Theorem cnlnadjeu 30025

Description: Every continuous linear operator has a unique adjoint. Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjeu	⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnlnadjeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6685	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (𝑇‘𝑥) = (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥))
2	1	oveq1d 7197	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦))
3	2	eqeq1d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
4	3	2ralbidv 3112	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
5	4	reubidv 3293	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
6		inss1 4129	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ LinOp
7		0lnop 29931	. . . . . 6 ⊢ 0hop ∈ LinOp
8		0cnop 29926	. . . . . 6 ⊢ 0hop ∈ ContOp
9		elin 3869	. . . . . 6 ⊢ ( 0hop ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ ( 0hop ∈ LinOp ∧ 0hop ∈ ContOp))
10	7, 8, 9	mpbir2an 711	. . . . 5 ⊢ 0hop ∈ (LinOp ∩ ContOp)
11	10	elimel 4493	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
12	6, 11	sselii 3884	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ LinOp
13		inss2 4130	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ ContOp
14	13, 11	sselii 3884	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ ContOp
15	12, 14	cnlnadjeui 30024	. 2 ⊢ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))
16	5, 15	dedth 4482	1 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  ∃!wreu 3056   ∩ cin 3852  ifcif 4424  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182   ℋchba 28866   ·_ih csp 28869   0_hop ch0o 28890  ContOpccop 28893  LinOpclo 28894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cc 9947  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705  ax-addf 10706  ax-mulf 10707  ax-hilex 28946  ax-hfvadd 28947  ax-hvcom 28948  ax-hvass 28949  ax-hv0cl 28950  ax-hvaddid 28951  ax-hfvmul 28952  ax-hvmulid 28953  ax-hvmulass 28954  ax-hvdistr1 28955  ax-hvdistr2 28956  ax-hvmul0 28957  ax-hfi 29026  ax-his1 29029  ax-his2 29030  ax-his3 29031  ax-his4 29032  ax-hcompl 29149

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-oadd 8147  df-omul 8148  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-ixp 8520  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-fi 8960  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-card 9453  df-acn 9456  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xneg 12602  df-xadd 12603  df-xmul 12604  df-ioo 12837  df-ico 12839  df-icc 12840  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-seq 13473  df-exp 13534  df-hash 13795  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-clim 14947  df-rlim 14948  df-sum 15148  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-ip 16698  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-hom 16704  df-cco 16705  df-rest 16811  df-topn 16812  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-topgen 16832  df-pt 16833  df-prds 16836  df-xrs 16890  df-qtop 16895  df-imas 16896  df-xps 16898  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-mulg 18355  df-cntz 18577  df-cmn 19038  df-psmet 20221  df-xmet 20222  df-met 20223  df-bl 20224  df-mopn 20225  df-fbas 20226  df-fg 20227  df-cnfld 20230  df-top 21657  df-topon 21674  df-topsp 21696  df-bases 21709  df-cld 21782  df-ntr 21783  df-cls 21784  df-nei 21861  df-cn 21990  df-cnp 21991  df-lm 21992  df-t1 22077  df-haus 22078  df-tx 22325  df-hmeo 22518  df-fil 22609  df-fm 22701  df-flim 22702  df-flf 22703  df-xms 23085  df-ms 23086  df-tms 23087  df-cfil 24019  df-cau 24020  df-cmet 24021  df-grpo 28440  df-gid 28441  df-ginv 28442  df-gdiv 28443  df-ablo 28492  df-vc 28506  df-nv 28539  df-va 28542  df-ba 28543  df-sm 28544  df-0v 28545  df-vs 28546  df-nmcv 28547  df-ims 28548  df-dip 28648  df-ssp 28669  df-ph 28760  df-cbn 28810  df-hnorm 28915  df-hba 28916  df-hvsub 28918  df-hlim 28919  df-hcau 28920  df-sh 29154  df-ch 29168  df-oc 29199  df-ch0 29200  df-shs 29255  df-pjh 29342  df-h0op 29695  df-nmop 29786  df-cnop 29787  df-lnop 29788  df-unop 29790  df-hmop 29791  df-nmfn 29792  df-nlfn 29793  df-cnfn 29794  df-lnfn 29795

This theorem is referenced by:  cnlnadj  30026