Theorem cnlnadjeu 31932

Description: Every continuous linear operator has a unique adjoint. Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjeu	⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnlnadjeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (𝑇‘𝑥) = (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥))
2	1	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦))
3	2	eqeq1d 2727	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
4	3	2ralbidv 3209	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
5	4	reubidv 3382	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
6		inss1 4223	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ LinOp
7		0lnop 31838	. . . . . 6 ⊢ 0hop ∈ LinOp
8		0cnop 31833	. . . . . 6 ⊢ 0hop ∈ ContOp
9		elin 3955	. . . . . 6 ⊢ ( 0hop ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ ( 0hop ∈ LinOp ∧ 0hop ∈ ContOp))
10	7, 8, 9	mpbir2an 709	. . . . 5 ⊢ 0hop ∈ (LinOp ∩ ContOp)
11	10	elimel 4593	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
12	6, 11	sselii 3969	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ LinOp
13		inss2 4224	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ ContOp
14	13, 11	sselii 3969	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ ContOp
15	12, 14	cnlnadjeui 31931	. 2 ⊢ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))
16	5, 15	dedth 4582	1 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃!wreu 3362   ∩ cin 3938  ifcif 4524  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   ℋchba 30773   ·_ih csp 30776   0_hop ch0o 30797  ContOpccop 30800  LinOpclo 30801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30853  ax-hfvadd 30854  ax-hvcom 30855  ax-hvass 30856  ax-hv0cl 30857  ax-hvaddid 30858  ax-hfvmul 30859  ax-hvmulid 30860  ax-hvmulass 30861  ax-hvdistr1 30862  ax-hvdistr2 30863  ax-hvmul0 30864  ax-hfi 30933  ax-his1 30936  ax-his2 30937  ax-his3 30938  ax-his4 30939  ax-hcompl 31056

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-lm 23151  df-t1 23236  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cfil 25201  df-cau 25202  df-cmet 25203  df-grpo 30347  df-gid 30348  df-ginv 30349  df-gdiv 30350  df-ablo 30399  df-vc 30413  df-nv 30446  df-va 30449  df-ba 30450  df-sm 30451  df-0v 30452  df-vs 30453  df-nmcv 30454  df-ims 30455  df-dip 30555  df-ssp 30576  df-ph 30667  df-cbn 30717  df-hnorm 30822  df-hba 30823  df-hvsub 30825  df-hlim 30826  df-hcau 30827  df-sh 31061  df-ch 31075  df-oc 31106  df-ch0 31107  df-shs 31162  df-pjh 31249  df-h0op 31602  df-nmop 31693  df-cnop 31694  df-lnop 31695  df-unop 31697  df-hmop 31698  df-nmfn 31699  df-nlfn 31700  df-cnfn 31701  df-lnfn 31702

This theorem is referenced by:  cnlnadj  31933