Theorem aks6d1c7lem3 42760

Description: Remove lots of hypotheses now that we have the AKS contradiction. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c7lem3.1	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7lem3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = 𝑄)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑃,𝑒,𝑓   𝐴,𝑎   𝜑,𝑎   𝑒,𝑁,𝑓   𝑅,𝑒,𝑓   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑀,𝑎   𝐾,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑃,𝑏   𝑀,𝑏   𝑥,𝑄,𝑦   𝜑,𝑏   𝑥,𝑅,𝑦   𝑄,𝑏   𝑥,𝐾   𝑃,𝑎   𝑥,𝑁,𝑦   𝑅,𝑎   𝐴,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴   𝑁,𝑎   𝐾,𝑎   𝑁,𝑏   𝑄,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   𝑄(𝑒,𝑓)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7lem3

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑙 𝑖 𝑗 𝑣 𝑢 𝑞 𝑜 𝑝 𝑚 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c7.1	. 2 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2		aks6d1c7.2	. 2 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
3		aks6d1c7.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
4		aks6d1c7.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		aks6d1c7.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
6		aks6d1c7.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
7		aks6d1c7.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
8		aks6d1c7.8	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
9		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))
10		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))
11		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
12		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
13		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝑖 = 𝑘)
14	13	oveq2d 7407	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑃↑𝑖) = (𝑃↑𝑘))
15		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝑗 = 𝑙)
16	15	oveq2d 7407	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
17	14, 16	oveq12d 7409	. . 3 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗)) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
18	9, 10, 11, 12, 17	cbvmpo 7485	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
19		eqid 2761	. 2 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
20		eqid 2761	. 2 ⊢ (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) = (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))
21		aks6d1c7.9	. 2 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
22		aks6d1c7.10	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
23		aks6d1c7.11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
24		aks6d1c7.12	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
25		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑣(((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀)
26		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤(((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀)
27		2fveq3 6867	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤)) = ((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣)))
28	27	fveq1d 6864	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀) = (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀))
29	25, 26, 28	cbvmpt 5199	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀)) = (𝑣 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀))
30		eqid 2761	. 2 ⊢ (⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = (⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))
31		eqid 2761	. 2 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ ((0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))) × (0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))))) = ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ ((0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))) × (0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
32		aks6d1c7lem3.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∥ 𝑁))
33		aks6d1c7.13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
34		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))))
35		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
36		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))
37		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))
38		fveq2 6862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ℎ → (𝑚‘𝑛) = (𝑚‘ℎ))
39		2fveq3 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)) = ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))
40	39	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))) = ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))
41	38, 40	oveq12d 7409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))) = ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
42	36, 37, 41	cbvmpt 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
44		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → 𝑚 = 𝑔)
45	44	fveq1d 6864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → (𝑚‘ℎ) = (𝑔‘ℎ))
46	45	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))) = ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
47	46	mpteq2dva 5190	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
48	43, 47	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
49	48	oveq2d 7407	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))) = ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))))
50	34, 35, 49	cbvmpt 5199	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))))) = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))))
51		aks6d1c7.14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
52		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢(ℕ0 ↑m (0...𝐴))
53		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑜(ℕ0 ↑m (0...𝐴))
54		nfv 1933	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑜Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)
55		nfv 1933	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)
56		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 = 𝑜 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐴)) → 𝑢 = 𝑜)
57	56	fveq1d 6864	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 = 𝑜 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐴)) → (𝑢‘𝑞) = (𝑜‘𝑞))
58	57	sumeq2dv 15720	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) = Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞))
59		fveq2 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑜‘𝑞) = (𝑜‘𝑝))
60		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑜‘𝑞)
61		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞(𝑜‘𝑝)
62	59, 60, 61	cbvsum 15713	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝)
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝))
64	58, 63	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝))
65	18	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗)))
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))))
67	66	imaeq1d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)) = ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))
68	67	imaeq2d 6045	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0))) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))
69	68	fveq2d 6866	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) = (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))
70	69	oveq1d 7406	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) = ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1))
71	64, 70	breq12d 5110	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) ↔ Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)))
72	52, 53, 54, 55, 71	cbvrabw 3448	. 2 ⊢ {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)} = {𝑜 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)}
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 30, 31, 32, 33, 50, 51, 72	aks6d1c7lem2 42759	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413   class class class wbr 5097  {copab 5159   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641   “ cima 5646  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∈ cmpo 7393   ↑_m cmap 8802  0cc0 11067  1c1 11068   · cmul 11072   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408   / cdiv 11838  ℕcn 12204  2c2 12266  3c3 12267  ℕ₀cn0 12475  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506  ⌊cfl 13794  ↑cexp 14068  ♯chash 14337  √csqrt 15251  Σcsu 15704   ∥ cdvds 16277   gcd cgcd 16519  ℙcprime 16696  od_ℤcodz 16789  ϕcphi 16790  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277   Σ_g cgsu 17460  ._gcmg 19100  mulGrpcmgp 20177   RingIso crs 20506  Fieldcfield 20767  ℤRHomczrh 21539  chrcchr 21541  ℤ/nℤczn 21542  algSccascl 21892  var₁cv1 22226  Poly₁cpl1 22227  eval₁ce1 22365   log_b clogb 26817   PrimRoots cprimroots 42669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146  ax-mulf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-er 8672  df-ec 8674  df-qs 8678  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-prod 15925  df-fallfac 16028  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-prm 16697  df-odz 16791  df-phi 16792  df-pc 16864  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-pws 17469  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-qus 17530  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-nsg 19157  df-eqg 19158  df-ghm 19245  df-gim 19290  df-cntz 19348  df-od 19559  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-srg 20224  df-ring 20272  df-cring 20273  df-oppr 20373  df-dvdsr 20393  df-unit 20394  df-invr 20424  df-dvr 20437  df-rhm 20508  df-rim 20509  df-nzr 20550  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-rlreg 20731  df-domn 20732  df-idom 20733  df-drng 20768  df-field 20769  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-lidl 21266  df-rsp 21267  df-2idl 21308  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-zring 21487  df-zrh 21543  df-chr 21545  df-zn 21546  df-assa 21893  df-asp 21894  df-ascl 21895  df-psr 21949  df-mvr 21950  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22230  df-vr1 22231  df-ply1 22232  df-coe1 22233  df-evl1 22367  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917  df-mdeg 26103  df-deg1 26104  df-mon1 26179  df-uc1p 26180  df-q1p 26181  df-r1p 26182  df-log 26609  df-cxp 26610  df-logb 26818  df-primroots 42670

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem4  42761