Theorem rtelextdg2 34126

Description: If an element 𝑋 is a solution of a quadratic equation, then it is either in the base field, or the degree of its field extension is exactly 2. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rtelextdg2.1	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
rtelextdg2.2	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
rtelextdg2.3	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
rtelextdg2.4	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
rtelextdg2.5	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐸)
rtelextdg2.6	⊢ · = (.r‘𝐸)
rtelextdg2.7	⊢ + = (+g‘𝐸)
rtelextdg2.8	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐸))
rtelextdg2.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
rtelextdg2.10	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
rtelextdg2.11	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
rtelextdg2.12	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐹)
rtelextdg2.13	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐹)
rtelextdg2.14	⊢ (𝜑 → ((2 ↑ 𝑋) + ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵)) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
rtelextdg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))

Proof of Theorem rtelextdg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rtelextdg2.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐸)
2		rtelextdg2.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
3	2	flddrngd 20852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
4		rtelextdg2.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
5	1	sdrgss 20907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ⊆ 𝑉)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝑉)
7		rtelextdg2.11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7	snssd 4751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
9	6, 8	unssd 4144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
10	1, 3, 9	fldgenssid 33643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
11		ssun2 4131	. . . . . 6 ⊢ {𝑋} ⊆ (𝐹 ∪ {𝑋})
12		snidg 4625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ {𝑋})
13	7, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑋})
14	11, 13	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 ∪ {𝑋}))
15	10, 14	sseldd 3937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
16	15	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝑋 ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
17		rtelextdg2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
18		rtelextdg2.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})))
19	1, 17, 18, 2, 4, 8	fldgenfldext 34067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿/FldExt𝐾)
20		extdg1id 34065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿/FldExt𝐾 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝐿 = 𝐾)
21	19, 20	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝐿 = 𝐾)
22	21	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → (Base‘𝐿) = (Base‘𝐾))
23	1, 3, 9	fldgenssv 33645	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) ⊆ 𝑉)
24	18, 1	ressbas2 17304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) ⊆ 𝑉 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝐿))
25	23, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝐿))
26	25	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝐿))
27	17, 1	ressbas2 17304	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐾))
28	6, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐾))
29	28	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝐹 = (Base‘𝐾))
30	22, 26, 29	3eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝑋})) = 𝐹)
31	16, 30	eleqtrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 1) → 𝑋 ∈ 𝐹)
32		simpr 489	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿[:]𝐾) = 2) → (𝐿[:]𝐾) = 2)
33		1zzd 12631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
34		2z 12632	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
36		extdgcl 34055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿/FldExt𝐾 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
37	19, 36	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
38		2nn0 12527	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
40		rtelextdg2.3	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
41		rtelextdg2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
42		rtelextdg2.6	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝐸)
43		rtelextdg2.7	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐸)
44		rtelextdg2.8	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐸))
45		rtelextdg2.12	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐹)
46		rtelextdg2.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐹)
47		rtelextdg2.14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 ↑ 𝑋) + ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵)) = 0 )
48		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (var1‘𝐾) = (var1‘𝐾)
49		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
50		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
51		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
52		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
53		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝐾))(+g‘𝑃)((((algSc‘𝑃)‘𝐴)(.r‘𝑃)(var1‘𝐾))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵))) = ((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝐾))(+g‘𝑃)((((algSc‘𝑃)‘𝐴)(.r‘𝑃)(var1‘𝐾))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵)))
54	17, 18, 40, 41, 1, 42, 43, 44, 2, 4, 7, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53	rtelextdg2lem 34125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ≤ 2)
55		xnn0lenn0nn0 13277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿[:]𝐾) ≤ 2) → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0)
56	37, 39, 54, 55	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℕ0)
57	56	nn0zd 12622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ ℤ)
58		extdggt0 34056	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿/FldExt𝐾 → 0 < (𝐿[:]𝐾))
59	19, 58	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐿[:]𝐾))
60		zgt0ge1 12656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿[:]𝐾) ∈ ℤ → (0 < (𝐿[:]𝐾) ↔ 1 ≤ (𝐿[:]𝐾)))
61	60	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿[:]𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿[:]𝐾)) → 1 ≤ (𝐿[:]𝐾))
62	57, 59, 61	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐿[:]𝐾))
63	33, 35, 57, 62, 54	elfzd 13549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ (1...2))
64		fz12pr 13616	. . . 4 ⊢ (1...2) = {1, 2}
65	63, 64	eleqtrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) ∈ {1, 2})
66		elpri 4612	. . 3 ⊢ ((𝐿[:]𝐾) ∈ {1, 2} → ((𝐿[:]𝐾) = 1 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
67	65, 66	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿[:]𝐾) = 1 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))
68	31, 32, 67	orim12da 979	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐹 ∨ (𝐿[:]𝐾) = 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11249   ≤ cle 11250  2c2 12301  ℕ₀cn0 12510  ℕ₀^*cxnn0 12583  ℤcz 12597  ...cfz 13541  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  ._gcmg 19139  mulGrpcmgp 20222  Fieldcfield 20839  SubDRingcsdrg 20900  algSccascl 22013  var₁cv1 22347  Poly₁cpl1 22348   fldGen cfldgen 33640  /_FldExtcfldext 34037  [:]cextdg 34039

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-reg 9552  ax-inf2 9608  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-r1 9734  df-rank 9735  df-scott 9856  df-dju 9894  df-card 9932  df-acn 9935  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-ico 13384  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ocomp 17337  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-mri 17646  df-acs 17647  df-proset 18356  df-drs 18357  df-poset 18375  df-ipo 18590  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-nsg 19196  df-eqg 19197  df-ghm 19290  df-gim 19335  df-cntz 19393  df-oppg 19422  df-lsm 19712  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-srg 20275  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-irred 20448  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-rhm 20561  df-nzr 20621  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-rlreg 20804  df-domn 20805  df-idom 20806  df-drng 20840  df-field 20841  df-sdrg 20901  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lmhm 21154  df-lmim 21155  df-lmic 21156  df-lbs 21207  df-lvec 21235  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-2idl 21400  df-lpidl 21501  df-lpir 21502  df-pid 21516  df-cnfld 21534  df-dsmm 21893  df-frlm 21908  df-uvc 21944  df-lindf 21967  df-linds 21968  df-assa 22014  df-asp 22015  df-ascl 22016  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-evls 22236  df-evl 22237  df-psr1 22351  df-vr1 22352  df-ply1 22353  df-coe1 22354  df-evls1 22486  df-evl1 22487  df-mdeg 26223  df-deg1 26224  df-mon1 26299  df-uc1p 26300  df-q1p 26301  df-r1p 26302  df-ig1p 26303  df-fldgen 33641  df-mxidl 33752  df-dim 33999  df-fldext 34040  df-extdg 34041  df-irng 34083  df-minply 34099

This theorem is used by:  constrelextdg2  34146