Theorem dmdbr6ati 32958

Description: Dual modular pair property in terms of atoms. The modular law takes the form of the shearing identity. (Contributed by NM, 18-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
dmdbr6ati	⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dmdbr6ati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdmdi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		sumdmdi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3		dmdbr3 32840	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
5		chabs2 32052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∩ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)) = 𝑥)
6	2, 5	mpan2 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∩ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)) = 𝑥)
7	6	ineq2d 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝑥 ∩ (𝑥 ∨ℋ 𝐵))) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥))
8		incom 4154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝑥 ∩ (𝑥 ∨ℋ 𝐵))) = ((𝑥 ∩ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
9		inass 4172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∩ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝑥 ∩ ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
10		incom 4154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝑥)
11	8, 9, 10	3eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝑥 ∩ (𝑥 ∨ℋ 𝐵))) = (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝑥)
12	7, 11	eqtr3di 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝑥))
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝑥))
14		ineq1 4158	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝑥))
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝑥))
16	13, 15	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥))
17	16	ralimiaa 3098	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥))
18	4, 17	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 → ∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥))
19		atelch 32879	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
20	19	imim1i 64	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥)))
21	20	ralimi2 3094	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥))
22	18, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 → ∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥))
23		inss1 4181	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)
24		sseq1 3955	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
25	23, 24	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
26		incom 4154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
27		dfss2 3916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝑥)
28	27	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝑥)
29	26, 28	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = 𝑥)
30	29	sseq1d 3961	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
31	25, 30	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
32	31	ralimi 3099	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
33	1, 2	dmdbr5ati 32957	. . 3 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
34	32, 33	sylibr 237	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) → 𝐴 𝑀ℋ* 𝐵)
35	22, 34	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408   C_ℋ cch 31464   ∨_ℋ chj 31468  HAtomscat 31500   𝑀_ℋ^* cdmd 31502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cc 10484  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251  ax-hilex 31534  ax-hfvadd 31535  ax-hvcom 31536  ax-hvass 31537  ax-hv0cl 31538  ax-hvaddid 31539  ax-hfvmul 31540  ax-hvmulid 31541  ax-hvmulass 31542  ax-hvdistr1 31543  ax-hvdistr2 31544  ax-hvmul0 31545  ax-hfi 31614  ax-his1 31617  ax-his2 31618  ax-his3 31619  ax-his4 31620  ax-hcompl 31737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-acn 9994  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-lm 23508  df-haus 23594  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-cfil 25537  df-cau 25538  df-cmet 25539  df-grpo 31028  df-gid 31029  df-ginv 31030  df-gdiv 31031  df-ablo 31080  df-vc 31094  df-nv 31127  df-va 31130  df-ba 31131  df-sm 31132  df-0v 31133  df-vs 31134  df-nmcv 31135  df-ims 31136  df-dip 31236  df-ssp 31257  df-ph 31348  df-cbn 31398  df-hnorm 31503  df-hba 31504  df-hvsub 31506  df-hlim 31507  df-hcau 31508  df-sh 31742  df-ch 31756  df-oc 31787  df-ch0 31788  df-shs 31843  df-span 31844  df-chj 31845  df-chsup 31846  df-pjh 31930  df-cv 32814  df-md 32815  df-dmd 32816  df-at 32873

This theorem is used by:  dmdbr7ati  32959