Theorem aks6d1c7lem3 43233

Description: Remove lots of hypotheses now that we have the AKS contradiction. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c7lem3.1	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7lem3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = 𝑄)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑃,𝑒,𝑓   𝐴,𝑎   𝜑,𝑎   𝑒,𝑁,𝑓   𝑅,𝑒,𝑓   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑀,𝑎   𝐾,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑃,𝑏   𝑀,𝑏   𝑥,𝑄,𝑦   𝜑,𝑏   𝑥,𝑅,𝑦   𝑄,𝑏   𝑥,𝐾   𝑃,𝑎   𝑥,𝑁,𝑦   𝑅,𝑎   𝐴,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴   𝑁,𝑎   𝐾,𝑎   𝑁,𝑏   𝑄,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒, 𝑓)   𝑄(𝑒, 𝑓)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑒, 𝑓, 𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7lem3

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑙 𝑖 𝑗 𝑣 𝑢 𝑞 𝑜 𝑝 𝑚 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c7.1	. 2 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2		aks6d1c7.2	. 2 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
3		aks6d1c7.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
4		aks6d1c7.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		aks6d1c7.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
6		aks6d1c7.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
7		aks6d1c7.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
8		aks6d1c7.8	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
9		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))
10		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))
11		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
12		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
13		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝑖 = 𝑘)
14	13	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑃↑𝑖) = (𝑃↑𝑘))
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝑗 = 𝑙)
16	15	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
17	14, 16	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗)) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
18	9, 10, 11, 12, 17	cbvmpo 7514	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
19		eqid 2760	. 2 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
20		eqid 2760	. 2 ⊢ (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) = (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))
21		aks6d1c7.9	. 2 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
22		aks6d1c7.10	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
23		aks6d1c7.11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
24		aks6d1c7.12	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
25		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑣(((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀)
26		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤(((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀)
27		2fveq3 6890	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤)) = ((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣)))
28	27	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀) = (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀))
29	25, 26, 28	cbvmpt 5206	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀)) = (𝑣 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀))
30		eqid 2760	. 2 ⊢ (⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = (⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))
31		eqid 2760	. 2 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ ((0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))) × (0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))))) = ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ ((0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))) × (0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
32		aks6d1c7lem3.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∥ 𝑁))
33		aks6d1c7.13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
34		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))))
35		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
36		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))
37		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))
38		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ℎ → (𝑚‘𝑛) = (𝑚‘ℎ))
39		2fveq3 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)) = ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))
40	39	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))) = ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))
41	38, 40	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))) = ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
42	36, 37, 41	cbvmpt 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
44		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → 𝑚 = 𝑔)
45	44	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → (𝑚‘ℎ) = (𝑔‘ℎ))
46	45	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))) = ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
47	46	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
48	43, 47	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
49	48	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))) = ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))))
50	34, 35, 49	cbvmpt 5206	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))))) = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))))
51		aks6d1c7.14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
52		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢(ℕ0 ↑m (0...𝐴))
53		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑜(ℕ0 ↑m (0...𝐴))
54		nfv 1946	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑜Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)
55		nfv 1946	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)
56		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 = 𝑜 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐴)) → 𝑢 = 𝑜)
57	56	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 = 𝑜 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐴)) → (𝑢‘𝑞) = (𝑜‘𝑞))
58	57	sumeq2dv 15869	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) = Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞))
59		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑜‘𝑞) = (𝑜‘𝑝))
60		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑜‘𝑞)
61		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞(𝑜‘𝑝)
62	59, 60, 61	cbvsum 15862	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝)
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝))
64	58, 63	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝))
65	18	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗)))
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))))
67	66	imaeq1d 6050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)) = ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))
68	67	imaeq2d 6051	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0))) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))
69	68	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) = (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))
70	69	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) = ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1))
71	64, 70	breq12d 5115	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) ↔ Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)))
72	52, 53, 54, 55, 71	cbvrabw 3446	. 2 ⊢ {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)} = {𝑜 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)}
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 30, 31, 32, 33, 50, 51, 72	aks6d1c7lem2 43232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = 𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   class class class wbr 5102  {copab 5166   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ↑_m cmap 8847  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  ℕ₀cn0 12606  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ⌊cfl 13930  ↑cexp 14204  ♯chash 14474  √csqrt 15400  Σcsu 15853   ∥ cdvds 16422   gcd cgcd 16664  ℙcprime 16846  od_ℤcodz 16940  ϕcphi 16941  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428   Σ_g cgsu 17611  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360   RingIso crs 20700  Fieldcfield 20981  ℤRHomczrh 21805  chrcchr 21807  ℤ/nℤczn 21808  algSccascl 22160  var₁cv1 22494  Poly₁cpl1 22495  eval₁ce1 22632   log_b clogb 27092   PrimRoots cprimroots 43142

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-prod 16073  df-fallfac 16174  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-odz 16942  df-phi 16943  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-pws 17620  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-qus 17681  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-cntz 19531  df-od 19742  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-rim 20703  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-idom 20948  df-drng 20982  df-field 20983  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487  df-2idl 21543  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-chr 21811  df-zn 21812  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-evls 22383  df-evl 22384  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-evl1 22634  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-mdeg 26373  df-deg1 26374  df-mon1 26449  df-uc1p 26450  df-q1p 26451  df-r1p 26452  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093  df-primroots 43143

This theorem is used by:  aks6d1c7lem4  43234