Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rtelextdg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rtelextdg2 33768
Description: If an element 𝑋 is a solution of a quadratic equation, then it is either in the base field, or the degree of its field extension is exactly 2. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rtelextdg2.1 𝐾 = (𝐸s 𝐹)
rtelextdg2.2 𝐿 = (𝐸s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
rtelextdg2.3 0 = (0g𝐸)
rtelextdg2.4 𝑃 = (Poly1𝐾)
rtelextdg2.5 𝑉 = (Base‘𝐸)
rtelextdg2.6 · = (.r𝐸)
rtelextdg2.7 + = (+g𝐸)
rtelextdg2.8 = (.g‘(mulGrp‘𝐸))
rtelextdg2.9 (𝜑𝐸 ∈ Field)
rtelextdg2.10 (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
rtelextdg2.11 (𝜑𝑋𝑉)
rtelextdg2.12 (𝜑𝐴𝐹)
rtelextdg2.13 (𝜑𝐵𝐹)
rtelextdg2.14 (𝜑 → ((2 𝑋) + ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵)) = 0 )
Assertion
Ref Expression
rtelextdg2 (𝜑 → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))

Proof of Theorem rtelextdg2
StepHypRef Expression
1 rtelextdg2.5 . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝐸)
2 rtelextdg2.9 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ Field)
32flddrngd 20741 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ DivRing)
4 rtelextdg2.10 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
51sdrgss 20794 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹𝑉)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑉)
7 rtelextdg2.11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
87snssd 4809 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
96, 8unssd 4192 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
101, 3, 9fldgenssid 33315 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
11 ssun2 4179 . . . . . 6 {𝑋} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑋})
12 snidg 4660 . . . . . . 7 (𝑋𝑉𝑋 ∈ {𝑋})
137, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ {𝑋})
1411, 13sselid 3981 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋}))
1510, 14sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝑋 ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
17 rtelextdg2.1 . . . . . . 7 𝐾 = (𝐸s 𝐹)
18 rtelextdg2.2 . . . . . . 7 𝐿 = (𝐸s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
191, 17, 18, 2, 4, 8fldgenfldext 33718 . . . . . 6 (𝜑𝐿/FldExt𝐾)
20 extdg1id 33716 . . . . . 6 ((𝐿/FldExt𝐾 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝐿 = 𝐾)
2119, 20sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝐿 = 𝐾)
2221fveq2d 6910 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → (Base‘𝐿) = (Base‘𝐾))
231, 3, 9fldgenssv 33317 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) ⊆ 𝑉)
2418, 1ressbas2 17283 . . . . . 6 ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) ⊆ 𝑉 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝐿))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝐿))
2625adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝐿))
2717, 1ressbas2 17283 . . . . . 6 (𝐹𝑉𝐹 = (Base‘𝐾))
286, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (Base‘𝐾))
2928adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝐹 = (Base‘𝐾))
3022, 26, 293eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = 𝐹)
3116, 30eleqtrd 2843 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝑋𝐹)
32 simpr 484 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 2) → (𝐿[:]𝐾) = 2)
33 1zzd 12648 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
34 2z 12649 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
36 extdgcl 33707 . . . . . . . 8 (𝐿/FldExt𝐾 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
3719, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
38 2nn0 12543 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
40 rtelextdg2.3 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐸)
41 rtelextdg2.4 . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝐾)
42 rtelextdg2.6 . . . . . . . 8 · = (.r𝐸)
43 rtelextdg2.7 . . . . . . . 8 + = (+g𝐸)
44 rtelextdg2.8 . . . . . . . 8 = (.g‘(mulGrp‘𝐸))
45 rtelextdg2.12 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐹)
46 rtelextdg2.13 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐹)
47 rtelextdg2.14 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 𝑋) + ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵)) = 0 )
48 eqid 2737 . . . . . . . 8 (var1𝐾) = (var1𝐾)
49 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g𝑃) = (+g𝑃)
50 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r𝑃) = (.r𝑃)
51 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
52 eqid 2737 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
53 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝐾))(+g𝑃)((((algSc‘𝑃)‘𝐴)(.r𝑃)(var1𝐾))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵))) = ((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝐾))(+g𝑃)((((algSc‘𝑃)‘𝐴)(.r𝑃)(var1𝐾))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵)))
5417, 18, 40, 41, 1, 42, 43, 44, 2, 4, 7, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53rtelextdg2lem 33767 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ≤ 2)
55 xnn0lenn0nn0 13287 . . . . . . 7 (((𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿[:]𝐾) ≤ 2) → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0)
5637, 39, 54, 55syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0)
5756nn0zd 12639 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℤ)
58 extdggt0 33708 . . . . . . 7 (𝐿/FldExt𝐾 → 0 < (𝐿[:]𝐾))
5919, 58syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝐿[:]𝐾))
60 zgt0ge1 12672 . . . . . . 7 ((𝐿[:]𝐾) ∈ ℤ → (0 < (𝐿[:]𝐾) ↔ 1 ≤ (𝐿[:]𝐾)))
6160biimpa 476 . . . . . 6 (((𝐿[:]𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿[:]𝐾)) → 1 ≤ (𝐿[:]𝐾))
6257, 59, 61syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (𝐿[:]𝐾))
6333, 35, 57, 62, 54elfzd 13555 . . . 4 (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ (1...2))
64 fz12pr 13621 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
6563, 64eleqtrdi 2851 . . 3 (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ {1, 2})
66 elpri 4649 . . 3 ((𝐿[:]𝐾) ∈ {1, 2} → ((𝐿[:]𝐾) = 1 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
6765, 66syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐿[:]𝐾) = 1 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
6831, 32, 67orim12da 32477 1 (𝜑 → (𝑋𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  0cn0 12526  0*cxnn0 12599  cz 12613  ...cfz 13547  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  .gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  Fieldcfield 20730  SubDRingcsdrg 20787  algSccascl 21872  var1cv1 22177  Poly1cpl1 22178   fldGen cfldgen 33312  /FldExtcfldext 33689  [:]cextdg 33692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-irred 20359  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-field 20732  df-sdrg 20788  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lmim 21022  df-lmic 21023  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-lpidl 21332  df-lpir 21333  df-pid 21347  df-cnfld 21365  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803  df-lindf 21826  df-linds 21827  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-evls1 22319  df-evl1 22320  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-mon1 26170  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173  df-ig1p 26174  df-fldgen 33313  df-mxidl 33488  df-dim 33650  df-fldext 33693  df-extdg 33694  df-irng 33734  df-minply 33743
This theorem is referenced by:  constrelextdg2  33788
  Copyright terms: Public domain W3C validator