Theorem pjoml3 30328

Description: Variation of orthomodular law. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjoml3	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵))

Proof of Theorem pjoml3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3965	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ))
3		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)))
4	3	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ 𝐵))
5	2, 4	ineq12d 4168	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ 𝐵)))
6	5	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵 ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵))
7	1, 6	imbi12d 345	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵) ↔ (𝐵 ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵)))
8		sseq1 3964	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (𝐵 ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ↔ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)))
9		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ 𝐵) = ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
10	9	ineq2d 4167	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))))
11		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))
12	10, 11	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵 ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))) = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
13	8, 12	imbi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((𝐵 ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵) ↔ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))) = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))))
14		ifchhv 29960	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
15		ifchhv 29960	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Cℋ
16	14, 15	pjoml3i 30302	. 2 ⊢ (if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ ((⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))) = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))
17	7, 13, 16	dedth2h 4540	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ifcif 4481  ‘cfv 6488  (class class class)co 7346   ℋchba 29635   C_ℋ cch 29645  ⊥cort 29646   ∨_ℋ chj 29649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-inf2 9507  ax-cc 10301  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059  ax-addf 11060  ax-mulf 11061  ax-hilex 29715  ax-hfvadd 29716  ax-hvcom 29717  ax-hvass 29718  ax-hv0cl 29719  ax-hvaddid 29720  ax-hfvmul 29721  ax-hvmulid 29722  ax-hvmulass 29723  ax-hvdistr1 29724  ax-hvdistr2 29725  ax-hvmul0 29726  ax-hfi 29795  ax-his1 29798  ax-his2 29799  ax-his3 29800  ax-his4 29801  ax-hcompl 29918

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-se 5583  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7604  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-supp 8057  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-2o 8377  df-oadd 8380  df-omul 8381  df-er 8578  df-map 8697  df-pm 8698  df-ixp 8766  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-fsupp 9236  df-fi 9277  df-sup 9308  df-inf 9309  df-oi 9376  df-card 9805  df-acn 9808  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-4 12148  df-5 12149  df-6 12150  df-7 12151  df-8 12152  df-9 12153  df-n0 12344  df-z 12430  df-dec 12548  df-uz 12693  df-q 12799  df-rp 12841  df-xneg 12958  df-xadd 12959  df-xmul 12960  df-ioo 13193  df-ico 13195  df-icc 13196  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-fl 13622  df-seq 13832  df-exp 13893  df-hash 14155  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-clim 15301  df-rlim 15302  df-sum 15502  df-struct 16950  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-mulr 17078  df-starv 17079  df-sca 17080  df-vsca 17081  df-ip 17082  df-tset 17083  df-ple 17084  df-ds 17086  df-unif 17087  df-hom 17088  df-cco 17089  df-rest 17235  df-topn 17236  df-0g 17254  df-gsum 17255  df-topgen 17256  df-pt 17257  df-prds 17260  df-xrs 17315  df-qtop 17320  df-imas 17321  df-xps 17323  df-mre 17397  df-mrc 17398  df-acs 17400  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-submnd 18533  df-mulg 18802  df-cntz 19024  df-cmn 19488  df-psmet 20699  df-xmet 20700  df-met 20701  df-bl 20702  df-mopn 20703  df-fbas 20704  df-fg 20705  df-cnfld 20708  df-top 22153  df-topon 22170  df-topsp 22192  df-bases 22206  df-cld 22280  df-ntr 22281  df-cls 22282  df-nei 22359  df-cn 22488  df-cnp 22489  df-lm 22490  df-haus 22576  df-tx 22823  df-hmeo 23016  df-fil 23107  df-fm 23199  df-flim 23200  df-flf 23201  df-xms 23583  df-ms 23584  df-tms 23585  df-cfil 24529  df-cau 24530  df-cmet 24531  df-grpo 29209  df-gid 29210  df-ginv 29211  df-gdiv 29212  df-ablo 29261  df-vc 29275  df-nv 29308  df-va 29311  df-ba 29312  df-sm 29313  df-0v 29314  df-vs 29315  df-nmcv 29316  df-ims 29317  df-dip 29417  df-ssp 29438  df-ph 29529  df-cbn 29579  df-hnorm 29684  df-hba 29685  df-hvsub 29687  df-hlim 29688  df-hcau 29689  df-sh 29923  df-ch 29937  df-oc 29968  df-ch0 29969  df-shs 30024  df-chj 30026

This theorem is referenced by:  atomli  31098