Theorem sumdchr 27243

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑥(𝐴) for fixed 𝐴 and all 𝑥 is 0 if 𝐴 = 1 and ϕ(𝑛) otherwise. Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sumdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
sumdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sumdchr.1	⊢ 1 = (1r‘𝑍)
sumdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
sumdchr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
sumdchr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumdchr	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem sumdchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdchr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		sumdchr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
3		sumdchr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		sumdchr.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑍)
5		sumdchr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
6		sumdchr.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		sumdchr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	sumdchr2 27241	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0))
9	1, 2	dchrhash 27242	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))
11	10	ifeq1d 4500	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
12	8, 11	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4480  ‘cfv 6493  0cc0 11030  ℕcn 12149  ♯chash 14257  Σcsu 15613  ϕcphi 16695  Basecbs 17140  1_rcur 20120  ℤ/nℤczn 21461  DChrcdchr 27203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-rpss 7670  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498  df-s1 14524  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-ef 15994  df-sin 15996  df-cos 15997  df-pi 15999  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-prm 16603  df-phi 16697  df-pc 16769  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-qus 17434  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-ga 19223  df-cntz 19250  df-oppg 19279  df-od 19461  df-gex 19462  df-pgp 19463  df-lsm 19569  df-pj1 19570  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-cyg 19811  df-dprd 19930  df-dpj 19931  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-rsp 21168  df-2idl 21209  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-zn 21465  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-0p 25631  df-limc 25827  df-dv 25828  df-ply 26153  df-idp 26154  df-coe 26155  df-dgr 26156  df-quot 26259  df-log 26525  df-cxp 26526  df-dchr 27204

This theorem is referenced by:  sum2dchr  27245