Theorem osum 31794

Description: If two closed subspaces of a Hilbert space are orthogonal, their subspace sum equals their subspace join. Lemma 3 of [Kalmbach] p. 67. (Contributed by NM, 31-Oct-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
osum	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Proof of Theorem osum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3961	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐵)))
2		oveq1 7399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵))
3		oveq1 7399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵))
4	2, 3	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵)))
5	1, 4	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐵) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵))))
6		fveq2 6863	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (⊥‘𝐵) = (⊥‘if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
7	6	sseq2d 3968	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))))
8		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
9		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
10	8, 9	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))))
11	7, 10	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐵) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵)) ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))))
12		ifchhv 31393	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
13		ifchhv 31393	. . . 4 ⊢ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Cℋ
14	12, 13	osumi 31791	. . 3 ⊢ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
15	5, 11, 14	dedth2h 4539	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
16	15	3impia 1129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ifcif 4479  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ℋchba 31068   C_ℋ cch 31078  ⊥cort 31079   +_ℋ cph 31080   ∨_ℋ chj 31082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cc 10389  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149  ax-mulf 11150  ax-hilex 31148  ax-hfvadd 31149  ax-hvcom 31150  ax-hvass 31151  ax-hv0cl 31152  ax-hvaddid 31153  ax-hfvmul 31154  ax-hvmulid 31155  ax-hvmulass 31156  ax-hvdistr1 31157  ax-hvdistr2 31158  ax-hvmul0 31159  ax-hfi 31228  ax-his1 31231  ax-his2 31232  ax-his3 31233  ax-his4 31234  ax-hcompl 31351

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-lm 23269  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cfil 25297  df-cau 25298  df-cmet 25299  df-grpo 30642  df-gid 30643  df-ginv 30644  df-gdiv 30645  df-ablo 30694  df-vc 30708  df-nv 30741  df-va 30744  df-ba 30745  df-sm 30746  df-0v 30747  df-vs 30748  df-nmcv 30749  df-ims 30750  df-dip 30850  df-ssp 30871  df-ph 30962  df-cbn 31012  df-hnorm 31117  df-hba 31118  df-hvsub 31120  df-hlim 31121  df-hcau 31122  df-sh 31356  df-ch 31370  df-oc 31401  df-ch0 31402  df-shs 31457  df-chj 31459  df-pjh 31544

This theorem is referenced by: (None)