HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chrelat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chrelat2 32300
Description: A consequence of relative atomicity. (Contributed by NM, 1-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chrelat2 ((𝐴C𝐵C ) → (¬ 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem chrelat2
StepHypRef Expression
1 sseq1 4004 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝐴𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ 𝐵))
21notbid 317 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (¬ 𝐴𝐵 ↔ ¬ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ 𝐵))
3 sseq2 4005 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝑥𝐴𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ)))
43anbi1d 629 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
54rexbidv 3169 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
62, 5bibi12d 344 . 2 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → ((¬ 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵)) ↔ (¬ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∧ ¬ 𝑥𝐵))))
7 sseq2 4005 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
87notbid 317 . . 3 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (¬ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
9 sseq2 4005 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (𝑥𝐵𝑥 ⊆ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
109notbid 317 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (¬ 𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝑥 ⊆ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
1110anbi2d 628 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → ((𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∧ ¬ 𝑥 ⊆ if(𝐵C , 𝐵, ℋ))))
1211rexbidv 3169 . . 3 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∧ ¬ 𝑥 ⊆ if(𝐵C , 𝐵, ℋ))))
138, 12bibi12d 344 . 2 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → ((¬ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∧ ¬ 𝑥𝐵)) ↔ (¬ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ↔ ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∧ ¬ 𝑥 ⊆ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))))
14 ifchhv 31174 . . 3 if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∈ C
15 ifchhv 31174 . . 3 if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∈ C
1614, 15chrelat2i 32295 . 2 (¬ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊆ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ↔ ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∧ ¬ 𝑥 ⊆ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
176, 13, 16dedth2h 4582 1 ((𝐴C𝐵C ) → (¬ 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  wss 3946  ifcif 4523  chba 30849   C cch 30859  HAtomscat 30895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cc 10469  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229  ax-hilex 30929  ax-hfvadd 30930  ax-hvcom 30931  ax-hvass 30932  ax-hv0cl 30933  ax-hvaddid 30934  ax-hfvmul 30935  ax-hvmulid 30936  ax-hvmulass 30937  ax-hvdistr1 30938  ax-hvdistr2 30939  ax-hvmul0 30940  ax-hfi 31009  ax-his1 31012  ax-his2 31013  ax-his3 31014  ax-his4 31015  ax-hcompl 31132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-acn 9978  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-lm 23221  df-haus 23307  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-cfil 25271  df-cau 25272  df-cmet 25273  df-grpo 30423  df-gid 30424  df-ginv 30425  df-gdiv 30426  df-ablo 30475  df-vc 30489  df-nv 30522  df-va 30525  df-ba 30526  df-sm 30527  df-0v 30528  df-vs 30529  df-nmcv 30530  df-ims 30531  df-dip 30631  df-ssp 30652  df-ph 30743  df-cbn 30793  df-hnorm 30898  df-hba 30899  df-hvsub 30901  df-hlim 30902  df-hcau 30903  df-sh 31137  df-ch 31151  df-oc 31182  df-ch0 31183  df-shs 31238  df-span 31239  df-chj 31240  df-chsup 31241  df-cv 32209  df-at 32268
This theorem is referenced by:  chrelat3  32301  mdsymlem3  32335
  Copyright terms: Public domain W3C validator