Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgclcn 31894
Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces on the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclcn.1 (𝜑𝑊 ∈ Ban)
sitgclcn.2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = ℂfld)
Assertion
Ref Expression
sitgclcn (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgclcn
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . 2 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . 2 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . 2 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . 2 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . 2 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . 2 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sibfmbl.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10 sitgclcn.1 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Ban)
11 sitgclcn.2 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = ℂfld)
12 cnrrext 31543 . . 3 fld ∈ ℝExt
1311, 12eqeltrdi 2842 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13sitgclbn 31893 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114   cuni 4806  dom cdm 5535  ran crn 5536  cfv 6350  (class class class)co 7183  Basecbs 16599  Scalarcsca 16684   ·𝑠 cvsca 16685  TopOpenctopn 16811  0gc0g 16829  fldccnfld 20230  Bancbn 24098  ℝHomcrrh 31526   ℝExt crrext 31527  sigaGencsigagen 31689  measurescmeas 31746  sitgcsitg 31879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-tpos 7934  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-dvds 15713  df-gcd 15951  df-numer 16188  df-denom 16189  df-gz 16379  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-hom 16705  df-cco 16706  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-pt 16834  df-prds 16837  df-xrs 16891  df-qtop 16896  df-imas 16897  df-xps 16899  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-proset 17667  df-poset 17685  df-plt 17697  df-toset 17773  df-ps 17939  df-tsr 17940  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-ghm 18487  df-cntz 18578  df-od 18787  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-cring 19432  df-oppr 19508  df-dvdsr 19526  df-unit 19527  df-invr 19557  df-dvr 19568  df-rnghom 19602  df-drng 19636  df-field 19637  df-subrg 19665  df-abv 19720  df-lmod 19768  df-nzr 20163  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-metu 20229  df-cnfld 20231  df-zring 20303  df-zrh 20337  df-zlm 20338  df-chr 20339  df-refld 20434  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-cld 21783  df-ntr 21784  df-cls 21785  df-nei 21862  df-cn 21991  df-cnp 21992  df-haus 22079  df-reg 22080  df-cmp 22151  df-tx 22326  df-hmeo 22519  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-fcls 22705  df-cnext 22824  df-ust 22965  df-utop 22996  df-uss 23021  df-usp 23022  df-ucn 23041  df-cfilu 23052  df-cusp 23063  df-xms 23086  df-ms 23087  df-tms 23088  df-nm 23348  df-ngp 23349  df-nrg 23351  df-nlm 23352  df-nvc 23353  df-cncf 23643  df-cfil 24020  df-cmet 24022  df-cms 24100  df-bn 24101  df-omnd 30915  df-ogrp 30916  df-orng 31086  df-ofld 31087  df-qqh 31506  df-rrh 31528  df-rrext 31532  df-esum 31579  df-siga 31660  df-sigagen 31690  df-meas 31747  df-mbfm 31801  df-sitg 31880
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator