Theorem trisecnconstr 34127

Description: Not all angles can be trisected. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
trisecnconstr	⊢ ¬ ∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr

Proof of Theorem trisecnconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
2		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3))
3	1, 2	cos9thpinconstr 34126	. . . 4 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr)
4	3	simpri 490	. . 3 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr
5	4	neli 3072	. 2 ⊢ ¬ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr
6	3	simpli 488	. . 3 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr
7		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) → (𝑜↑𝑐(1 / 3)) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)))
8	7	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑜 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) → ((𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr ↔ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr))
9	8	rspcv 3586	. . 3 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr → (∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr → ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr))
10	6, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr → ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr)
11	5, 10	mto 200	1 ⊢ ¬ ∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  ∀wral 3085  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101  ici 11102   · cmul 11105   / cdiv 11871  2c2 12295  3c3 12296  expce 16115  πcpi 16120  ↑_𝑐ccxp 26686  Constrcconstr 34064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610  ax-ac2 10447  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-rpss 7721  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-r1 9736  df-rank 9737  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-ac 10100  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-word 14551  df-lsw 14600  df-concat 14608  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-shft 15104  df-sgn 15124  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-prm 16730  df-pc 16897  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ocomp 17331  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-pws 17502  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-qus 17563  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-mri 17640  df-acs 17641  df-proset 18350  df-drs 18351  df-poset 18369  df-ipo 18584  df-chn 18662  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-nsg 19190  df-eqg 19191  df-ghm 19284  df-gim 19329  df-cntz 19387  df-oppg 19416  df-lsm 19706  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-srg 20269  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-irred 20441  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-rhm 20554  df-nzr 20596  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-rlreg 20779  df-domn 20780  df-idom 20781  df-drng 20815  df-field 20816  df-sdrg 20868  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lmhm 21121  df-lmim 21122  df-lmic 21123  df-lbs 21174  df-lvec 21202  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-rsp 21311  df-2idl 21360  df-lpidl 21459  df-lpir 21460  df-pid 21474  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-dsmm 21851  df-frlm 21866  df-uvc 21902  df-lindf 21925  df-linds 21926  df-assa 21972  df-asp 21973  df-ascl 21974  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-evls 22194  df-evl 22195  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312  df-evls1 22444  df-evl1 22445  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-mdeg 26181  df-deg1 26182  df-mon1 26257  df-uc1p 26258  df-q1p 26259  df-r1p 26260  df-ig1p 26261  df-log 26687  df-cxp 26688  df-fldgen 33575  df-mxidl 33688  df-dim 33935  df-fldext 33976  df-extdg 33977  df-irng 34019  df-minply 34035  df-constr 34065

This theorem is referenced by: (None)