Theorem aks6d1c7lem3 42834

Description: Remove lots of hypotheses now that we have the AKS contradiction. (Contributed by metakunt, 16-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c7.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks6d1c7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks6d1c7.11	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c7.12	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks6d1c7.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c7lem3.1	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c7lem3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = 𝑄)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑎   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑃,𝑒,𝑓   𝐴,𝑎   𝜑,𝑎   𝑒,𝑁,𝑓   𝑅,𝑒,𝑓   𝐴,𝑒,𝑓,𝑦   𝑀,𝑎   𝐾,𝑏   𝑥,𝑀,𝑦   𝑃,𝑏   𝑀,𝑏   𝑥,𝑄,𝑦   𝜑,𝑏   𝑥,𝑅,𝑦   𝑄,𝑏   𝑥,𝐾   𝑃,𝑎   𝑥,𝑁,𝑦   𝑅,𝑎   𝐴,𝑏   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑥,𝐴   𝑁,𝑎   𝐾,𝑎   𝑁,𝑏   𝑄,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   𝑄(𝑒,𝑓)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑀(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c7lem3

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑙 𝑖 𝑗 𝑣 𝑢 𝑞 𝑜 𝑝 𝑚 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c7.1	. 2 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2		aks6d1c7.2	. 2 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
3		aks6d1c7.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
4		aks6d1c7.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		aks6d1c7.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
6		aks6d1c7.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
7		aks6d1c7.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
8		aks6d1c7.8	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
9		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))
10		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))
11		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
12		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
13		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝑖 = 𝑘)
14	13	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑃↑𝑖) = (𝑃↑𝑘))
15		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝑗 = 𝑙)
16	15	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
17	14, 16	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑙) → ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗)) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
18	9, 10, 11, 12, 17	cbvmpo 7502	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
19		eqid 2769	. 2 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
20		eqid 2769	. 2 ⊢ (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) = (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))
21		aks6d1c7.9	. 2 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
22		aks6d1c7.10	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
23		aks6d1c7.11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
24		aks6d1c7.12	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
25		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑣(((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀)
26		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤(((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀)
27		2fveq3 6884	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤)) = ((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣)))
28	27	fveq1d 6881	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀) = (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀))
29	25, 26, 28	cbvmpt 5214	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑤))‘𝑀)) = (𝑣 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘((𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))))‘𝑣))‘𝑀))
30		eqid 2769	. 2 ⊢ (⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = (⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))
31		eqid 2769	. 2 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ ((0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))) × (0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))))) = ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ ((0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))))) × (0...(⌊‘(√‘(♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
32		aks6d1c7lem3.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∥ 𝑁))
33		aks6d1c7.13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
34		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))))
35		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
36		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))
37		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))
38		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ℎ → (𝑚‘𝑛) = (𝑚‘ℎ))
39		2fveq3 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)) = ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))
40	39	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))) = ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))
41	38, 40	oveq12d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ℎ → ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))) = ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
42	36, 37, 41	cbvmpt 5214	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
44		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → 𝑚 = 𝑔)
45	44	fveq1d 6881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → (𝑚‘ℎ) = (𝑔‘ℎ))
46	45	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 = 𝑔 ∧ ℎ ∈ (0...𝐴)) → ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))) = ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))
47	46	mpteq2dva 5205	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
48	43, 47	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))) = (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ))))))
49	48	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑔 → ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛)))))) = ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))))
50	34, 35, 49	cbvmpt 5214	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑛 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑚‘𝑛)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑛))))))) = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (ℎ ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘ℎ)(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘ℎ)))))))
51		aks6d1c7.14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ∼ ((var1‘𝐾)(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
52		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢(ℕ0 ↑m (0...𝐴))
53		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑜(ℕ0 ↑m (0...𝐴))
54		nfv 1941	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑜Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)
55		nfv 1941	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)
56		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 = 𝑜 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐴)) → 𝑢 = 𝑜)
57	56	fveq1d 6881	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 = 𝑜 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐴)) → (𝑢‘𝑞) = (𝑜‘𝑞))
58	57	sumeq2dv 15749	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) = Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞))
59		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑜‘𝑞) = (𝑜‘𝑝))
60		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑝(𝑜‘𝑞)
61		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞(𝑜‘𝑝)
62	59, 60, 61	cbvsum 15742	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝)
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝))
64	58, 63	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) = Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝))
65	18	eqcomi 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗)))
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))))
67	66	imaeq1d 6059	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)) = ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))
68	67	imaeq2d 6060	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0))) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0))))
69	68	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) = (♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))))
70	69	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) = ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1))
71	64, 70	breq12d 5123	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑜 → (Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) ↔ Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)))
72	52, 53, 54, 55, 71	cbvrabw 3458	. 2 ⊢ {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑞 ∈ (0...𝐴)(𝑢‘𝑞) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)} = {𝑜 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑝 ∈ (0...𝐴)(𝑜‘𝑝) ≤ ((♯‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) “ ((𝑖 ∈ ℕ0, 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑗))) “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)}
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 30, 31, 32, 33, 50, 51, 72	aks6d1c7lem2 42833	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423   class class class wbr 5110  {copab 5174   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657   “ cima 5662  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑_m cmap 8820  0cc0 11096  1c1 11097   · cmul 11101   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437   / cdiv 11867  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292  ℕ₀cn0 12500  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531  ⌊cfl 13819  ↑cexp 14093  ♯chash 14362  √csqrt 15280  Σcsu 15733   ∥ cdvds 16306   gcd cgcd 16548  ℙcprime 16725  od_ℤcodz 16818  ϕcphi 16819  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306   Σ_g cgsu 17489  ._gcmg 19129  mulGrpcmgp 20212   RingIso crs 20548  Fieldcfield 20810  ℤRHomczrh 21614  chrcchr 21616  ℤ/nℤczn 21617  algSccascl 21967  var₁cv1 22301  Poly₁cpl1 22302  eval₁ce1 22439   log_b clogb 26891   PrimRoots cprimroots 42743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-prod 15954  df-fallfac 16057  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-odz 16820  df-phi 16821  df-pc 16893  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-pws 17498  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-qus 17559  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-nsg 19186  df-eqg 19187  df-ghm 19280  df-gim 19325  df-cntz 19383  df-od 19594  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-srg 20265  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-rim 20551  df-nzr 20592  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-rlreg 20775  df-domn 20776  df-idom 20777  df-drng 20811  df-field 20812  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-lidl 21306  df-rsp 21307  df-2idl 21356  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-zring 21562  df-zrh 21618  df-chr 21620  df-zn 21621  df-assa 21968  df-asp 21969  df-ascl 21970  df-psr 22024  df-mvr 22025  df-mpl 22026  df-opsr 22028  df-evls 22190  df-evl 22191  df-psr1 22305  df-vr1 22306  df-ply1 22307  df-coe1 22308  df-evl1 22441  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-mdeg 26177  df-deg1 26178  df-mon1 26253  df-uc1p 26254  df-q1p 26255  df-r1p 26256  df-log 26683  df-cxp 26684  df-logb 26892  df-primroots 42744

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem4  42835