Theorem sitgclcn 34801

Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces on the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sibfmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclcn.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ban)
sitgclcn.2	⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
sitgclcn	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgclcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sibfmbl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10		sitgclcn.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ban)
11		sitgclcn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = ℂfld)
12		cnrrext 34466	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ ℝExt
13	11, 12	eqeltrdi 2873	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13	sitgclbn 34800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4874  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  Scalarcsca 17337   ·_𝑠 cvsca 17338  TopOpenctopn 17498  0_gc0g 17516  ℂ_fldccnfld 21574  Bancbn 25545  ℝHomcrrh 34449   ℝExt crrext 34450  sigaGencsigagen 34595  measurescmeas 34652  sitgcsitg 34786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16335  df-gcd 16577  df-numer 16818  df-denom 16819  df-gz 17014  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-toset 18495  df-ps 18646  df-tsr 18647  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-od 19644  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-omnd 20237  df-ogrp 20238  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-rhm 20602  df-nzr 20662  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-drng 20881  df-field 20882  df-abv 20964  df-orng 21014  df-ofld 21015  df-lmod 21035  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-metu 21573  df-cnfld 21575  df-zring 21649  df-zrh 21705  df-zlm 21706  df-chr 21707  df-refld 21807  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-reg 23525  df-cmp 23596  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-fcls 24151  df-cnext 24270  df-ust 24411  df-utop 24441  df-uss 24466  df-usp 24467  df-ucn 24485  df-cfilu 24496  df-cusp 24507  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-nm 24792  df-ngp 24793  df-nrg 24795  df-nlm 24796  df-nvc 24797  df-cncf 25090  df-cfil 25467  df-cmet 25469  df-cms 25547  df-bn 25548  df-qqh 34427  df-rrh 34451  df-rrext 34455  df-esum 34484  df-siga 34565  df-sigagen 34596  df-meas 34653  df-mbfm 34707  df-sitg 34787

This theorem is used by: (None)