Theorem trisecnconstr 34494

Description: Not all angles can be trisected. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
trisecnconstr	⊢ ¬ ∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr

Proof of Theorem trisecnconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3))
3	1, 2	cos9thpinconstr 34493	. . . 4 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr)
4	3	simpri 491	. . 3 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr
5	4	neli 3067	. 2 ⊢ ¬ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr
6	3	simpli 489	. . 3 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr
7		oveq1 7450	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) → (𝑜↑𝑐(1 / 3)) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)))
8	7	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑜 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) → ((𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr ↔ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr))
9	8	rspcv 3576	. . 3 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr → (∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr → ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr))
10	6, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr → ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr)
11	5, 10	mto 200	1 ⊢ ¬ ∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  ∀wral 3080  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1c1 11228  ici 11229   · cmul 11232   / cdiv 12000  2c2 12424  3c3 12425  expce 16256  πcpi 16261  ↑_𝑐ccxp 26913  Constrcconstr 34431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-ac2 10568  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-rpss 7763  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-acn 10050  df-ac 10222  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-word 14686  df-lsw 14735  df-concat 14743  df-s1 14770  df-substr 14817  df-pfx 14849  df-shft 15249  df-sgn 15269  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-pc 17044  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ocomp 17478  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-pws 17649  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-qus 17710  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-mri 17787  df-acs 17788  df-proset 18497  df-drs 18498  df-poset 18516  df-ipo 18731  df-chn 18809  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-nsg 19363  df-eqg 19364  df-ghm 19457  df-gim 19502  df-cntz 19561  df-oppg 19590  df-lsm 19880  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-srg 20443  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-irred 20619  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-rhm 20732  df-nzr 20793  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-rlreg 20976  df-domn 20977  df-idom 20978  df-drng 21012  df-field 21013  df-sdrg 21074  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-lmhm 21327  df-lmim 21328  df-lmic 21329  df-lbs 21380  df-lvec 21408  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-rsp 21517  df-2idl 21573  df-lpidl 21676  df-lpir 21677  df-pid 21691  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-dsmm 22068  df-frlm 22083  df-uvc 22119  df-lindf 22142  df-linds 22143  df-assa 22191  df-asp 22192  df-ascl 22193  df-psr 22247  df-mvr 22248  df-mpl 22249  df-opsr 22251  df-evls 22413  df-evl 22414  df-psr1 22528  df-vr1 22529  df-ply1 22530  df-coe1 22531  df-evls1 22663  df-evl1 22664  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-limc 26216  df-dv 26217  df-mdeg 26403  df-deg1 26404  df-mon1 26479  df-uc1p 26480  df-q1p 26481  df-r1p 26482  df-ig1p 26483  df-log 26914  df-cxp 26915  df-fldgen 33943  df-mxidl 34055  df-dim 34302  df-fldext 34343  df-extdg 34344  df-irng 34386  df-minply 34402  df-constr 34432

This theorem is used by: (None)