti 7105	. . . . . . 7 ⊢ sec:{𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}⟶ℂ
93	92	fdmi 6714	. . . . . 6 ⊢ dom sec = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}
94	93	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = dom sec
95	94	mpteq1i 5196	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
96	90, 95	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
97	60, 96	eqtri 2783	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
98	2, 97	eqtri 2783	1 ⊢ (ℂ D sec) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129  -cneg 11466   / cdiv 11895  2c2 12319  ↑cexp 14125  sincsin 16149  cosccos 16150  tanctan 16151  TopOpenctopn 17506  ℂ_fldccnfld 21585   Cn ccn 23449  –cn→ccncf 25104   D cdv 26090  seccsec 50667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153  df-sin 16155  df-cos 16156  df-tan 16157  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-t1 23539  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094  df-sec 50670

This theorem is used by: (None)