Theorem trisecnconstr 33952

Description: Not all angles can be trisected. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
trisecnconstr	⊢ ¬ ∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr

Proof of Theorem trisecnconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3))
3	1, 2	cos9thpinconstr 33951	. . . 4 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr)
4	3	simpri 485	. . 3 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr
5	4	neli 3039	. 2 ⊢ ¬ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr
6	3	simpli 483	. . 3 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr
7		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) → (𝑜↑𝑐(1 / 3)) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)))
8	7	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑜 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) → ((𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr ↔ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr))
9	8	rspcv 3561	. . 3 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr → (∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr → ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr))
10	6, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr → ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr)
11	5, 10	mto 197	1 ⊢ ¬ ∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030  ici 11031   · cmul 11034   / cdiv 11798  2c2 12227  3c3 12228  expce 16017  πcpi 16022  ↑_𝑐ccxp 26532  Constrcconstr 33889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-reg 9500  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-rpss 7670  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-r1 9679  df-rank 9680  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-shft 15020  df-sgn 15040  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-pc 16799  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ocomp 17232  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-pws 17403  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-mri 17541  df-acs 17542  df-proset 18251  df-drs 18252  df-poset 18270  df-ipo 18485  df-chn 18563  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-irred 20330  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-rhm 20443  df-nzr 20481  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-idom 20664  df-drng 20699  df-field 20700  df-sdrg 20755  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lmhm 21009  df-lmim 21010  df-lmic 21011  df-lbs 21062  df-lvec 21090  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-lidl 21198  df-rsp 21199  df-2idl 21240  df-lpidl 21312  df-lpir 21313  df-pid 21327  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-uvc 21773  df-lindf 21796  df-linds 21797  df-assa 21843  df-asp 21844  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-evls 22062  df-evl 22063  df-psr1 22153  df-vr1 22154  df-ply1 22155  df-coe1 22156  df-evls1 22290  df-evl1 22291  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-mdeg 26030  df-deg1 26031  df-mon1 26106  df-uc1p 26107  df-q1p 26108  df-r1p 26109  df-ig1p 26110  df-log 26533  df-cxp 26534  df-fldgen 33387  df-mxidl 33535  df-dim 33759  df-fldext 33801  df-extdg 33802  df-irng 33844  df-minply 33860  df-constr 33890

This theorem is referenced by: (None)