Theorem boolesineq 34587

Description: Boole's inequality (union bound). For any finite or countable collection of events, the probability of their union is at most the sum of their probabilities. (Suggested by DeepSeek R1.) (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
boolesineq	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛)) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑃‘(𝐴‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑃,𝑛

Proof of Theorem boolesineq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34542	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
3		domprobsiga 34543	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃)
5	4	ffvelcdmda 7025	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
6	5	ralrimiva 3127	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
7		sigaclcu2 34252	. . 3 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
8	3, 6, 7	syl2an2r 686	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ∈ dom 𝑃)
9		ssidd 3940	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛))
10	2, 8, 5, 9	measiun 34350	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴:ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴‘𝑛)) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑃‘(𝐴‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  ∪ cuni 4840  ∪ ciun 4923   class class class wbr 5074  dom cdm 5620  ran crn 5621  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487   ≤ cle 11169  ℕcn 12163  Σ^*cesum 34159  sigAlgebracsiga 34240  measurescmeas 34327  Probcprb 34539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-ac2 10374  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-disj 5042  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-fi 9313  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-dju 9814  df-card 9852  df-acn 9855  df-ac 10027  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-ordt 17454  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-plusf 18596  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-abv 20775  df-lmod 20846  df-scaf 20847  df-sra 21157  df-rgmod 21158  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-fbas 21338  df-fg 21339  df-cnfld 21342  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-lp 23089  df-perf 23090  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-tmd 24025  df-tgp 24026  df-tsms 24080  df-trg 24113  df-xms 24273  df-ms 24274  df-tms 24275  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-nrg 24538  df-nlm 24539  df-ii 24832  df-cncf 24833  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26508  df-esum 34160  df-siga 34241  df-meas 34328  df-prob 34540

This theorem is referenced by: (None)