Theorem dvsec 50856

Description: Derivative of the secant function. (Contributed by Jon Pennant, 28-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dvsec	⊢ (ℂ D sec) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))

Proof of Theorem dvsec

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sec 50837	. . 3 ⊢ sec = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))
2	1	oveq2i 7431	. 2 ⊢ (ℂ D sec) = (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥))))
3		cnelprrecn 11293	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
5		1cnd 11302	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
6		elrabi 3640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → 𝑥 ∈ ℂ)
7		coscl 16295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
9		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (cos‘𝑦) = (cos‘𝑥))
10	9	neeq1d 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((cos‘𝑦) ≠ 0 ↔ (cos‘𝑥) ≠ 0))
11	10	elrab 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
12	11	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ≠ 0)
13	8, 12	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
14		eldifsn 4747	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
15	13, 14	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	15	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → (cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		sincl 16294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
18	6, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
20	19	negcld 11656	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
21	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
22	17	negcld 11656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
24		cosf 16293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
26	25	feqmptd 6953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
27	26	mptru 1576	. . . . . . . . 9 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
28	27	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
29		dvcos 26303	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
30	28, 29	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
32		ssrab2 4005	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ)
34		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35	34	cnfldtopon 25101	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
36	35	toponrestid 23239	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
37		coscn 26772	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
38		ssid 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
39	34, 36, 36	cncfcn 25231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40	38, 38, 39	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
41	37, 40	eleqtri 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ cos ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
42		cnn0opn 25106	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
43		cnima 23583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
44	41, 42, 43	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
45		coscl 16295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘𝑦) ∈ ℂ)
46		eldifsn 4747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0))
47	46	baib 545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((cos‘𝑦) ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (cos‘𝑦) ≠ 0))
48	45, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (cos‘𝑦) ≠ 0))
49	48	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ≠ 0 ↔ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
50	49	rabbiia 3416	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
51	25	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦)))
52	51	mptru 1576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦))
53	52	mptpreima 6239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
54	50, 53	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))
55	54	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld) ↔ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
56	44, 55	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld)
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld))
58	4, 21, 23, 31, 33, 36, 34, 57	dvmptres 26283	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -(sin‘𝑥)))
59	4, 5, 16, 20, 58	dvrecg 26293	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))))
60	59	mptru 1576	. . 3 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)))
61	18	negcld 11656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
62	61	mullidd 11327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 · -(sin‘𝑥)) = -(sin‘𝑥))
63		sqval 14257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
64	8, 63	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
65	62, 64	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ( -(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
66	65	negeqd 11551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = -( -(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
67	8, 8	mulcld 11329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
68	8, 8, 12, 12	mulne0d 11968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) ≠ 0)
69	61, 67, 68	divnegd 12106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -( -(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ( - -(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
70	18	negnegd 11660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → - -(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
71	70	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ( - -(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
72	69, 71	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -( -(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
73	66, 72	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
74		ax-1cn 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → 1 ∈ ℂ)
76	75, 8, 18, 8, 12, 12	divmuldivd 12134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((1 · (sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
77	18	mullidd 11327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 · (sin‘𝑥)) = (sin‘𝑥))
78	77	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 · (sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
79	76, 78	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
80	79	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))))
81	73, 80	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))))
82		secval 50840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (sec‘𝑥) = (1 / (cos‘𝑥)))
83	11, 82	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (sec‘𝑥) = (1 / (cos‘𝑥)))
84	83	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 / (cos‘𝑥)) = (sec‘𝑥))
85		tanval 16296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
86	11, 85	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
87	86	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = (tan‘𝑥))
88	84, 87	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
89	81, 88	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
90	89	mpteq2ia 5199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
91	75, 8, 12	divcld 12093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 / (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
92	1, 91	fmpti 7112	. . . . . . 7 ⊢ sec:{𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}⟶ℂ
93	92	fdmi 6721	. . . . . 6 ⊢ dom sec = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}
94	93	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = dom sec
95	94	mpteq1i 5195	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
96	90, 95	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
97	60, 96	eqtri 2783	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
98	2, 97	eqtri 2783	1 ⊢ (ℂ D sec) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4583  {cpr 4585   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  ↑cexp 14204  sincsin 16229  cosccos 16230  tanctan 16231  TopOpenctopn 17592  ℂ_fldccnfld 21678   Cn ccn 23542  –cn→ccncf 25197   D cdv 26183  seccsec 50834

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-tan 16237  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-t1 23632  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-sec 50837

This theorem is used by: (None)