Theorem dmdbr3 30340

Description: Binary relation expressing the dual modular pair property. This version quantifies an equality instead of an inference. (Contributed by NM, 6-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdbr3	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dmdbr3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdbr 30334	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
2		chub2 29543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵))
3	2	ancoms 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵))
4		chjcl 29392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
5		sseq2 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝑦 ↔ 𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)))
6		ineq1 4106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∩ 𝐴) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
7	6	oveq1d 7206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
8		ineq1 4106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
9	7, 8	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
10	5, 9	imbi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
11	10	rspcv 3522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
12	4, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
13	3, 12	mpid 44	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
14	13	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
15	14	com3l 89	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
16	15	ralrimdv 3099	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
17		chlejb2 29548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = 𝑥))
18	17	biimpa 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = 𝑥)
19	18	ineq1d 4112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
20	19	oveq1d 7206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
21	18	ineq1d 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
22	20, 21	eqeq12d 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
23	22	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
24	23	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
25	24	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
26	25	ralimdva 3090	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
27		sseq2 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑦))
28		ineq1 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
29	28	oveq1d 7206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
30		ineq1 4106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
31	29, 30	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
32	27, 31	imbi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
33	32	cbvralvw 3348	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
34	26, 33	syl6ib 254	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
35	16, 34	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
36	35	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	1, 36	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191   C_ℋ cch 28964   ∨_ℋ chj 28968   𝑀_ℋ^* cdmd 29002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cc 10014  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773  ax-mulf 10774  ax-hilex 29034  ax-hfvadd 29035  ax-hvcom 29036  ax-hvass 29037  ax-hv0cl 29038  ax-hvaddid 29039  ax-hfvmul 29040  ax-hvmulid 29041  ax-hvmulass 29042  ax-hvdistr1 29043  ax-hvdistr2 29044  ax-hvmul0 29045  ax-hfi 29114  ax-his1 29117  ax-his2 29118  ax-his3 29119  ax-his4 29120  ax-hcompl 29237

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-oadd 8184  df-omul 8185  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-acn 9523  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-ico 12906  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-mulg 18443  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-fbas 20314  df-fg 20315  df-cnfld 20318  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cld 21870  df-ntr 21871  df-cls 21872  df-nei 21949  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-lm 22080  df-haus 22166  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-fil 22697  df-fm 22789  df-flim 22790  df-flf 22791  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174  df-cfil 24106  df-cau 24107  df-cmet 24108  df-grpo 28528  df-gid 28529  df-ginv 28530  df-gdiv 28531  df-ablo 28580  df-vc 28594  df-nv 28627  df-va 28630  df-ba 28631  df-sm 28632  df-0v 28633  df-vs 28634  df-nmcv 28635  df-ims 28636  df-dip 28736  df-ssp 28757  df-ph 28848  df-cbn 28898  df-hnorm 29003  df-hba 29004  df-hvsub 29006  df-hlim 29007  df-hcau 29008  df-sh 29242  df-ch 29256  df-oc 29287  df-ch0 29288  df-shs 29343  df-chj 29345  df-dmd 30316

This theorem is referenced by:  dmdbr6ati  30458