Theorem dvcot 50678

Description: Derivative of the cotangent function. (Contributed by Jon Pennant, 28-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dvcot	⊢ (ℂ D cot) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))

Proof of Theorem dvcot

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cot 50659	. . 3 ⊢ cot = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))
2	1	oveq2i 7427	. 2 ⊢ (ℂ D cot) = (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥))))
3		cnelprrecn 11220	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
5		elrabi 3644	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → 𝑥 ∈ ℂ)
6		coscl 16219	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
9		sincl 16218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
10	5, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	negcld 11583	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
13	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
14	9	negcld 11583	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
16		cosf 16217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
18	17	feqmptd 6950	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
19	18	mptru 1577	. . . . . . . 8 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
20	19	oveq2i 7427	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
21		dvcos 26212	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
22	20, 21	eqtr3i 2787	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
24		ssrab2 4031	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ⊆ ℂ)
26		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27	26	cnfldtopon 25009	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
28	27	toponrestid 23147	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
29		sincn 26677	. . . . . . . . 9 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
30		ssid 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
31	26, 28, 28	cncfcn 25139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	30, 30, 31	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
33	29, 32	eleqtri 2860	. . . . . . . 8 ⊢ sin ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
34		cnn0opn 25014	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
35		cnima 23491	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
36	33, 34, 35	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
37		sincl 16218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (sin‘𝑦) ∈ ℂ)
38		eldifsn 4751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((sin‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑦) ≠ 0))
39	38	baib 545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘𝑦) ∈ ℂ → ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (sin‘𝑦) ≠ 0))
40	37, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (sin‘𝑦) ≠ 0))
41	40	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((sin‘𝑦) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
42	41	rabbiia 3418	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
43		sinf 16216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → sin:ℂ⟶ℂ)
45	44	feqmptd 6950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦)))
46	45	mptru 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ sin = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑦))
47	46	mptpreima 6238	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})}
48	42, 47	eqtr4i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = (◡sin “ (ℂ ∖ {0}))
49	48	eleq1i 2853	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld) ↔ (◡sin “ (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
50	36, 49	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld)
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ∈ (TopOpen‘ℂfld))
52	4, 13, 15, 23, 25, 28, 26, 51	dvmptres 26192	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ -(sin‘𝑥)))
53		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (sin‘𝑦) = (sin‘𝑥))
54	53	neeq1d 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((sin‘𝑦) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑥) ≠ 0))
55	54	elrab 3648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0))
56	55	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ≠ 0)
57	10, 56	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0))
58		eldifsn 4751	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0))
59	57, 58	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (sin‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
60	59	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}) → (sin‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
61	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
62	44	feqmptd 6950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
63	62	mptru 1577	. . . . . . . . 9 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))
64	63	oveq2i 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
65		dvsin 26211	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D sin) = cos
66	64, 65	eqtr3i 2787	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = cos
67	66, 19	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
68	67	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
69	4, 61, 13, 68, 25, 28, 26, 51	dvmptres 26192	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (cos‘𝑥)))
70	4, 8, 12, 52, 60, 8, 69	dvmptdiv 26203	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (((-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2))))
71	70	mptru 1577	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (((-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)))
72	10, 10	mulneg1d 11694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = -((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)))
73		sqval 14180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘𝑥) ∈ ℂ → ((sin‘𝑥)↑2) = ((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)))
74	10, 73	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥)↑2) = ((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)))
75	74	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = ((sin‘𝑥)↑2))
76	75	negeqd 11478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -((sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = -((sin‘𝑥)↑2))
77	72, 76	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) = -((sin‘𝑥)↑2))
78		sqval 14180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cos‘𝑥) ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
79	7, 78	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥)↑2) = ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)))
80	79	eqcomd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥)) = ((cos‘𝑥)↑2))
81	77, 80	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = (-((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)))
82	10	sqcld 14210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
83	7	sqcld 14210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
84		negdi2 11543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ) → -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = (-((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)))
85	82, 83, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = (-((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)))
86	85	eqcomd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (-((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)) = -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)))
87		sincossq 16268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1)
88	5, 87	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1)
89	88	negeqd 11478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = -1)
90	86, 89	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (-((sin‘𝑥)↑2) − ((cos‘𝑥)↑2)) = -1)
91	81, 90	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) = -1)
92	91	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (((-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)) = (-1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
93		ax-1cn 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
94	93	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → 1 ∈ ℂ)
95		sqne0 14189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘𝑥) ∈ ℂ → (((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑥) ≠ 0))
96	10, 95	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0 ↔ (sin‘𝑥) ≠ 0))
97	56, 96	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0)
98		divneg 11933	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑2) ≠ 0) → -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = (-1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
99	94, 82, 97, 98	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = (-1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
100	99	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (-1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
101	92, 100	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (((-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)) = -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
102		cscval 50661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0) → (csc‘𝑥) = (1 / (sin‘𝑥)))
103	55, 102	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (csc‘𝑥) = (1 / (sin‘𝑥)))
104	103	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((csc‘𝑥)↑2) = ((1 / (sin‘𝑥))↑2))
105		sqdiv 14187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝑥) ≠ 0) → ((1 / (sin‘𝑥))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝑥)↑2)))
106	94, 10, 56, 105	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (sin‘𝑥))↑2) = ((1↑2) / ((sin‘𝑥)↑2)))
107		sq1 14261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (1↑2) = 1)
109	108	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((1↑2) / ((sin‘𝑥)↑2)) = (1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
110	106, 109	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((1 / (sin‘𝑥))↑2) = (1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
111	104, 110	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((csc‘𝑥)↑2) = (1 / ((sin‘𝑥)↑2)))
112	111	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = ((csc‘𝑥)↑2))
113	112	negeqd 11478	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → -(1 / ((sin‘𝑥)↑2)) = -((csc‘𝑥)↑2))
114	101, 113	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → (((-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2)) = -((csc‘𝑥)↑2))
115	114	mpteq2ia 5204	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (((-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((csc‘𝑥)↑2))
116	7, 10, 56	divcld 12018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} → ((cos‘𝑥) / (sin‘𝑥)) ∈ ℂ)
117	1, 116	fmpti 7108	. . . . . 6 ⊢ cot:{𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}⟶ℂ
118	117	fdmi 6718	. . . . 5 ⊢ dom cot = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0}
119	118	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} = dom cot
120	119	mpteq1i 5200	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ -((csc‘𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))
121	115, 120	eqtri 2785	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (sin‘𝑦) ≠ 0} ↦ (((-(sin‘𝑥) · (sin‘𝑥)) − ((cos‘𝑥) · (cos‘𝑥))) / ((sin‘𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))
122	2, 71, 121	3eqtri 2789	1 ⊢ (ℂ D cot) = (𝑥 ∈ dom cot ↦ -((csc‘𝑥)↑2))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587  {cpr 4589   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11898  2c2 12322  ↑cexp 14127  sincsin 16153  cosccos 16154  TopOpenctopn 17510  ℂ_fldccnfld 21586   Cn ccn 23450  –cn→ccncf 25105   D cdv 26092  cscccsc 50655  cotccot 50656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-t1 23540  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-csc 50658  df-cot 50659

This theorem is used by: (None)