Theorem cnlnadjeu 29538

Description: Every continuous linear operator has a unique adjoint. Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjeu	⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnlnadjeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6540	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (𝑇‘𝑥) = (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥))
2	1	oveq1d 7034	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦))
3	2	eqeq1d 2796	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
4	3	2ralbidv 3165	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
5	4	reubidv 3348	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
6		inss1 4127	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ LinOp
7		0lnop 29444	. . . . . 6 ⊢ 0hop ∈ LinOp
8		0cnop 29439	. . . . . 6 ⊢ 0hop ∈ ContOp
9		elin 4092	. . . . . 6 ⊢ ( 0hop ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ ( 0hop ∈ LinOp ∧ 0hop ∈ ContOp))
10	7, 8, 9	mpbir2an 707	. . . . 5 ⊢ 0hop ∈ (LinOp ∩ ContOp)
11	10	elimel 4450	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
12	6, 11	sselii 3888	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ LinOp
13		inss2 4128	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ ContOp
14	13, 11	sselii 3888	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ ContOp
15	12, 14	cnlnadjeui 29537	. 2 ⊢ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))
16	5, 15	dedth 4439	1 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ∀wral 3104  ∃!wreu 3106   ∩ cin 3860  ifcif 4383  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019   ℋchba 28379   ·_ih csp 28382   0_hop ch0o 28403  ContOpccop 28406  LinOpclo 28407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cc 9706  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464  ax-addf 10465  ax-mulf 10466  ax-hilex 28459  ax-hfvadd 28460  ax-hvcom 28461  ax-hvass 28462  ax-hv0cl 28463  ax-hvaddid 28464  ax-hfvmul 28465  ax-hvmulid 28466  ax-hvmulass 28467  ax-hvdistr1 28468  ax-hvdistr2 28469  ax-hvmul0 28470  ax-hfi 28539  ax-his1 28542  ax-his2 28543  ax-his3 28544  ax-his4 28545  ax-hcompl 28662

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-oadd 7960  df-omul 7961  df-er 8142  df-map 8261  df-pm 8262  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-fi 8724  df-sup 8755  df-inf 8756  df-oi 8823  df-card 9217  df-acn 9220  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-lm 21521  df-t1 21606  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cfil 23541  df-cau 23542  df-cmet 23543  df-grpo 27953  df-gid 27954  df-ginv 27955  df-gdiv 27956  df-ablo 28005  df-vc 28019  df-nv 28052  df-va 28055  df-ba 28056  df-sm 28057  df-0v 28058  df-vs 28059  df-nmcv 28060  df-ims 28061  df-dip 28161  df-ssp 28182  df-ph 28273  df-cbn 28323  df-hnorm 28428  df-hba 28429  df-hvsub 28431  df-hlim 28432  df-hcau 28433  df-sh 28667  df-ch 28681  df-oc 28712  df-ch0 28713  df-shs 28768  df-pjh 28855  df-h0op 29208  df-nmop 29299  df-cnop 29300  df-lnop 29301  df-unop 29303  df-hmop 29304  df-nmfn 29305  df-nlfn 29306  df-cnfn 29307  df-lnfn 29308

This theorem is referenced by:  cnlnadj  29539