Theorem dvsec 50676

Description: Derivative of the secant function. (Contributed by Jon Pennant, 28-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dvsec	⊢ (ℂ D sec) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))

Proof of Theorem dvsec

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sec 50657	. . 3 ⊢ sec = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))
2	1	oveq2i 7427	. 2 ⊢ (ℂ D sec) = (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥))))
3		cnelprrecn 11220	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
5		1cnd 11229	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
6		elrabi 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → 𝑥 ∈ ℂ)
7		coscl 16219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
9		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (cos‘𝑦) = (cos‘𝑥))
10	9	neeq1d 3016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((cos‘𝑦) ≠ 0 ↔ (cos‘𝑥) ≠ 0))
11	10	elrab 3648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
12	11	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ≠ 0)
13	8, 12	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
14		eldifsn 4751	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0))
15	13, 14	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	15	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → (cos‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		sincl 16218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
18	6, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
20	19	negcld 11583	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
21	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
22	17	negcld 11583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
24		cosf 16217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
26	25	feqmptd 6950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
27	26	mptru 1577	. . . . . . . . 9 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
28	27	oveq2i 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
29		dvcos 26212	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
30	28, 29	eqtr3i 2787	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
32		ssrab2 4031	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ)
34		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35	34	cnfldtopon 25009	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
36	35	toponrestid 23147	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
37		coscn 26678	. . . . . . . . . 10 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
38		ssid 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
39	34, 36, 36	cncfcn 25139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40	38, 38, 39	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
41	37, 40	eleqtri 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ cos ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
42		cnn0opn 25014	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
43		cnima 23491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
44	41, 42, 43	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
45		coscl 16219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘𝑦) ∈ ℂ)
46		eldifsn 4751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑦) ≠ 0))
47	46	baib 545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((cos‘𝑦) ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (cos‘𝑦) ≠ 0))
48	45, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (cos‘𝑦) ≠ 0))
49	48	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((cos‘𝑦) ≠ 0 ↔ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
50	49	rabbiia 3418	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
51	25	feqmptd 6950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦)))
52	51	mptru 1577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ cos = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑦))
53	52	mptpreima 6238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
54	50, 53	eqtr4i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = (◡cos “ (ℂ ∖ {0}))
55	54	eleq1i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld) ↔ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
56	44, 55	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld)
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld))
58	4, 21, 23, 31, 33, 36, 34, 57	dvmptres 26192	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -(sin‘𝑥)))
59	4, 5, 16, 20, 58	dvrecg 26202	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))))
60	59	mptru 1577	. . 3 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)))
61	18	negcld 11583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
62	61	mullidd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 · -(sin‘𝑥)) = -(sin‘𝑥))
63		sqval 14180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
64	8, 63	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
65	62, 64	oveq12d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = (-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
66	65	negeqd 11478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = -(-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
67	8, 8	mulcld 11256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
68	8, 8, 12, 12	mulne0d 11893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) ≠ 0)
69	61, 67, 68	divnegd 12031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -(-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = (--(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
70	18	negnegd 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
71	70	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (--(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
72	69, 71	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -(-(sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
73	66, 72	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
74		ax-1cn 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → 1 ∈ ℂ)
76	75, 8, 18, 8, 12, 12	divmuldivd 12059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((1 · (sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
77	18	mullidd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 · (sin‘𝑥)) = (sin‘𝑥))
78	77	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 · (sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
79	76, 78	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))))
80	79	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) / ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))))
81	73, 80	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))))
82		secval 50660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (sec‘𝑥) = (1 / (cos‘𝑥)))
83	11, 82	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (sec‘𝑥) = (1 / (cos‘𝑥)))
84	83	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 / (cos‘𝑥)) = (sec‘𝑥))
85		tanval 16220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝑥) ≠ 0) → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
86	11, 85	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (tan‘𝑥) = ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
87	86	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = (tan‘𝑥))
88	84, 87	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (cos‘𝑥)) · ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥))) = ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
89	81, 88	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2)) = ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
90	89	mpteq2ia 5204	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
91	75, 8, 12	divcld 12018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} → (1 / (cos‘𝑥)) ∈ ℂ)
92	1, 91	fmpti 7108	. . . . . . 7 ⊢ sec:{𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}⟶ℂ
93	92	fdmi 6718	. . . . . 6 ⊢ dom sec = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0}
94	93	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} = dom sec
95	94	mpteq1i 5200	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
96	90, 95	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((1 · -(sin‘𝑥)) / ((cos‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
97	60, 96	eqtri 2785	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (cos‘𝑦) ≠ 0} ↦ (1 / (cos‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))
98	2, 97	eqtri 2785	1 ⊢ (ℂ D sec) = (𝑥 ∈ dom sec ↦ ((sec‘𝑥) · (tan‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587  {cpr 4589   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  -cneg 11469   / cdiv 11898  2c2 12322  ↑cexp 14127  sincsin 16153  cosccos 16154  tanctan 16155  TopOpenctopn 17510  ℂ_fldccnfld 21586   Cn ccn 23450  –cn→ccncf 25105   D cdv 26092  seccsec 50654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-tan 16161  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-t1 23540  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-sec 50657

This theorem is used by: (None)