Theorem aks6d1c7lem3 43048

Description: Remove lots of hypotheses now that we have the AKS contradiction. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c7lem3.1	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7lem3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = 𝑄)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑃,𝑒,𝑓   𝐴,𝑎   𝜑,𝑎   𝑒,𝑁,𝑓   𝑅,𝑒,𝑓   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑀,𝑎   𝐾,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑃,𝑏   𝑀,𝑏   𝑥,𝑄,𝑦   𝜑,𝑏   𝑥,𝑅,𝑦   𝑄,𝑏   𝑥,𝐾   𝑃,𝑎   𝑥,𝑁,𝑦   𝑅,𝑎   𝐴,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴   𝑁,𝑎   𝐾,𝑎   𝑁,𝑏   𝑄,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒, 𝑓)   𝑄(𝑒, 𝑓)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑒, 𝑓, 𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7lem3

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑙 𝑖 𝑗 𝑣 𝑢 𝑞 𝑜 𝑝 𝑚 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c7.1	. 2 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2		aks6d1c7.2	. 2 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
3		aks6d1c7.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
4		aks6d1c7.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		aks6d1c7.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
6		aks6d1c7.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
7		aks6d1c7.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
8		aks6d1c7.8	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
9		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))
10		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))
11		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
12		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
13		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝑖 = 𝑘)
14	13	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑃↑𝑖) = (𝑃↑𝑘))
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝑗 = 𝑙)
16	15	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
17	14, 16	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗)) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
18	9, 10, 11, 12, 17	cbvmpo 7507	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
19		eqid 2760	. 2 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
20		eqid 2760	. 2 ⊢ (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) = (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))
21		aks6d1c7.9	. 2 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
22		aks6d1c7.10	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
23		aks6d1c7.11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
24		aks6d1c7.12	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
25		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑣(((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀)
26		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤(((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀)
27		2fveq3 6883	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤)) = ((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣)))
28	27	fveq1d 6880	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀) = (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀))
29	25, 26, 28	cbvmpt 5207	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀)) = (𝑣 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀))
30		eqid 2760	. 2 ⊢ (⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = (⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))
31		eqid 2760	. 2 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ ((0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))) × (0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))))) = ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ ((0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))) × (0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
32		aks6d1c7lem3.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∥ 𝑁))
33		aks6d1c7.13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
34		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))))
35		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
36		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))
37		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))
38		fveq2 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ℎ → (𝑚‘𝑛) = (𝑚‘ℎ))
39		2fveq3 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)) = ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))
40	39	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))) = ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))
41	38, 40	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))) = ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
42	36, 37, 41	cbvmpt 5207	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
44		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → 𝑚 = 𝑔)
45	44	fveq1d 6880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → (𝑚‘ℎ) = (𝑔‘ℎ))
46	45	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))) = ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
47	46	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
48	43, 47	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
49	48	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))) = ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))))
50	34, 35, 49	cbvmpt 5207	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))))) = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))))
51		aks6d1c7.14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
52		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢(ℕ0 ↑m (0...𝐴))
53		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑜(ℕ0 ↑m (0...𝐴))
54		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑜Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)
55		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)
56		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 = 𝑜 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐴)) → 𝑢 = 𝑜)
57	56	fveq1d 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 = 𝑜 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐴)) → (𝑢‘𝑞) = (𝑜‘𝑞))
58	57	sumeq2dv 15789	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) = Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞))
59		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑜‘𝑞) = (𝑜‘𝑝))
60		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑜‘𝑞)
61		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞(𝑜‘𝑝)
62	59, 60, 61	cbvsum 15782	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝)
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝))
64	58, 63	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝))
65	18	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗)))
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))))
67	66	imaeq1d 6055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)) = ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))
68	67	imaeq2d 6056	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0))) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))
69	68	fveq2d 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) = (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))
70	69	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) = ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1))
71	64, 70	breq12d 5116	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) ↔ Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)))
72	52, 53, 54, 55, 71	cbvrabw 3446	. 2 ⊢ {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)} = {𝑜 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)}
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 30, 31, 32, 33, 50, 51, 72	aks6d1c7lem2 43047	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = 𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   class class class wbr 5103  {copab 5167   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653   “ cima 5658  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415   ↑_m cmap 8826  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  3c3 12320  ℕ₀cn0 12528  ℤ_≥cuz 12887  ...cfz 13561  ⌊cfl 13851  ↑cexp 14125  ♯chash 14394  √csqrt 15320  Σcsu 15773   ∥ cdvds 16342   gcd cgcd 16584  ℙcprime 16761  od_ℤcodz 16854  ϕcphi 16855  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342   Σ_g cgsu 17525  ._gcmg 19190  mulGrpcmgp 20273   RingIso crs 20611  Fieldcfield 20891  ℤRHomczrh 21712  chrcchr 21714  ℤ/nℤczn 21715  algSccascl 22067  var₁cv1 22401  Poly₁cpl1 22402  eval₁ce1 22539   log_b clogb 27001   PrimRoots cprimroots 42957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-prod 15993  df-fallfac 16094  df-ef 16153  df-sin 16155  df-cos 16156  df-pi 16158  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-prm 16762  df-odz 16856  df-phi 16857  df-pc 16929  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-pws 17534  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-qus 17595  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-nsg 19247  df-eqg 19248  df-ghm 19341  df-gim 19386  df-cntz 19444  df-od 19655  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-srg 20326  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-rhm 20613  df-rim 20614  df-nzr 20673  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-rlreg 20856  df-domn 20857  df-idom 20858  df-drng 20892  df-field 20893  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-lidl 21395  df-rsp 21396  df-2idl 21452  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-zring 21660  df-zrh 21716  df-chr 21718  df-zn 21719  df-assa 22068  df-asp 22069  df-ascl 22070  df-psr 22124  df-mvr 22125  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-evls 22290  df-evl 22291  df-psr1 22405  df-vr1 22406  df-ply1 22407  df-coe1 22408  df-evl1 22541  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094  df-mdeg 26280  df-deg1 26281  df-mon1 26356  df-uc1p 26357  df-q1p 26358  df-r1p 26359  df-log 26793  df-cxp 26794  df-logb 27002  df-primroots 42958

This theorem is used by:  aks6d1c7lem4  43049