Theorem boolesineq 34953

Description: Boole's inequality (union bound). For any finite or countable collection of events, the probability of their union is at most the sum of their probabilities. (Suggested by DeepSeek R1.) (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
boolesineq	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛)) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑃‘(𝐴‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑃,𝑛

Proof of Theorem boolesineq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34908	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
3		domprobsiga 34909	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃)
5	4	ffvelcdmda 7080	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
6	5	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
7		sigaclcu2 34617	. . 3 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
8	3, 6, 7	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
9		ssidd 3957	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛))
10	2, 8, 5, 9	measiun 34716	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛)) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑃‘(𝐴‘𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ran crn 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537   ≤ cle 11271  ℕcn 12260  Σ^*cesum 34524  sigAlgebracsiga 34605  measurescmeas 34693  Probcprb 34905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-ordt 17591  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-ps 18658  df-tsr 18659  df-plusf 18733  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-abv 20976  df-lmod 21047  df-scaf 21048  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-tmd 24299  df-tgp 24300  df-tsms 24354  df-trg 24387  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-nm 24809  df-ngp 24810  df-nrg 24812  df-nlm 24813  df-ii 25106  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-log 26791  df-esum 34525  df-siga 34606  df-meas 34694  df-prob 34906

This theorem is used by: (None)