Theorem dvcot 51136

Description: Derivative of the cotangent function. (Contributed by Jon Pennant, 28-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dvcot	⊢ (ℂ D cot) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))

Proof of Theorem dvcot

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cot 51117	. . 3 ⊢ cot = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))
2	1	oveq2i 7451	. 2 ⊢ (ℂ D cot) = (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥))))
3		cnelprrecn 11317	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
5		elrabi 3644	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → 𝑥 ∈ ℂ)
6		coscl 16321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
9		sincl 16320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
10	5, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	negcld 11680	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
13	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
14	9	negcld 11680	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
16		cosf 16319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
18	17	feqmptd 6973	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
19	18	mptru 1577	. . . . . . . 8 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
20	19	oveq2i 7451	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
21		dvcos 26330	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
22	20, 21	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
24		ssrab2 4008	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ)
26		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27	26	cnfldtopon 25128	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
28	27	toponrestid 23266	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
29		sincn 26798	. . . . . . . . 9 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
30		ssid 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
31	26, 28, 28	cncfcn 25258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	30, 30, 31	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
33	29, 32	eleqtri 2862	. . . . . . . 8 ⊢ sin ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
34		cnn0opn 25133	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
35		cnima 23610	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
36	33, 34, 35	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
37		sincl 16320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
38		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((sin‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑦) ≠ 0))
39	38	baib 545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘𝑦) ∈ ℂ → ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (sin‘𝑦) ≠ 0))
40	37, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (sin‘𝑦) ≠ 0))
41	40	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((sin‘𝑦) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
42	41	rabbiia 3420	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
43		sinf 16318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
45	44	feqmptd 6973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)))
46	45	mptru 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦))
47	46	mptpreima 6251	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
48	42, 47	eqtr4i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = (◡sin “ (ℂ ∖ {0}))
49	48	eleq1i 2855	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld) ↔ (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
50	36, 49	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld)
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld))
52	4, 13, 15, 23, 25, 28, 26, 51	dvmptres 26310	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ -(sin‘𝑥)))
53		fveq2 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘𝑦) = (sin‘𝑥))
54	53	neeq1d 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((sin‘𝑦) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑥) ≠ 0))
55	54	elrab 3648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0))
56	55	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ≠ 0)
57	10, 56	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0))
58		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0))
59	57, 58	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
60	59	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}) → (sin‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
61	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
62	44	feqmptd 6973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
63	62	mptru 1577	. . . . . . . . 9 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))
64	63	oveq2i 7451	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
65		dvsin 26329	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D sin) = cos
66	64, 65	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = cos
67	66, 19	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
68	67	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
69	4, 61, 13, 68, 25, 28, 26, 51	dvmptres 26310	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (cos‘𝑥)))
70	4, 8, 12, 52, 60, 8, 69	dvmptdiv 26321	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2))))
71	70	mptru 1577	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)))
72	10, 10	mulneg1d 11793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = -((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)))
73		sqval 14281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘𝑥) ∈ ℂ → ((sin‘𝑥)↑2) = ((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)))
74	10, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥)↑2) = ((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)))
75	74	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = ((sin‘𝑥)↑2))
76	75	negeqd 11575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = -((sin‘𝑥)↑2))
77	72, 76	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = -((sin‘𝑥)↑2))
78		sqval 14281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
79	7, 78	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
80	79	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
81	77, 80	oveq12d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = ( -((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)))
82	10	sqcld 14311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
83	7	sqcld 14311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
84		negdi2 11640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ) → -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = ( -((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)))
85	82, 83, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = ( -((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)))
86	85	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ( -((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)) = -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)))
87		sincossq 16370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1)
88	5, 87	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1)
89	88	negeqd 11575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = -1)
90	86, 89	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ( -((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)) = -1)
91	81, 90	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = -1)
92	91	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)) = ( -1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
93		ax-1cn 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
94	93	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → 1 ∈ ℂ)
95		sqne0 14290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘𝑥) ∈ ℂ → (((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑥) ≠ 0))
96	10, 95	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑥) ≠ 0))
97	56, 96	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0)
98		divneg 12032	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0) → -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = ( -1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
99	94, 82, 97, 98	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = ( -1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
100	99	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ( -1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
101	92, 100	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)) = -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
102		cscval 51119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0) → (csc‘𝑥) = (1 / (sin‘𝑥)))
103	55, 102	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (csc‘𝑥) = (1 / (sin‘𝑥)))
104	103	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((csc‘𝑥)↑2) = ((1 / (sin‘𝑥))↑2))
105		sqdiv 14288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝑥))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝑥)↑2)))
106	94, 10, 56, 105	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (sin‘𝑥))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝑥)↑2)))
107		sq1 14362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (1↑2) = 1)
109	108	oveq1d 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((1↑2) / ((sin‘𝑥)↑2)) = (1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
110	106, 109	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (sin‘𝑥))↑2) = (1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
111	104, 110	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((csc‘𝑥)↑2) = (1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
112	111	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = ((csc‘𝑥)↑2))
113	112	negeqd 11575	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = -((csc‘𝑥)↑2))
114	101, 113	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)) = -((csc‘𝑥)↑2))
115	114	mpteq2ia 5203	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((csc‘𝑥)↑2))
116	7, 10, 56	divcld 12117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)) ∈ ℂ)
117	1, 116	fmpti 7133	. . . . . 6 ⊢ cot:{𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}⟶ℂ
118	117	fdmi 6740	. . . . 5 ⊢ dom cot = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}
119	118	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = dom cot
120	119	mpteq1i 5199	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((csc‘𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))
121	115, 120	eqtri 2786	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((( -(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))
122	2, 71, 121	3eqtri 2790	1 ⊢ (ℂ D cot) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  {cpr 4590   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229   − cmin 11565   -cneg 11566   / cdiv 11997  2c2 12421  ↑cexp 14228  sincsin 16255  cosccos 16256  TopOpenctopn 17618  ℂ_fldccnfld 21705   Cn ccn 23569  –cn→ccncf 25224   D cdv 26210  cscccsc 51113  cotccot 51114

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-t1 23659  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214  df-csc 51116  df-cot 51117

This theorem is used by: (None)