Theorem aks6d1c7lem4 43370

Description: In the AKS algorithm there exists a unique prime number 𝑝 that divides 𝑁. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7lem4	⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐾   𝑀,𝑎   𝑀,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑁,𝑎,𝑝   𝑁,𝑏,𝑝   𝑒,𝑁,𝑓,𝑦   𝑥,𝑁,𝑝,𝑦   𝑃,𝑎,𝑝   𝑃,𝑏   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑃   𝑅,𝑎   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝜑,𝑎,𝑝   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒, 𝑓)   𝐴(𝑝)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑒, 𝑓, 𝑝, 𝑏)   𝑅(𝑝, 𝑏)   𝐾(𝑝)   𝑀(𝑒, 𝑓, 𝑝)

Proof of Theorem aks6d1c7lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c7.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		aks6d1c7.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
3		aks6d1c7.1	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
4		aks6d1c7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
5		aks6d1c7.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ Field)
7	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℙ)
8		aks6d1c7.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
10		aks6d1c7.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
12	2	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ 𝑁)
13		aks6d1c7.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
14	13	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
15		aks6d1c7.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
16		aks6d1c7.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
18		aks6d1c7.11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
20		aks6d1c7.12	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
22		aks6d1c7.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
24		aks6d1c7.14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
26		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℙ)
27		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑝 ∥ 𝑁)
28	26, 27	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑁))
29	3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 28	aks6d1c7lem3 43369	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑃 = 𝑝)
30	29	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑝 = 𝑃)
31	30	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑁 → 𝑝 = 𝑃))
32	31	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 → 𝑝 = 𝑃))
33	1, 2, 32	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 → 𝑝 = 𝑃)))
34		breq1 5105	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
35	34	eqreu 3686	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 → 𝑝 = 𝑃)) → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)
36	33, 35	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃!wreu 3363   class class class wbr 5102  {copab 5166   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1c1 11208   · cmul 11212   < clt 11350  ℕcn 12342  2c2 12404  3c3 12405  ℤ_≥cuz 12972  ...cfz 13646  ⌊cfl 13937  ↑cexp 14211  √csqrt 15409   ∥ cdvds 16431   gcd cgcd 16673  ℙcprime 16855  od_ℤcodz 16949  ϕcphi 16950  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  ._gcmg 19286  mulGrpcmgp 20369   RingIso crs 20709  Fieldcfield 20990  ℤRHomczrh 21814  chrcchr 21816  algSccascl 22169  var₁cv1 22503  Poly₁cpl1 22504  eval₁ce1 22641   log_b clogb 27101   PrimRoots cprimroots 43278

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-tpos 8251  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-oadd 8488  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-prod 16082  df-fallfac 16183  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-dvds 16432  df-gcd 16674  df-prm 16856  df-odz 16951  df-phi 16952  df-pc 17024  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-pws 17629  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-qus 17690  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-nsg 19343  df-eqg 19344  df-ghm 19437  df-gim 19482  df-cntz 19540  df-od 19751  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-srg 20422  df-ring 20470  df-cring 20471  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-rhm 20711  df-rim 20712  df-nzr 20772  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-rlreg 20955  df-domn 20956  df-idom 20957  df-drng 20991  df-field 20992  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-lidl 21495  df-rsp 21496  df-2idl 21552  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-zring 21762  df-zrh 21818  df-chr 21820  df-zn 21821  df-assa 22170  df-asp 22171  df-ascl 22172  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-evls 22392  df-evl 22393  df-psr1 22507  df-vr1 22508  df-ply1 22509  df-coe1 22510  df-evl1 22643  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-mdeg 26382  df-deg1 26383  df-mon1 26458  df-uc1p 26459  df-q1p 26460  df-r1p 26461  df-log 26893  df-cxp 26894  df-logb 27102  df-primroots 43279

This theorem is used by:  aks6d1c7  43371