Theorem sumdchr 27203

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑥(𝐴) for fixed 𝐴 and all 𝑥 is 0 if 𝐴 = 1 and ϕ(𝑛) otherwise. Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sumdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
sumdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sumdchr.1	⊢ 1 = (1r‘𝑍)
sumdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
sumdchr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
sumdchr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumdchr	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem sumdchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdchr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		sumdchr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
3		sumdchr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		sumdchr.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑍)
5		sumdchr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
6		sumdchr.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		sumdchr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	sumdchr2 27201	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0))
9	1, 2	dchrhash 27202	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))
11	10	ifeq1d 4493	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 = 1 , (♯‘𝐷), 0) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
12	8, 11	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝐴) = if(𝐴 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ifcif 4473  ‘cfv 6477  0cc0 10998  ℕcn 12117  ♯chash 14229  Σcsu 15585  ϕcphi 16667  Basecbs 17112  1_rcur 20092  ℤ/nℤczn 21432  DChrcdchr 27163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077  ax-mulf 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-rpss 7651  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9786  df-card 9824  df-acn 9827  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ioo 13241  df-ioc 13242  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-exp 13961  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-word 14413  df-concat 14470  df-s1 14496  df-shft 14966  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-limsup 15370  df-clim 15387  df-rlim 15388  df-sum 15586  df-ef 15966  df-sin 15968  df-cos 15969  df-pi 15971  df-dvds 16156  df-gcd 16398  df-prm 16575  df-phi 16669  df-pc 16741  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-hom 17177  df-cco 17178  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-qus 17405  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-nsg 19029  df-eqg 19030  df-ghm 19118  df-gim 19164  df-ga 19195  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-od 19433  df-gex 19434  df-pgp 19435  df-lsm 19541  df-pj1 19542  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-cyg 19783  df-dprd 19902  df-dpj 19903  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-rhm 20383  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138  df-rsp 21139  df-2idl 21180  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-cld 22927  df-ntr 22928  df-cls 22929  df-nei 23006  df-lp 23044  df-perf 23045  df-cn 23135  df-cnp 23136  df-haus 23223  df-tx 23470  df-hmeo 23663  df-fil 23754  df-fm 23846  df-flim 23847  df-flf 23848  df-xms 24228  df-ms 24229  df-tms 24230  df-cncf 24791  df-0p 25591  df-limc 25787  df-dv 25788  df-ply 26113  df-idp 26114  df-coe 26115  df-dgr 26116  df-quot 26219  df-log 26485  df-cxp 26486  df-dchr 27164

This theorem is referenced by:  sum2dchr  27205