Theorem rtelextdg2 34237

Description: If an element 𝑋 is a solution of a quadratic equation, then it is either in the base field, or the degree of its field extension is exactly 2. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rtelextdg2.1	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
rtelextdg2.2	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
rtelextdg2.3	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
rtelextdg2.4	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
rtelextdg2.5	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐸)
rtelextdg2.6	⊢ · = (.r‘𝐸)
rtelextdg2.7	⊢ + = (+g‘𝐸)
rtelextdg2.8	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐸))
rtelextdg2.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
rtelextdg2.10	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
rtelextdg2.11	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
rtelextdg2.12	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐹)
rtelextdg2.13	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐹)
rtelextdg2.14	⊢ (𝜑 → ((2 ↑ 𝑋) + ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵)) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
rtelextdg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))

Proof of Theorem rtelextdg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rtelextdg2.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐸)
2		rtelextdg2.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
3	2	flddrngd 20904	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
4		rtelextdg2.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
5	1	sdrgss 20959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ⊆ 𝑉)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝑉)
7		rtelextdg2.11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
9	6, 8	unssd 4138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
10	1, 3, 9	fldgenssid 33754	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
11		ssun2 4125	. . . . . 6 ⊢ {𝑋} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑋})
12		snidg 4621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ {𝑋})
13	7, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑋})
14	11, 13	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋}))
15	10, 14	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝑋 ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
17		rtelextdg2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
18		rtelextdg2.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
19	1, 17, 18, 2, 4, 8	fldgenfldext 34178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿/FldExt𝐾)
20		extdg1id 34176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿/FldExt𝐾 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝐿 = 𝐾)
21	19, 20	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝐿 = 𝐾)
22	21	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → (Base‘𝐿) = (Base‘𝐾))
23	1, 3, 9	fldgenssv 33756	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) ⊆ 𝑉)
24	18, 1	ressbas2 17330	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) ⊆ 𝑉 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝐿))
25	23, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝐿))
26	25	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝐿))
27	17, 1	ressbas2 17330	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐾))
28	6, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐾))
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝐹 = (Base‘𝐾))
30	22, 26, 29	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = 𝐹)
31	16, 30	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝑋 ∈ 𝐹)
32		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 2) → (𝐿[:]𝐾) = 2)
33		1zzd 12649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
34		2z 12650	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
36		extdgcl 34166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿/FldExt𝐾 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
37	19, 36	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
38		2nn0 12545	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
40		rtelextdg2.3	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
41		rtelextdg2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
42		rtelextdg2.6	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝐸)
43		rtelextdg2.7	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐸)
44		rtelextdg2.8	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐸))
45		rtelextdg2.12	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐹)
46		rtelextdg2.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐹)
47		rtelextdg2.14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 ↑ 𝑋) + ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵)) = 0 )
48		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (var1‘𝐾) = (var1‘𝐾)
49		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
50		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
51		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
52		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
53		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝐾))(+g‘𝑃)((((algSc‘𝑃)‘𝐴)(.r‘𝑃)(var1‘𝐾))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵))) = ((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝐾))(+g‘𝑃)((((algSc‘𝑃)‘𝐴)(.r‘𝑃)(var1‘𝐾))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵)))
54	17, 18, 40, 41, 1, 42, 43, 44, 2, 4, 7, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53	rtelextdg2lem 34236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ≤ 2)
55		xnn0lenn0nn0 13297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿[:]𝐾) ≤ 2) → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0)
56	37, 39, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0)
57	56	nn0zd 12640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℤ)
58		extdggt0 34167	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿/FldExt𝐾 → 0 < (𝐿[:]𝐾))
59	19, 58	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐿[:]𝐾))
60		zgt0ge1 12674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿[:]𝐾) ∈ ℤ → (0 < (𝐿[:]𝐾) ↔ 1 ≤ (𝐿[:]𝐾)))
61	60	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿[:]𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿[:]𝐾)) → 1 ≤ (𝐿[:]𝐾))
62	57, 59, 61	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐿[:]𝐾))
63	33, 35, 57, 62, 54	elfzd 13569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ (1...2))
64		fz12pr 13636	. . . 4 ⊢ (1...2) = {1, 2}
65	63, 64	eleqtrdi 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ {1, 2})
66		elpri 4608	. . 3 ⊢ ((𝐿[:]𝐾) ∈ {1, 2} → ((𝐿[:]𝐾) = 1 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
67	65, 66	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿[:]𝐾) = 1 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
68	31, 32, 67	orim12da 980	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   < clt 11267   ≤ cle 11268  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ℕ₀^*cxnn0 12601  ℤcz 12615  ...cfz 13561  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  +_gcplusg 17342  ._rcmulr 17343  0_gc0g 17524  ._gcmg 19190  mulGrpcmgp 20273  Fieldcfield 20891  SubDRingcsdrg 20952  algSccascl 22067  var₁cv1 22401  Poly₁cpl1 22402   fldGen cfldgen 33751  /_FldExtcfldext 34148  [:]cextdg 34150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-reg 9564  ax-inf2 9620  ax-ac2 10465  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-rpss 7724  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9868  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-ac 10119  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ocomp 17363  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-imas 17594  df-qus 17595  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-mri 17672  df-acs 17673  df-proset 18382  df-drs 18383  df-poset 18401  df-ipo 18616  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-nsg 19247  df-eqg 19248  df-ghm 19341  df-gim 19386  df-cntz 19444  df-oppg 19473  df-lsm 19763  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-srg 20326  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-irred 20500  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-rhm 20613  df-nzr 20673  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-rlreg 20856  df-domn 20857  df-idom 20858  df-drng 20892  df-field 20893  df-sdrg 20953  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lmhm 21206  df-lmim 21207  df-lmic 21208  df-lbs 21259  df-lvec 21287  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-lidl 21395  df-rsp 21396  df-2idl 21452  df-lpidl 21553  df-lpir 21554  df-pid 21568  df-cnfld 21586  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-uvc 21996  df-lindf 22019  df-linds 22020  df-assa 22068  df-asp 22069  df-ascl 22070  df-psr 22124  df-mvr 22125  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-evls 22290  df-evl 22291  df-psr1 22405  df-vr1 22406  df-ply1 22407  df-coe1 22408  df-evls1 22540  df-evl1 22541  df-mdeg 26280  df-deg1 26281  df-mon1 26356  df-uc1p 26357  df-q1p 26358  df-r1p 26359  df-ig1p 26360  df-fldgen 33752  df-mxidl 33863  df-dim 34110  df-fldext 34151  df-extdg 34152  df-irng 34194  df-minply 34210

This theorem is used by:  constrelextdg2  34257