Theorem trisecnconstr 34099

Description: Not all angles can be trisected. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
trisecnconstr	⊢ ¬ ∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr

Proof of Theorem trisecnconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3))
3	1, 2	cos9thpinconstr 34098	. . . 4 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr)
4	3	simpri 490	. . 3 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr
5	4	neli 3066	. 2 ⊢ ¬ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr
6	3	simpli 488	. . 3 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr
7		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) → (𝑜↑𝑐(1 / 3)) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)))
8	7	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑜 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) → ((𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr ↔ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr))
9	8	rspcv 3580	. . 3 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ Constr → (∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr → ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr))
10	6, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr → ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr)
11	5, 10	mto 200	1 ⊢ ¬ ∀𝑜 ∈ Constr (𝑜↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3064  ∀wral 3079  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089  ici 11090   · cmul 11093   / cdiv 11859  2c2 12286  3c3 12287  expce 16105  πcpi 16110  ↑_𝑐ccxp 26678  Constrcconstr 34036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-reg 9542  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-rpss 7710  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-r1 9724  df-rank 9725  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-word 14541  df-lsw 14590  df-concat 14598  df-s1 14624  df-substr 14669  df-pfx 14699  df-shft 15094  df-sgn 15114  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-sin 16113  df-cos 16114  df-pi 16116  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-prm 16720  df-pc 16887  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ocomp 17321  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-pws 17492  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-qus 17553  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-mri 17630  df-acs 17631  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18574  df-chn 18652  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-nsg 19181  df-eqg 19182  df-ghm 19275  df-gim 19320  df-cntz 19378  df-oppg 19407  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-srg 20260  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-irred 20432  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-rhm 20545  df-nzr 20587  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-rlreg 20770  df-domn 20771  df-idom 20772  df-drng 20806  df-field 20807  df-sdrg 20859  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lmhm 21112  df-lmim 21113  df-lmic 21114  df-lbs 21165  df-lvec 21193  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-rsp 21302  df-2idl 21351  df-lpidl 21450  df-lpir 21451  df-pid 21465  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-dsmm 21842  df-frlm 21857  df-uvc 21893  df-lindf 21916  df-linds 21917  df-assa 21963  df-asp 21964  df-ascl 21965  df-psr 22019  df-mvr 22020  df-mpl 22021  df-opsr 22023  df-evls 22185  df-evl 22186  df-psr1 22300  df-vr1 22301  df-ply1 22302  df-coe1 22303  df-evls1 22436  df-evl1 22437  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-limc 25986  df-dv 25987  df-mdeg 26173  df-deg1 26174  df-mon1 26249  df-uc1p 26250  df-q1p 26251  df-r1p 26252  df-ig1p 26253  df-log 26679  df-cxp 26680  df-fldgen 33547  df-mxidl 33660  df-dim 33907  df-fldext 33948  df-extdg 33949  df-irng 33991  df-minply 34007  df-constr 34037

This theorem is referenced by: (None)