Theorem boolesineq 34436

Description: Boole's inequality (union bound). For any finite or countable collection of events, the probability of their union is at most the sum of their probabilities. (Suggested by DeepSeek R1.) (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
boolesineq	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛)) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑃‘(𝐴‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑃,𝑛

Proof of Theorem boolesineq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34391	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
3		domprobsiga 34392	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃)
5	4	ffvelcdmda 7011	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
6	5	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
7		sigaclcu2 34101	. . 3 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
8	3, 6, 7	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
9		ssidd 3955	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛))
10	2, 8, 5, 9	measiun 34199	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛)) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑃‘(𝐴‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4856  ∪ ciun 4938   class class class wbr 5088  dom cdm 5613  ran crn 5614  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476   ≤ cle 11138  ℕcn 12116  Σ^*cesum 34008  sigAlgebracsiga 34089  measurescmeas 34176  Probcprb 34388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-ac2 10345  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075  ax-addf 11076  ax-mulf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-disj 5056  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-map 8746  df-pm 8747  df-ixp 8816  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-fi 9289  df-sup 9320  df-inf 9321  df-oi 9390  df-dju 9785  df-card 9823  df-acn 9826  df-ac 9998  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-ioo 13240  df-ioc 13241  df-ico 13242  df-icc 13243  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-fl 13684  df-mod 13762  df-seq 13897  df-exp 13957  df-fac 14169  df-bc 14198  df-hash 14226  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15365  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15581  df-ef 15961  df-sin 15963  df-cos 15964  df-pi 15966  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-hom 17172  df-cco 17173  df-rest 17313  df-topn 17314  df-0g 17332  df-gsum 17333  df-topgen 17334  df-pt 17335  df-prds 17338  df-ordt 17392  df-xrs 17393  df-qtop 17398  df-imas 17399  df-xps 17401  df-mre 17475  df-mrc 17476  df-acs 17478  df-ps 18459  df-tsr 18460  df-plusf 18500  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-mhm 18644  df-submnd 18645  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-mulg 18934  df-subg 18989  df-cntz 19183  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-ring 20107  df-cring 20108  df-subrng 20415  df-subrg 20439  df-abv 20678  df-lmod 20749  df-scaf 20750  df-sra 21061  df-rgmod 21062  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-fbas 21242  df-fg 21243  df-cnfld 21246  df-top 22763  df-topon 22780  df-topsp 22802  df-bases 22815  df-cld 22888  df-ntr 22889  df-cls 22890  df-nei 22967  df-lp 23005  df-perf 23006  df-cn 23096  df-cnp 23097  df-haus 23184  df-tx 23431  df-hmeo 23624  df-fil 23715  df-fm 23807  df-flim 23808  df-flf 23809  df-tmd 23941  df-tgp 23942  df-tsms 23996  df-trg 24029  df-xms 24189  df-ms 24190  df-tms 24191  df-nm 24451  df-ngp 24452  df-nrg 24454  df-nlm 24455  df-ii 24751  df-cncf 24752  df-limc 25748  df-dv 25749  df-log 26446  df-esum 34009  df-siga 34090  df-meas 34177  df-prob 34389

This theorem is referenced by: (None)