Theorem dvcot 50858

Description: Derivative of the cotangent function. (Contributed by Jon Pennant, 28-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dvcot	⊢ (ℂ D cot) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))

Proof of Theorem dvcot

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cot 50839	. . 3 ⊢ cot = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))
2	1	oveq2i 7431	. 2 ⊢ (ℂ D cot) = (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥))))
3		cnelprrecn 11293	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
5		elrabi 3640	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → 𝑥 ∈ ℂ)
6		coscl 16295	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
9		sincl 16294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
10	5, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	negcld 11656	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
13	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
14	9	negcld 11656	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
16		cosf 16293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
18	17	feqmptd 6953	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
19	18	mptru 1576	. . . . . . . 8 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
20	19	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
21		dvcos 26303	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
22	20, 21	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
24		ssrab2 4005	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ)
26		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27	26	cnfldtopon 25101	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
28	27	toponrestid 23239	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
29		sincn 26771	. . . . . . . . 9 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
30		ssid 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
31	26, 28, 28	cncfcn 25231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	30, 30, 31	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
33	29, 32	eleqtri 2858	. . . . . . . 8 ⊢ sin ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
34		cnn0opn 25106	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
35		cnima 23583	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
36	33, 34, 35	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
37		sincl 16294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
38		eldifsn 4747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((sin‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑦) ≠ 0))
39	38	baib 545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘𝑦) ∈ ℂ → ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (sin‘𝑦) ≠ 0))
40	37, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (sin‘𝑦) ≠ 0))
41	40	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((sin‘𝑦) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
42	41	rabbiia 3416	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
43		sinf 16292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
45	44	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)))
46	45	mptru 1576	. . . . . . . . . 10 ⊢ sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦))
47	46	mptpreima 6239	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
48	42, 47	eqtr4i 2786	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = (◡sin “ (ℂ ∖ {0}))
49	48	eleq1i 2851	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld) ↔ (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
50	36, 49	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld)
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld))
52	4, 13, 15, 23, 25, 28, 26, 51	dvmptres 26283	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ -(sin‘𝑥)))
53		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘𝑦) = (sin‘𝑥))
54	53	neeq1d 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((sin‘𝑦) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑥) ≠ 0))
55	54	elrab 3644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0))
56	55	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ≠ 0)
57	10, 56	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0))
58		eldifsn 4747	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0))
59	57, 58	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
60	59	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}) → (sin‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
61	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
62	44	feqmptd 6953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
63	62	mptru 1576	. . . . . . . . 9 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))
64	63	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
65		dvsin 26302	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D sin) = cos
66	64, 65	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = cos
67	66, 19	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
68	67	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
69	4, 61, 13, 68, 25, 28, 26, 51	dvmptres 26283	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (cos‘𝑥)))
70	4, 8, 12, 52, 60, 8, 69	dvmptdiv 26294	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2))))
71	70	mptru 1576	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)))
72	10, 10	mulneg1d 11769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = -((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)))
73		sqval 14257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘𝑥) ∈ ℂ → ((sin‘𝑥)↑2) = ((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)))
74	10, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥)↑2) = ((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)))
75	74	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = ((sin‘𝑥)↑2))
76	75	negeqd 11551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = -((sin‘𝑥)↑2))
77	72, 76	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = -((sin‘𝑥)↑2))
78		sqval 14257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
79	7, 78	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
80	79	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
81	77, 80	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ( -((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)))
82	10	sqcld 14287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
83	7	sqcld 14287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
84		negdi2 11616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ) → -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = ( -((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)))
85	82, 83, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = ( -((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)))
86	85	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ( -((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)) = -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)))
87		sincossq 16344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1)
88	5, 87	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1)
89	88	negeqd 11551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = -1)
90	86, 89	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ( -((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)) = -1)
91	81, 90	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = -1)
92	91	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)) = ( -1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
93		ax-1cn 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
94	93	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → 1 ∈ ℂ)
95		sqne0 14266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘𝑥) ∈ ℂ → (((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑥) ≠ 0))
96	10, 95	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑥) ≠ 0))
97	56, 96	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0)
98		divneg 12008	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0) → -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = ( -1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
99	94, 82, 97, 98	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = ( -1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
100	99	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ( -1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
101	92, 100	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)) = -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
102		cscval 50841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0) → (csc‘𝑥) = (1 / (sin‘𝑥)))
103	55, 102	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (csc‘𝑥) = (1 / (sin‘𝑥)))
104	103	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((csc‘𝑥)↑2) = ((1 / (sin‘𝑥))↑2))
105		sqdiv 14264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝑥))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝑥)↑2)))
106	94, 10, 56, 105	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (sin‘𝑥))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝑥)↑2)))
107		sq1 14338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (1↑2) = 1)
109	108	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((1↑2) / ((sin‘𝑥)↑2)) = (1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
110	106, 109	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (sin‘𝑥))↑2) = (1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
111	104, 110	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((csc‘𝑥)↑2) = (1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
112	111	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = ((csc‘𝑥)↑2))
113	112	negeqd 11551	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = -((csc‘𝑥)↑2))
114	101, 113	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)) = -((csc‘𝑥)↑2))
115	114	mpteq2ia 5199	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((csc‘𝑥)↑2))
116	7, 10, 56	divcld 12093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)) ∈ ℂ)
117	1, 116	fmpti 7112	. . . . . 6 ⊢ cot:{𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}⟶ℂ
118	117	fdmi 6721	. . . . 5 ⊢ dom cot = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}
119	118	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = dom cot
120	119	mpteq1i 5195	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((csc‘𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))
121	115, 120	eqtri 2783	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))
122	2, 71, 121	3eqtri 2787	1 ⊢ (ℂ D cot) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4583  {cpr 4585   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  ↑cexp 14204  sincsin 16229  cosccos 16230  TopOpenctopn 17592  ℂ_fldccnfld 21678   Cn ccn 23542  –cn→ccncf 25197   D cdv 26183  cscccsc 50835  cotccot 50836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-t1 23632  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-csc 50838  df-cot 50839

This theorem is used by: (None)