Theorem aks6d1c7lem4 42840

Description: In the AKS algorithm there exists a unique prime number 𝑝 that divides 𝑁. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7lem4	⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐾   𝑀,𝑎   𝑀,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑁,𝑎,𝑝   𝑁,𝑏,𝑝   𝑒,𝑁,𝑓,𝑦   𝑥,𝑁,𝑝,𝑦   𝑃,𝑎,𝑝   𝑃,𝑏   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑃   𝑅,𝑎   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝜑,𝑎,𝑝   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   𝐴(𝑝)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑝,𝑏)   𝑅(𝑝,𝑏)   𝐾(𝑝)   𝑀(𝑒,𝑓,𝑝)

Proof of Theorem aks6d1c7lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c7.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		aks6d1c7.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
3		aks6d1c7.1	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
4		aks6d1c7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
5		aks6d1c7.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
6	5	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ Field)
7	1	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℙ)
8		aks6d1c7.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
9	8	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
10		aks6d1c7.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
11	10	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
12	2	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ 𝑁)
13		aks6d1c7.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
14	13	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
15		aks6d1c7.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
16		aks6d1c7.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
17	16	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
18		aks6d1c7.11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
19	18	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
20		aks6d1c7.12	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
21	20	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
22		aks6d1c7.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
23	22	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
24		aks6d1c7.14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
25	24	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
26		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℙ)
27		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑝 ∥ 𝑁)
28	26, 27	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ 𝑁))
29	3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 28	aks6d1c7lem3 42839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑃 = 𝑝)
30	29	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → 𝑝 = 𝑃)
31	30	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑁 → 𝑝 = 𝑃))
32	31	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 → 𝑝 = 𝑃))
33	1, 2, 32	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 → 𝑝 = 𝑃)))
34		breq1 5116	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
35	34	eqreu 3701	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑁 → 𝑝 = 𝑃)) → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)
36	33, 35	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃!wreu 3374   class class class wbr 5113  {copab 5177   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101   · cmul 11105   < clt 11243  ℕcn 12233  2c2 12295  3c3 12296  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535  ⌊cfl 13823  ↑cexp 14097  √csqrt 15284   ∥ cdvds 16310   gcd cgcd 16552  ℙcprime 16729  od_ℤcodz 16822  ϕcphi 16823  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._gcmg 19133  mulGrpcmgp 20216   RingIso crs 20552  Fieldcfield 20814  ℤRHomczrh 21618  chrcchr 21620  algSccascl 21971  var₁cv1 22305  Poly₁cpl1 22306  eval₁ce1 22443   log_b clogb 26895   PrimRoots cprimroots 42748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-prod 15958  df-fallfac 16061  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-prm 16730  df-odz 16824  df-phi 16825  df-pc 16897  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-pws 17502  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-qus 17563  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-nsg 19190  df-eqg 19191  df-ghm 19284  df-gim 19329  df-cntz 19387  df-od 19598  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-srg 20269  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-rhm 20554  df-rim 20555  df-nzr 20596  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-rlreg 20779  df-domn 20780  df-idom 20781  df-drng 20815  df-field 20816  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-rsp 21311  df-2idl 21360  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-zrh 21622  df-chr 21624  df-zn 21625  df-assa 21972  df-asp 21973  df-ascl 21974  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-evls 22194  df-evl 22195  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312  df-evl1 22445  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-mdeg 26181  df-deg1 26182  df-mon1 26257  df-uc1p 26258  df-q1p 26259  df-r1p 26260  df-log 26687  df-cxp 26688  df-logb 26896  df-primroots 42749

This theorem is referenced by:  aks6d1c7  42841