Theorem cnlnadjeu 32439

Description: Every continuous linear operator has a unique adjoint. Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjeu	⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnlnadjeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (𝑇‘𝑥) = (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥))
2	1	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦))
3	2	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
4	3	2ralbidv 3229	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
5	4	reubidv 3385	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) → (∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
6		inss1 4189	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ LinOp
7		0lnop 32345	. . . . . 6 ⊢ 0hop ∈ LinOp
8		0cnop 32340	. . . . . 6 ⊢ 0hop ∈ ContOp
9		elin 3921	. . . . . 6 ⊢ ( 0hop ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ ( 0hop ∈ LinOp ∧ 0hop ∈ ContOp))
10	7, 8, 9	mpbir2an 723	. . . . 5 ⊢ 0hop ∈ (LinOp ∩ ContOp)
11	10	elimel 4557	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
12	6, 11	sselii 3934	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ LinOp
13		inss2 4190	. . . 4 ⊢ (LinOp ∩ ContOp) ⊆ ContOp
14	13, 11	sselii 3934	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop ) ∈ ContOp
15	12, 14	cnlnadjeui 32438	. 2 ⊢ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, 0hop )‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))
16	5, 15	dedth 4546	1 ⊢ (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃!wreu 3367   ∩ cin 3904  ifcif 4487  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ℋchba 31280   ·_ih csp 31283   0_hop ch0o 31304  ContOpccop 31307  LinOpclo 31308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10423  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183  ax-mulf 11184  ax-hilex 31360  ax-hfvadd 31361  ax-hvcom 31362  ax-hvass 31363  ax-hv0cl 31364  ax-hvaddid 31365  ax-hfvmul 31366  ax-hvmulid 31367  ax-hvmulass 31368  ax-hvdistr1 31369  ax-hvdistr2 31370  ax-hvmul0 31371  ax-hfi 31440  ax-his1 31443  ax-his2 31444  ax-his3 31445  ax-his4 31446  ax-hcompl 31563

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-mulg 19138  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-lm 23395  df-t1 23480  df-haus 23481  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-cfil 25423  df-cau 25424  df-cmet 25425  df-grpo 30854  df-gid 30855  df-ginv 30856  df-gdiv 30857  df-ablo 30906  df-vc 30920  df-nv 30953  df-va 30956  df-ba 30957  df-sm 30958  df-0v 30959  df-vs 30960  df-nmcv 30961  df-ims 30962  df-dip 31062  df-ssp 31083  df-ph 31174  df-cbn 31224  df-hnorm 31329  df-hba 31330  df-hvsub 31332  df-hlim 31333  df-hcau 31334  df-sh 31568  df-ch 31582  df-oc 31613  df-ch0 31614  df-shs 31669  df-pjh 31756  df-h0op 32109  df-nmop 32200  df-cnop 32201  df-lnop 32202  df-unop 32204  df-hmop 32205  df-nmfn 32206  df-nlfn 32207  df-cnfn 32208  df-lnfn 32209

This theorem is used by:  cnlnadj  32440