Theorem aks6d1c7lem3 42170

Description: Remove lots of hypotheses now that we have the AKS contradiction. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c7lem3.1	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7lem3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = 𝑄)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑃,𝑒,𝑓   𝐴,𝑎   𝜑,𝑎   𝑒,𝑁,𝑓   𝑅,𝑒,𝑓   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑀,𝑎   𝐾,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑃,𝑏   𝑀,𝑏   𝑥,𝑄,𝑦   𝜑,𝑏   𝑥,𝑅,𝑦   𝑄,𝑏   𝑥,𝐾   𝑃,𝑎   𝑥,𝑁,𝑦   𝑅,𝑎   𝐴,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴   𝑁,𝑎   𝐾,𝑎   𝑁,𝑏   𝑄,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   𝑄(𝑒,𝑓)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7lem3

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑙 𝑖 𝑗 𝑣 𝑢 𝑞 𝑜 𝑝 𝑚 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c7.1	. 2 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2		aks6d1c7.2	. 2 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
3		aks6d1c7.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
4		aks6d1c7.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		aks6d1c7.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
6		aks6d1c7.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
7		aks6d1c7.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
8		aks6d1c7.8	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
9		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))
10		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))
11		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
12		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
13		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝑖 = 𝑘)
14	13	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑃↑𝑖) = (𝑃↑𝑘))
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝑗 = 𝑙)
16	15	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
17	14, 16	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗)) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
18	9, 10, 11, 12, 17	cbvmpo 7483	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
19		eqid 2729	. 2 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
20		eqid 2729	. 2 ⊢ (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) = (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))
21		aks6d1c7.9	. 2 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
22		aks6d1c7.10	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
23		aks6d1c7.11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
24		aks6d1c7.12	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
25		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑣(((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀)
26		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤(((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀)
27		2fveq3 6863	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤)) = ((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣)))
28	27	fveq1d 6860	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀) = (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀))
29	25, 26, 28	cbvmpt 5209	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀)) = (𝑣 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀))
30		eqid 2729	. 2 ⊢ (⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = (⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))
31		eqid 2729	. 2 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ ((0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))) × (0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))))) = ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ ((0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))) × (0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
32		aks6d1c7lem3.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∥ 𝑁))
33		aks6d1c7.13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
34		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))))
35		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
36		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))
37		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))
38		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ℎ → (𝑚‘𝑛) = (𝑚‘ℎ))
39		2fveq3 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)) = ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))
40	39	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))) = ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))
41	38, 40	oveq12d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))) = ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
42	36, 37, 41	cbvmpt 5209	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
44		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → 𝑚 = 𝑔)
45	44	fveq1d 6860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → (𝑚‘ℎ) = (𝑔‘ℎ))
46	45	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))) = ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
47	46	mpteq2dva 5200	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
48	43, 47	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
49	48	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))) = ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))))
50	34, 35, 49	cbvmpt 5209	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))))) = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))))
51		aks6d1c7.14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
52		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢(ℕ0 ↑m (0...𝐴))
53		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑜(ℕ0 ↑m (0...𝐴))
54		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑜Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)
55		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)
56		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 = 𝑜 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐴)) → 𝑢 = 𝑜)
57	56	fveq1d 6860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 = 𝑜 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐴)) → (𝑢‘𝑞) = (𝑜‘𝑞))
58	57	sumeq2dv 15668	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) = Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞))
59		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑜‘𝑞) = (𝑜‘𝑝))
60		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑜‘𝑞)
61		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞(𝑜‘𝑝)
62	59, 60, 61	cbvsum 15661	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝)
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝))
64	58, 63	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝))
65	18	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗)))
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))))
67	66	imaeq1d 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)) = ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))
68	67	imaeq2d 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0))) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))
69	68	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) = (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))
70	69	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) = ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1))
71	64, 70	breq12d 5120	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) ↔ Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)))
72	52, 53, 54, 55, 71	cbvrabw 3441	. 2 ⊢ {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)} = {𝑜 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)}
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 30, 31, 32, 33, 50, 51, 72	aks6d1c7lem2 42169	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405   class class class wbr 5107  {copab 5169   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636   “ cima 5641  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389   ↑_m cmap 8799  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  ℕ₀cn0 12442  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ⌊cfl 13752  ↑cexp 14026  ♯chash 14295  √csqrt 15199  Σcsu 15652   ∥ cdvds 16222   gcd cgcd 16464  ℙcprime 16641  od_ℤcodz 16733  ϕcphi 16734  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220   Σ_g cgsu 17403  ._gcmg 18999  mulGrpcmgp 20049   RingIso crs 20379  Fieldcfield 20639  ℤRHomczrh 21409  chrcchr 21411  ℤ/nℤczn 21412  algSccascl 21761  var₁cv1 22060  Poly₁cpl1 22061  eval₁ce1 22201   log_b clogb 26674   PrimRoots cprimroots 42079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-prod 15870  df-fallfac 15973  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-odz 16735  df-phi 16736  df-pc 16808  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-pws 17412  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-qus 17472  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-ghm 19145  df-gim 19191  df-cntz 19249  df-od 19458  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-rhm 20381  df-rim 20382  df-nzr 20422  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-domn 20604  df-idom 20605  df-drng 20640  df-field 20641  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21160  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-zrh 21413  df-chr 21415  df-zn 21416  df-assa 21762  df-asp 21763  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-evls 21981  df-evl 21982  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-evl1 22203  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-mon1 26036  df-uc1p 26037  df-q1p 26038  df-r1p 26039  df-log 26465  df-cxp 26466  df-logb 26675  df-primroots 42080

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem4  42171