HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdbr6ati Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdbr6ati 30509
Description: Dual modular pair property in terms of atoms. The modular law takes the form of the shearing identity. (Contributed by NM, 18-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
dmdbr6ati (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dmdbr6ati
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . 5 𝐴C
2 sumdmdi.2 . . . . 5 𝐵C
3 dmdbr3 30391 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))))
41, 2, 3mp2an 692 . . . 4 (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
5 chabs2 29603 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥 ∩ (𝑥 𝐵)) = 𝑥)
62, 5mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (𝑥 ∩ (𝑥 𝐵)) = 𝑥)
76ineq2d 4132 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝐴 𝐵) ∩ (𝑥 ∩ (𝑥 𝐵))) = ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥))
8 incom 4120 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝑥 ∩ (𝑥 𝐵))) = ((𝑥 ∩ (𝑥 𝐵)) ∩ (𝐴 𝐵))
9 inass 4139 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∩ (𝑥 𝐵)) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝑥 ∩ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
10 incom 4120 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∩ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))) = (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝑥)
118, 9, 103eqtri 2769 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝑥 ∩ (𝑥 𝐵))) = (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝑥)
127, 11eqtr3di 2793 . . . . . . 7 (𝑥C → ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝑥))
1312adantr 484 . . . . . 6 ((𝑥C ∧ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))) → ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝑥))
14 ineq1 4125 . . . . . . 7 ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) → ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥) = (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝑥))
1514adantl 485 . . . . . 6 ((𝑥C ∧ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))) → ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥) = (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝑥))
1613, 15eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝑥C ∧ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))) → ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥))
1716ralimiaa 3082 . . . 4 (∀𝑥C (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) → ∀𝑥C ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥))
184, 17sylbi 220 . . 3 (𝐴 𝑀* 𝐵 → ∀𝑥C ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥))
19 atelch 30430 . . . . 5 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
2019imim1i 63 . . . 4 ((𝑥C → ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥)))
2120ralimi2 3080 . . 3 (∀𝑥C ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥))
2218, 21syl 17 . 2 (𝐴 𝑀* 𝐵 → ∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥))
23 inss1 4148 . . . . . 6 ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)
24 sseq1 3931 . . . . . 6 (((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥) → (((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
2523, 24mpbiri 261 . . . . 5 (((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥) → ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
26 incom 4120 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵))
27 df-ss 3888 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝑥)
2827biimpi 219 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝑥)
2926, 28syl5eq 2790 . . . . . 6 (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = 𝑥)
3029sseq1d 3937 . . . . 5 (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3125, 30syl5ibcom 248 . . . 4 (((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3231ralimi 3083 . . 3 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
331, 2dmdbr5ati 30508 . . 3 (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3432, 33sylibr 237 . 2 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥) → 𝐴 𝑀* 𝐵)
3522, 34impbii 212 1 (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝐴 𝐵) ∩ 𝑥) = ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∩ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  cin 3870  wss 3871   class class class wbr 5058  (class class class)co 7218   C cch 29015   chj 29019  HAtomscat 29051   𝑀* cdmd 29053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-inf2 9261  ax-cc 10054  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811  ax-pre-sup 10812  ax-addf 10813  ax-mulf 10814  ax-hilex 29085  ax-hfvadd 29086  ax-hvcom 29087  ax-hvass 29088  ax-hv0cl 29089  ax-hvaddid 29090  ax-hfvmul 29091  ax-hvmulid 29092  ax-hvmulass 29093  ax-hvdistr1 29094  ax-hvdistr2 29095  ax-hvmul0 29096  ax-hfi 29165  ax-his1 29168  ax-his2 29169  ax-his3 29170  ax-his4 29171  ax-hcompl 29288
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-int 4865  df-iun 4911  df-iin 4912  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-isom 6394  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-of 7474  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-supp 7909  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-1o 8207  df-2o 8208  df-oadd 8211  df-omul 8212  df-er 8396  df-map 8515  df-pm 8516  df-ixp 8584  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-fin 8635  df-fsupp 8991  df-fi 9032  df-sup 9063  df-inf 9064  df-oi 9131  df-card 9560  df-acn 9563  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-div 11495  df-nn 11836  df-2 11898  df-3 11899  df-4 11900  df-5 11901  df-6 11902  df-7 11903  df-8 11904  df-9 11905  df-n0 12096  df-z 12182  df-dec 12299  df-uz 12444  df-q 12550  df-rp 12592  df-xneg 12709  df-xadd 12710  df-xmul 12711  df-ioo 12944  df-ico 12946  df-icc 12947  df-fz 13101  df-fzo 13244  df-fl 13372  df-seq 13580  df-exp 13641  df-hash 13902  df-cj 14667  df-re 14668  df-im 14669  df-sqrt 14803  df-abs 14804  df-clim 15054  df-rlim 15055  df-sum 15255  df-struct 16705  df-sets 16722  df-slot 16740  df-ndx 16750  df-base 16766  df-ress 16790  df-plusg 16820  df-mulr 16821  df-starv 16822  df-sca 16823  df-vsca 16824  df-ip 16825  df-tset 16826  df-ple 16827  df-ds 16829  df-unif 16830  df-hom 16831  df-cco 16832  df-rest 16932  df-topn 16933  df-0g 16951  df-gsum 16952  df-topgen 16953  df-pt 16954  df-prds 16957  df-xrs 17012  df-qtop 17017  df-imas 17018  df-xps 17020  df-mre 17094  df-mrc 17095  df-acs 17097  df-mgm 18119  df-sgrp 18168  df-mnd 18179  df-submnd 18224  df-mulg 18494  df-cntz 18716  df-cmn 19177  df-psmet 20360  df-xmet 20361  df-met 20362  df-bl 20363  df-mopn 20364  df-fbas 20365  df-fg 20366  df-cnfld 20369  df-top 21796  df-topon 21813  df-topsp 21835  df-bases 21848  df-cld 21921  df-ntr 21922  df-cls 21923  df-nei 22000  df-cn 22129  df-cnp 22130  df-lm 22131  df-haus 22217  df-tx 22464  df-hmeo 22657  df-fil 22748  df-fm 22840  df-flim 22841  df-flf 22842  df-xms 23223  df-ms 23224  df-tms 23225  df-cfil 24157  df-cau 24158  df-cmet 24159  df-grpo 28579  df-gid 28580  df-ginv 28581  df-gdiv 28582  df-ablo 28631  df-vc 28645  df-nv 28678  df-va 28681  df-ba 28682  df-sm 28683  df-0v 28684  df-vs 28685  df-nmcv 28686  df-ims 28687  df-dip 28787  df-ssp 28808  df-ph 28899  df-cbn 28949  df-hnorm 29054  df-hba 29055  df-hvsub 29057  df-hlim 29058  df-hcau 29059  df-sh 29293  df-ch 29307  df-oc 29338  df-ch0 29339  df-shs 29394  df-span 29395  df-chj 29396  df-chsup 29397  df-pjh 29481  df-cv 30365  df-md 30366  df-dmd 30367  df-at 30424
This theorem is referenced by:  dmdbr7ati  30510
  Copyright terms: Public domain W3C validator