Theorem sumdchr 27156

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑥(𝐴) for fixed 𝐴 and all 𝑥 is 0 if 𝐴 = 1 and ϕ(𝑛) otherwise. Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sumdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
sumdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sumdchr.1	⊢ 1 = (1r‘𝑍)
sumdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
sumdchr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
sumdchr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumdchr	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem sumdchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdchr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		sumdchr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
3		sumdchr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		sumdchr.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑍)
5		sumdchr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
6		sumdchr.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		sumdchr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	sumdchr2 27154	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0))
9	1, 2	dchrhash 27155	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))
11	10	ifeq1d 4542	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
12	8, 11	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523  ‘cfv 6536  0cc0 11109  ℕcn 12213  ♯chash 14293  Σcsu 15636  ϕcphi 16704  Basecbs 17151  1_rcur 20084  ℤ/nℤczn 21385  DChrcdchr 27116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16706  df-pc 16777  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-qus 17462  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-nsg 19049  df-eqg 19050  df-ghm 19137  df-gim 19182  df-ga 19204  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-od 19446  df-gex 19447  df-pgp 19448  df-lsm 19554  df-pj1 19555  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-cyg 19796  df-dprd 19915  df-dpj 19916  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-lidl 21065  df-rsp 21066  df-2idl 21105  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-zring 21330  df-zrh 21386  df-zn 21389  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-0p 25550  df-limc 25746  df-dv 25747  df-ply 26073  df-idp 26074  df-coe 26075  df-dgr 26076  df-quot 26177  df-log 26441  df-cxp 26442  df-dchr 27117

This theorem is referenced by:  sum2dchr  27158