Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  osum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osum 29406
 Description: If two closed subspaces of a Hilbert space are orthogonal, their subspace sum equals their subspace join. Lemma 3 of [Kalmbach] p. 67. (Contributed by NM, 31-Oct-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
osum ((𝐴C𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))

Proof of Theorem osum
StepHypRef Expression
1 sseq1 3968 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2 oveq1 7137 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) + 𝐵))
3 oveq1 7137 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ 𝐵))
42, 3eqeq12d 2837 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) + 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ 𝐵)))
51, 4imbi12d 348 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵)) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐵) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) + 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ 𝐵))))
6 fveq2 6643 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (⊥‘𝐵) = (⊥‘if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
76sseq2d 3975 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐵C , 𝐵, ℋ))))
8 oveq2 7138 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) + 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) + if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
9 oveq2 7138 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
108, 9eqeq12d 2837 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) + 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ 𝐵) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) + if(𝐵C , 𝐵, ℋ)) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ if(𝐵C , 𝐵, ℋ))))
117, 10imbi12d 348 . . 3 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐵) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) + 𝐵) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ 𝐵)) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐵C , 𝐵, ℋ)) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) + if(𝐵C , 𝐵, ℋ)) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))))
12 ifchhv 29005 . . . 4 if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∈ C
13 ifchhv 29005 . . . 4 if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∈ C
1412, 13osumi 29403 . . 3 (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐵C , 𝐵, ℋ)) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) + if(𝐵C , 𝐵, ℋ)) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
155, 11, 14dedth2h 4497 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵)))
16153impia 1114 1 ((𝐴C𝐵C𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3910  ifcif 4440  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ℋchba 28680   Cℋ cch 28690  ⊥cort 28691   +ℋ cph 28692   ∨ℋ chj 28694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cc 9834  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594  ax-hilex 28760  ax-hfvadd 28761  ax-hvcom 28762  ax-hvass 28763  ax-hv0cl 28764  ax-hvaddid 28765  ax-hfvmul 28766  ax-hvmulid 28767  ax-hvmulass 28768  ax-hvdistr1 28769  ax-hvdistr2 28770  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his1 28843  ax-his2 28844  ax-his3 28845  ax-his4 28846  ax-hcompl 28963 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-omul 8082  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-acn 9347  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-rest 16674  df-topn 16675  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-topgen 16695  df-pt 16696  df-prds 16699  df-xrs 16753  df-qtop 16758  df-imas 16759  df-xps 16761  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-mulg 18203  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-fbas 20517  df-fg 20518  df-cnfld 20521  df-top 21477  df-topon 21494  df-topsp 21516  df-bases 21529  df-cld 21602  df-ntr 21603  df-cls 21604  df-nei 21681  df-cn 21810  df-cnp 21811  df-lm 21812  df-haus 21898  df-tx 22145  df-hmeo 22338  df-fil 22429  df-fm 22521  df-flim 22522  df-flf 22523  df-xms 22905  df-ms 22906  df-tms 22907  df-cfil 23837  df-cau 23838  df-cmet 23839  df-grpo 28254  df-gid 28255  df-ginv 28256  df-gdiv 28257  df-ablo 28306  df-vc 28320  df-nv 28353  df-va 28356  df-ba 28357  df-sm 28358  df-0v 28359  df-vs 28360  df-nmcv 28361  df-ims 28362  df-dip 28462  df-ssp 28483  df-ph 28574  df-cbn 28624  df-hnorm 28729  df-hba 28730  df-hvsub 28732  df-hlim 28733  df-hcau 28734  df-sh 28968  df-ch 28982  df-oc 29013  df-ch0 29014  df-shs 29069  df-chj 29071  df-pjh 29156 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator