Theorem dmdbr3 32233

Description: Binary relation expressing the dual modular pair property. This version quantifies an equality instead of an inference. (Contributed by NM, 6-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdbr3	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dmdbr3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdbr 32227	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
2		chub2 31436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵))
3	2	ancoms 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵))
4		chjcl 31285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
5		sseq2 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝑦 ↔ 𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)))
6		ineq1 4204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∩ 𝐴) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
7	6	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
8		ineq1 4204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
9	7, 8	eqeq12d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
10	5, 9	imbi12d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
11	10	rspcv 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
12	4, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝐵 ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
13	3, 12	mpid 44	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
14	13	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
15	14	com3l 89	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (𝑥 ∈ Cℋ → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
16	15	ralrimdv 3142	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
17		chlejb2 31441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = 𝑥))
18	17	biimpa 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = 𝑥)
19	18	ineq1d 4210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
20	19	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
21	18	ineq1d 4210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
22	20, 21	eqeq12d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
23	22	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑥) → ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
24	23	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
25	24	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
26	25	ralimdva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
27		sseq2 4006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑦))
28		ineq1 4204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
29	28	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
30		ineq1 4204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
31	29, 30	eqeq12d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
32	27, 31	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
33	32	cbvralvw 3225	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑥 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
34	26, 33	imbitrdi 250	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
35	16, 34	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
36	35	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (∀𝑦 ∈ Cℋ (𝐵 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	1, 36	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5144  (class class class)co 7414   C_ℋ cch 30857   ∨_ℋ chj 30861   𝑀_ℋ^* cdmd 30895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cc 10467  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226  ax-mulf 11227  ax-hilex 30927  ax-hfvadd 30928  ax-hvcom 30929  ax-hvass 30930  ax-hv0cl 30931  ax-hvaddid 30932  ax-hfvmul 30933  ax-hvmulid 30934  ax-hvmulass 30935  ax-hvdistr1 30936  ax-hvdistr2 30937  ax-hvmul0 30938  ax-hfi 31007  ax-his1 31010  ax-his2 31011  ax-his3 31012  ax-his4 31013  ax-hcompl 31130

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-card 9973  df-acn 9976  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-fl 13804  df-seq 14014  df-exp 14074  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-clim 15483  df-rlim 15484  df-sum 15684  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-hom 17283  df-cco 17284  df-rest 17430  df-topn 17431  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-topgen 17451  df-pt 17452  df-prds 17455  df-xrs 17510  df-qtop 17515  df-imas 17516  df-xps 17518  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19774  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-fbas 21334  df-fg 21335  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-lm 23219  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24312  df-ms 24313  df-tms 24314  df-cfil 25269  df-cau 25270  df-cmet 25271  df-grpo 30421  df-gid 30422  df-ginv 30423  df-gdiv 30424  df-ablo 30473  df-vc 30487  df-nv 30520  df-va 30523  df-ba 30524  df-sm 30525  df-0v 30526  df-vs 30527  df-nmcv 30528  df-ims 30529  df-dip 30629  df-ssp 30650  df-ph 30741  df-cbn 30791  df-hnorm 30896  df-hba 30897  df-hvsub 30899  df-hlim 30900  df-hcau 30901  df-sh 31135  df-ch 31149  df-oc 31180  df-ch0 31181  df-shs 31236  df-chj 31238  df-dmd 32209

This theorem is referenced by:  dmdbr6ati  32351