Theorem sumdchr 27606

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑥(𝐴) for fixed 𝐴 and all 𝑥 is 0 if 𝐴 = 1 and ϕ(𝑛) otherwise. Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sumdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
sumdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sumdchr.1	⊢ 1 = (1r‘𝑍)
sumdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
sumdchr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
sumdchr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumdchr	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem sumdchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdchr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		sumdchr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
3		sumdchr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		sumdchr.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑍)
5		sumdchr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
6		sumdchr.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		sumdchr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	sumdchr2 27604	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0))
9	1, 2	dchrhash 27605	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))
11	10	ifeq1d 4501	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
12	8, 11	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  ‘cfv 6541  0cc0 11205  ℕcn 12340  ♯chash 14479  Σcsu 15860  ϕcphi 16948  Basecbs 17394  1_rcur 20414  ℤ/nℤczn 21815  DChrcdchr 27566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284  ax-mulf 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-rpss 7741  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8722  df-ec 8724  df-qs 8728  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-dju 9987  df-card 10025  df-acn 10028  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-word 14664  df-concat 14721  df-s1 14748  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243  df-pi 16245  df-dvds 16430  df-gcd 16672  df-prm 16854  df-phi 16950  df-pc 17022  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-qus 17688  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-mhm 18985  df-submnd 18986  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-mulg 19285  df-subg 19340  df-nsg 19341  df-eqg 19342  df-ghm 19435  df-gim 19480  df-ga 19511  df-cntz 19538  df-oppg 19567  df-od 19749  df-gex 19750  df-pgp 19751  df-lsm 19857  df-pj1 19858  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-cyg 20099  df-dprd 20218  df-dpj 20219  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-cring 20469  df-oppr 20574  df-dvdsr 20594  df-unit 20595  df-invr 20625  df-rhm 20709  df-subrng 20805  df-subrg 20829  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254  df-sra 21455  df-rgmod 21456  df-lidl 21493  df-rsp 21494  df-2idl 21550  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-zring 21760  df-zrh 21816  df-zn 21819  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-haus 23640  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-0p 25998  df-limc 26193  df-dv 26194  df-ply 26513  df-idp 26514  df-coe 26515  df-dgr 26516  df-quot 26619  df-log 26891  df-cxp 26892  df-dchr 27567

This theorem is used by:  sum2dchr  27608