Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probdsb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probdsb 33876
Description: The probability of the complement of a set. That is, the probability that the event 𝐴 does not occur. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
probdsb ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘( dom 𝑃𝐴)) = (1 − (𝑃𝐴)))

Proof of Theorem probdsb
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
21unveldomd 33869 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
3 simpr 484 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
4 probdif 33874 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘( dom 𝑃𝐴)) = ((𝑃 dom 𝑃) − (𝑃‘( dom 𝑃𝐴))))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . 2 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘( dom 𝑃𝐴)) = ((𝑃 dom 𝑃) − (𝑃‘( dom 𝑃𝐴))))
6 probtot 33866 . . 3 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
7 elssuni 4931 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐴 dom 𝑃)
8 sseqin2 4207 . . . . 5 (𝐴 dom 𝑃 ↔ ( dom 𝑃𝐴) = 𝐴)
97, 8sylib 217 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑃 → ( dom 𝑃𝐴) = 𝐴)
109fveq2d 6885 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑃 → (𝑃‘( dom 𝑃𝐴)) = (𝑃𝐴))
116, 10oveqan12d 7420 . 2 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 dom 𝑃) − (𝑃‘( dom 𝑃𝐴))) = (1 − (𝑃𝐴)))
125, 11eqtrd 2764 1 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘( dom 𝑃𝐴)) = (1 − (𝑃𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3937  cin 3939  wss 3940   cuni 4899  dom cdm 5666  cfv 6533  (class class class)co 7401  1c1 11106  cmin 11440  Probcprb 33861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-ac2 10453  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-acn 9932  df-ac 10106  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mulg 18983  df-subg 19035  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-cring 20126  df-subrng 20431  df-subrg 20456  df-abv 20645  df-lmod 20693  df-scaf 20694  df-sra 21006  df-rgmod 21007  df-psmet 21215  df-xmet 21216  df-met 21217  df-bl 21218  df-mopn 21219  df-fbas 21220  df-fg 21221  df-cnfld 21224  df-top 22706  df-topon 22723  df-topsp 22745  df-bases 22759  df-cld 22833  df-ntr 22834  df-cls 22835  df-nei 22912  df-lp 22950  df-perf 22951  df-cn 23041  df-cnp 23042  df-haus 23129  df-tx 23376  df-hmeo 23569  df-fil 23660  df-fm 23752  df-flim 23753  df-flf 23754  df-tmd 23886  df-tgp 23887  df-tsms 23941  df-trg 23974  df-xms 24136  df-ms 24137  df-tms 24138  df-nm 24401  df-ngp 24402  df-nrg 24404  df-nlm 24405  df-ii 24707  df-cncf 24708  df-limc 25705  df-dv 25706  df-log 26395  df-esum 33481  df-siga 33562  df-meas 33649  df-prob 33862
This theorem is referenced by:  coinflippvt  33938
  Copyright terms: Public domain W3C validator