Theorem cnlnadjlem9 32167

Description: Lemma for cnlnadji 32168. 𝐹 provides an example showing the existence of a continuous linear adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem9	⊢ ∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑧))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦,𝑧   𝑧,𝐵   𝑤,𝑡,𝑥,𝑧,𝐹   𝑡,𝑔,𝑥,𝑇,𝑣,𝑦,𝑤,𝑧   𝑣,𝐺,𝑤,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		cnlnadjlem.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
3		cnlnadjlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
4		cnlnadjlem.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
5		cnlnadjlem.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	cnlnadjlem6 32164	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ LinOp
7	1, 2, 3, 4, 5	cnlnadjlem8 32166	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ContOp
8		elin 3906	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (𝐹 ∈ LinOp ∧ 𝐹 ∈ ContOp))
9	6, 7, 8	mpbir2an 712	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ (LinOp ∩ ContOp)
10	1, 2, 3, 4, 5	cnlnadjlem5 32163	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝐹‘𝑧)))
11	10	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝐹‘𝑧)))
12	11	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝐹‘𝑧))
13		fveq1 6837	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝐹 → (𝑡‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
14	13	oveq2d 7380	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝐹 → (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑧)) = (𝑥 ·ih (𝐹‘𝑧)))
15	14	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝐹 → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑧)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝐹‘𝑧))))
16	15	2ralbidv 3202	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝐹‘𝑧))))
17	16	rspcev 3565	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝐹‘𝑧))) → ∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑧)))
18	9, 12, 17	mp2an 693	1 ⊢ ∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑧))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6496  ℩crio 7320  (class class class)co 7364   ℋchba 31011   ·_ih csp 31014  ContOpccop 31038  LinOpclo 31039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-inf2 9559  ax-cc 10354  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113  ax-addf 11114  ax-mulf 11115  ax-hilex 31091  ax-hfvadd 31092  ax-hvcom 31093  ax-hvass 31094  ax-hv0cl 31095  ax-hvaddid 31096  ax-hfvmul 31097  ax-hvmulid 31098  ax-hvmulass 31099  ax-hvdistr1 31100  ax-hvdistr2 31101  ax-hvmul0 31102  ax-hfi 31171  ax-his1 31174  ax-his2 31175  ax-his3 31176  ax-his4 31177  ax-hcompl 31294

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9860  df-acn 9863  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-q 12896  df-rp 12940  df-xneg 13060  df-xadd 13061  df-xmul 13062  df-ioo 13299  df-ico 13301  df-icc 13302  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-fl 13748  df-seq 13961  df-exp 14021  df-hash 14290  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-clim 15447  df-rlim 15448  df-sum 15646  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-starv 17232  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-unif 17240  df-hom 17241  df-cco 17242  df-rest 17382  df-topn 17383  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-topgen 17403  df-pt 17404  df-prds 17407  df-xrs 17463  df-qtop 17468  df-imas 17469  df-xps 17471  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18749  df-mulg 19041  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22875  df-topon 22892  df-topsp 22914  df-bases 22927  df-cld 23000  df-ntr 23001  df-cls 23002  df-nei 23079  df-cn 23208  df-cnp 23209  df-lm 23210  df-t1 23295  df-haus 23296  df-tx 23543  df-hmeo 23736  df-fil 23827  df-fm 23919  df-flim 23920  df-flf 23921  df-xms 24301  df-ms 24302  df-tms 24303  df-cfil 25238  df-cau 25239  df-cmet 25240  df-grpo 30585  df-gid 30586  df-ginv 30587  df-gdiv 30588  df-ablo 30637  df-vc 30651  df-nv 30684  df-va 30687  df-ba 30688  df-sm 30689  df-0v 30690  df-vs 30691  df-nmcv 30692  df-ims 30693  df-dip 30793  df-ssp 30814  df-ph 30905  df-cbn 30955  df-hnorm 31060  df-hba 31061  df-hvsub 31063  df-hlim 31064  df-hcau 31065  df-sh 31299  df-ch 31313  df-oc 31344  df-ch0 31345  df-nmop 31931  df-cnop 31932  df-lnop 31933  df-unop 31935  df-nmfn 31937  df-nlfn 31938  df-cnfn 31939  df-lnfn 31940

This theorem is referenced by:  cnlnadji  32168