Theorem cvexch 32397

Description: The Hilbert lattice satisfies the exchange axiom. Proposition 1(iii) of [Kalmbach] p. 140 and its converse. Originally proved by Garrett Birkhoff in 1933. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cvexch	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem cvexch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4228	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵))
2	1	breq1d 5179	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ))
4		oveq1 7452	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵))
5	3, 4	breq12d 5182	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⋖ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵)))
6	2, 5	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⋖ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵))))
7		ineq2 4229	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))
9	7, 8	breq12d 5182	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ⋖ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
10		oveq2 7453	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
11	10	breq2d 5181	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⋖ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵) ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⋖ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ))))
12	9, 11	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) → (((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⋖ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ⋖ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⋖ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))))
13		ifchhv 31267	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
14		ifchhv 31267	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Cℋ
15	13, 14	cvexchi 32392	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∩ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)) ⋖ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ) ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ⋖ℋ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ if(𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵, ℋ)))
16	6, 12, 15	dedth2h 4607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⋖ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ∩ cin 3969  ifcif 4548   class class class wbr 5169  (class class class)co 7445   ℋchba 30942   C_ℋ cch 30952   ∨_ℋ chj 30956   ⋖_ℋ ccv 30987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cc 10500  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259  ax-mulf 11260  ax-hilex 31022  ax-hfvadd 31023  ax-hvcom 31024  ax-hvass 31025  ax-hv0cl 31026  ax-hvaddid 31027  ax-hfvmul 31028  ax-hvmulid 31029  ax-hvmulass 31030  ax-hvdistr1 31031  ax-hvdistr2 31032  ax-hvmul0 31033  ax-hfi 31102  ax-his1 31105  ax-his2 31106  ax-his3 31107  ax-his4 31108  ax-hcompl 31225

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-omul 8523  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-card 10004  df-acn 10007  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-ico 13409  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-rlim 15531  df-sum 15731  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-mulg 19103  df-cntz 19352  df-cmn 19819  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22914  df-topon 22931  df-topsp 22953  df-bases 22967  df-cld 23041  df-ntr 23042  df-cls 23043  df-nei 23120  df-cn 23249  df-cnp 23250  df-lm 23251  df-haus 23337  df-tx 23584  df-hmeo 23777  df-fil 23868  df-fm 23960  df-flim 23961  df-flf 23962  df-xms 24344  df-ms 24345  df-tms 24346  df-cfil 25301  df-cau 25302  df-cmet 25303  df-grpo 30516  df-gid 30517  df-ginv 30518  df-gdiv 30519  df-ablo 30568  df-vc 30582  df-nv 30615  df-va 30618  df-ba 30619  df-sm 30620  df-0v 30621  df-vs 30622  df-nmcv 30623  df-ims 30624  df-dip 30724  df-ssp 30745  df-ph 30836  df-cbn 30886  df-hnorm 30991  df-hba 30992  df-hvsub 30994  df-hlim 30995  df-hcau 30996  df-sh 31230  df-ch 31244  df-oc 31275  df-ch0 31276  df-shs 31331  df-span 31332  df-chj 31333  df-chsup 31334  df-pjh 31418  df-cv 32302  df-at 32361

This theorem is referenced by:  cvp  32398  atcvat3i  32419  atmd2  32423