Theorem cnlnadjlem3 32005

Description: Lemma for cnlnadji 32012. By riesz4 32000, 𝐵 is the unique vector such that (𝑇‘𝑣) ·_ih 𝑦) = (𝑣 ·_ih 𝑤) for all 𝑣. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem3	⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ ℋ)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦,𝑇   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.4	. 2 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
2		cnlnadjlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3		cnlnadjlem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
4		cnlnadjlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5	2, 3, 4	cnlnadjlem2 32004	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
6		elin 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ↔ (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
7	5, 6	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
8		riesz4 32000	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝐺‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝐺‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
10	2, 3, 4	cnlnadjlem1 32003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑣) = ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦))
11	10	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ℋ → ((𝐺‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
12	11	ralbiia 3075	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝐺‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
13	12	reubii 3366	. . . 4 ⊢ (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝐺‘𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
14	9, 13	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
15		riotacl 7368	. . 3 ⊢ (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤) → (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤)) ∈ ℋ)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤)) ∈ ℋ)
17	1, 16	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3046  ∃!wreu 3355   ∩ cin 3921   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6519  ℩crio 7350  (class class class)co 7394   ℋchba 30855   ·_ih csp 30858  ContOpccop 30882  LinOpclo 30883  ContFnccnfn 30889  LinFnclf 30890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-inf2 9612  ax-cc 10406  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164  ax-addf 11165  ax-mulf 11166  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7660  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-oadd 8447  df-omul 8448  df-er 8682  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9331  df-fi 9380  df-sup 9411  df-inf 9412  df-oi 9481  df-card 9910  df-acn 9913  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-q 12922  df-rp 12966  df-xneg 13085  df-xadd 13086  df-xmul 13087  df-ioo 13323  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-fl 13766  df-seq 13977  df-exp 14037  df-hash 14306  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-lm 23122  df-t1 23207  df-haus 23208  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cfil 25162  df-cau 25163  df-cmet 25164  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-dip 30637  df-ssp 30658  df-ph 30749  df-cbn 30799  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909  df-sh 31143  df-ch 31157  df-oc 31188  df-ch0 31189  df-nmop 31775  df-cnop 31776  df-lnop 31777  df-nmfn 31781  df-nlfn 31782  df-cnfn 31783  df-lnfn 31784

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem4  32006  cnlnadjlem6  32008