Theorem weq 1556

Description: Extend wff definition to include atomic formulas using the equality predicate.

(Instead of introducing weq 1556 as an axiomatic statement, as was done in an older version of this database, we introduce it by "proving" a special case of set theory's more general wceq 1402. This lets us avoid overloading the = connective, thus preventing ambiguity that would complicate certain Metamath parsers. However, logically weq 1556 is considered to be a primitive syntax, even though here it is artificially "derived" from wceq 1402. Note: To see the proof steps of this syntax proof, type "show proof weq /all" in the Metamath program.) (Contributed by NM, 24-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
weq	wff x = y

Proof of Theorem weq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wceq 1402	1 wff x = y

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402

This theorem is used by:  alequcoms  1569  equidqe  1585  ax4sp1  1586  spimfv  1751  chvarfv  1752  equid  1753  nfequid  1754  stdpc6  1755  equcomi  1756  ax6evr  1757  equcom  1758  equcomd  1759  equcoms  1760  equtr  1761  equtrr  1762  equtr2  1763  equequ1  1764  equequ2  1765  ax11i  1766  ax10o  1767  ax10  1769  nfae  1771  hbaes  1772  hbnae  1773  nfnae  1774  hbnaes  1775  equsalh  1778  equsal  1779  dral1  1783  dral2  1784  drex2  1785  drnf1  1786  drnf2  1787  spimth  1788  spimh  1790  spimed  1793  cbv1  1798  cbv1h  1799  cbv1v  1800  cbv2h  1801  cbv2w  1803  cbvalv1  1804  cbvexv1  1805  cbvalh  1806  chvar  1810  sbimi  1817  sb1  1819  sb2  1820  sbequ1  1821  sbequ2  1822  sbequ12  1824  sbequ12r  1825  sbequ12a  1826  sbid  1827  stdpc4  1828  sbh  1829  sb6x  1832  sbequ5  1835  sbequ6  1836  equsb1  1838  equsb2  1839  sbiedh  1840  sbiedv  1842  sbieh  1843  equsalv  1846  equs5a  1847  drsb1  1852  exdistrfor  1853  sb4a  1854  equs45f  1855  sb6f  1856  sb5f  1857  sb4e  1858  hbsb2a  1859  hbsb2e  1860  sbcof2  1863  aev  1865  ax16  1866  dveeq2  1868  dveeq2or  1869  ax11v2  1873  ax11a2  1874  ax11b  1879  equs5  1882  equs5or  1883  sb3  1884  sb4  1885  sb4or  1886  sb4b  1887  sb4bor  1888  hbsb2  1889  nfsb2or  1890  sbequi  1892  sbequ  1893  drsb2  1894  spsbe  1895  spsbim  1896  sbequ8  1900  sbidm  1904  sb5rf  1905  sb6rf  1906  ax16i  1911  spv  1913  speiv  1915  equvin  1916  a16g  1917  a16gb  1918  a16nf  1919  equsv  1938  sb56  1940  sb6  1941  sb5  1942  sbnv  1943  sbanv  1944  sborv  1945  sbi1v  1946  sbi2v  1947  cbvalvw  1975  cbvexvw  1976  cbval2  1977  cbvex2  1978  cbvaldva  1984  cbvexdva  1985  cbvaldvaw  1986  cbval2vw  1988  cbvex2vw  1989  cbvex4v  1990  hbs1  1998  hbsbv  2001  nfsbxy  2002  nfsbxyt  2003  nfsbv  2007  equsb3  2011  sbco  2028  sbcocom  2030  sbcomxyyz  2032  sb9v  2038  2sb5  2043  2sb6  2044  sbcom2v  2045  sb6a  2048  2sb5rf  2049  2sb6rf  2050  dfsb7  2051  sb7f  2052  sb7af  2053  sb10f  2055  sbel2x  2058  sbalyz  2059  sbal1yz  2061  sbal1  2062  sbexyz  2063  exsb  2068  2exsb  2069  dvelimALT  2070  dvelimfv  2071  hbsb4t  2073  nfsb4t  2074  dvelimf  2075  dvelimdf  2076  dvelimor  2078  dveeq1  2079  sbal2  2080  euf  2091  eubidh  2092  eubid  2093  hbeu1  2096  nfeu1  2097  sb8eu  2099  nfeuv  2104  sb8euh  2109  eu1  2111  mo2n  2114  euex  2116  eumo0  2117  mo23  2128  mor  2129  modc  2130  eu2  2131  eu3h  2132  mo2r  2139  mo3h  2140  mo2dc  2142  mo4f  2147  eu4  2149  moim  2151  moimv  2153  moanim  2161  mopick  2165  2eu4  2180  euequ1  2182  exists1  2183  elequ1  2213  elequ2  2214  cleljust  2215  elsb1  2216  elsb2  2217  axext3  2221  axext4  2222  bm1.1  2223  eleq1w  2299  cleqh  2338  abbib  2356  cbvabw  2363  cbvab  2364  sbab  2368  nfcjust  2380  drnfc1  2409  drnfc2  2410  nfabdw  2411  dvelimdc  2413  dvelimc  2414  nfcvf  2415  cbvrmow  2735  cbvralfw  2775  cbvrexfw  2776  cbvralf  2777  cbvrexf  2778  cbvreu  2784  cbvralvw  2790  cbvrexvw  2791  cbvreuvw  2792  cbvraldva2  2793  cbvrexdva2  2794  cbvraldva  2795  cbvrexdva  2796  cbvral2vw  2797  cbvrex2vw  2798  cbvral2v  2799  cbvrex2v  2800  cbvral3v  2801  sbralie  2804  cbvrab  2819  vjust  2822  vex  2824  rr19.3v  2965  rr19.28v  2966  ralab2  2990  rexab2  2992  reu2  3014  reu6  3015  reu3  3016  rmo4  3019  reu4  3020  reu7  3021  reu8  3022  rmo3f  3023  rmo4f  3024  cdeqi  3036  cdeqri  3037  cdeqth  3038  cdeqnot  3039  cdeqal  3040  cdeqab  3041  cdeqim  3044  cdeqcv  3045  cdeqeq  3046  cdeqel  3047  nfccdeq  3049  sbsbc  3055  sbc8g  3059  sbcco2  3074  sbc5  3075  sbcralt  3128  sbcralg  3130  sbcreug  3132  reu8nf  3133  rmo3  3144  cbvcsbw  3151  cbvcsb  3152  csbcow  3158  sbcel12g  3162  sbceqg  3163  cbvralcsf  3210  cbvrexcsf  3211  cbvreucsf  3212  cbvrabcsf  3213  difjust  3221  unjust  3223  injust  3225  dfssf  3238  dfss2f  3239  dfdif3  3339  dfnul2  3523  dfif3  3654  rabsnifsb  3777  preq12bg  3898  eluniab  3947  elintab  3981  int0  3984  dfiunv2  4048  cbviun  4049  cbviin  4050  cbvdisj  4116  invdisjrab  4124  disjiun  4125  sndisj  4126  sbcbrg  4185  cbvmptf  4225  cbvmpt  4226  axsepg  4250  bm1.3ii  4254  nalset  4263  zfpow  4312  el  4315  dtruarb  4328  copsexg  4384  opelopabsb  4402  swopo  4451  pofun  4457  issod  4464  frind  4497  zfun  4579  ruv  4697  dtru  4707  dcextest  4728  tfisi  4734  findes  4750  relop  4930  dfdmf  4974  dfrnf  5023  resiexg  5108  dfres2  5115  opabresid  5116  mptresid  5117  imai  5143  issref  5170  intasym  5172  cnvi  5192  rnxpid  5222  cnvpom  5330  nfiota1  5339  cbviota  5342  sb8iota  5345  iotaval  5349  iotanul  5353  iota4  5357  eliota  5365  eliotaeu  5366  csbiotag  5370  dffun2  5387  dffun4  5388  dffun5r  5389  dffun6f  5390  dffun4f  5393  sbcfung  5401  funopg  5411  fundif  5425  funinsn  5430  funcnveq  5444  fun11  5448  fununi  5449  funcnvuni  5450  imain  5463  isarep2  5468  brprcneu  5688  fv2  5690  elfv  5693  fv3  5718  relelfvdm  5727  fvmpt2  5789  ralrnmpt  5850  rexrnmpt  5851  ffnfvf  5867  f1veqaeq  5975  dff13f  5976  fliftfuns  6004  canth  6036  cbvriotavw  6049  cbvriota  6050  csbriotag  6052  acexmid  6084  oprabidlem  6116  cbvmpox  6166  cbvmpo  6167  cbvmpov  6168  mpofun  6190  abrexex2  6353  fmpoco  6452  f1o2ndf1  6464  poxp  6468  suppfnss  6497  tposoprab  6551  tfrlem3-2d  6583  tfrlemi1  6603  tfr1onlemsucfn  6611  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemsucfn  6624  tfrcllemsucaccv  6625  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllembfn  6628  tfrcllemaccex  6632  dcdifsnid  6777  fnsnsplitdc  6778  funresdfunsndc  6779  eqerlem  6838  qliftfuns  6893  eroveu  6900  cbvixp  6997  mptelixpg  7016  idssen  7063  modom  7108  pw2f1odclem  7134  xpf1o  7144  xpmapen  7150  findcard2d  7195  fidcen  7203  eqsndc  7210  nnwetri  7223  fiintim  7238  snexxph  7267  fidcenumlemim  7269  fidcenumlemrk  7271  fidcenum  7273  2omap  7319  supmoti  7334  isoti  7348  supisoti  7351  cnvti  7360  ordiso2  7376  ctssdccl  7452  finct  7457  infnninf  7465  nninfwlpoim  7520  nninfwlpo  7522  sspw1or2  7545  exmidontriimlem3  7580  exmidontriimlem4  7581  exmidontriim  7582  onntri13  7598  onntri51  7600  onntri3or  7605  tapap  7617  dftap2  7618  netap  7621  2onetap  7622  2omotaplemap  7624  cc1  7632  cc2  7634  ltsopi  7688  addpipqqs  7738  mulpipqqs  7741  archpr  8011  cauappcvgprlemlol  8015  cauappcvgprlemopu  8016  cauappcvgprlemupu  8017  cauappcvgprlemdisj  8019  cauappcvgprlemladdru  8024  cauappcvgprlemladdrl  8025  cauappcvgprlemlim  8029  caucvgprlemlol  8038  caucvgprlemopu  8039  caucvgprlemupu  8040  caucvgprlemdisj  8042  caucvgprlemloc  8043  caucvgprlemcl  8044  caucvgprlemladdrl  8046  caucvgprprlemcbv  8055  caucvgprprlemopu  8067  caucvgprprlemclphr  8073  caucvgprprlemexbt  8074  suplocexprlemmu  8086  suplocexprlemdisj  8088  caucvgsrlembound  8162  caucvgsrlembnd  8169  suplocsrlem  8176  suplocsr  8177  peano1nnnn  8220  axcaucvglemres  8267  axpre-suploc  8270  negf1o  8711  lbreu  9278  lbinf  9281  suprubex  9284  suprlubex  9285  suprleubex  9287  1nn  9318  zfidc  9728  uzind4s  10000  uzind4s2  10001  indstr  10003  supinfneg  10005  infsupneg  10006  infregelbex  10008  eqreznegel  10024  lbzbi  10026  elpq  10060  zsupcl  10675  infssuzex  10677  infssuzledc  10678  zsupssdc  10684  exbtwnzlemex  10695  exbtwnz  10696  rebtwn2zlemstep  10698  rebtwn2z  10700  iseqovex  10910  iseqvalcbv  10911  seqvalcd  10913  seqovcd  10919  seq3f1olemqsum  10965  seq3f1olemp  10967  seq3f1oleml  10968  seqf1og  10973  seq3distr  10984  faclbnd6  11198  fimaxq  11286  hashfibclem  11298  hashf1lem1  11301  wrd2ind  11511  reuccatpfxs1lem  11534  reuccatpfxs1  11535  cvg1nlemres  11767  resqrexlemsqa  11806  resqrexlemex  11807  cau3lem  11897  fclim  12079  climeu  12081  cn1lem  12099  climcau  12132  climcvg1n  12135  summodclem3  12166  summodclem2a  12167  summodclem2  12168  summodc  12169  zsumdc  12170  fsum3  12173  isumz  12175  isumss2  12179  fsumsersdc  12181  fsum3ser  12183  fsumadd  12192  fsum2dlemstep  12220  fisumcom2  12224  isumshft  12276  cvgratz  12318  mertensabs  12323  prodfdivap  12333  cbvprod  12344  prodmodclem3  12361  prodmodclem2a  12362  prodmodclem2  12363  prodmodc  12364  zproddc  12365  fprodseq  12369  fprodm1s  12387  fprodp1s  12388  fprod2dlemstep  12408  fprodcom2fi  12412  fprodsplitf  12418  odd2np1lem  12658  bitsfzolem  12740  bezoutlemmain  12794  bezoutlemeu  12803  gcdmultiple  12816  rplpwr  12823  nnwofdc  12834  nnwosdc  12835  nninfctlemfo  12836  isprm5lem  12939  isprm5  12940  pwbdvdseu  12966  hashdvds  13022  eulerthlemh  13032  reumodprminv  13055  pclemub  13089  pclemdc  13090  pceu  13097  pcmptdvds  13147  1arith  13169  4sqlem2  13191  4sqlem11  13203  4sqlem12  13204  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  ballotfilemefi  13289  ballotfilemodife  13292  ennnfonelemg  13346  ennnfoneleminc  13354  ennnfonelemkh  13355  ennnfonelemhf1o  13356  ennnfonelemex  13357  ennnfonelemhom  13358  ennnfonelemrnh  13359  ennnfonelemfun  13360  ennnfonelemdm  13363  ennnfonelemr  13366  ennnfone  13368  inffinp1  13372  ctinf  13373  nninfdclemf  13392  nninfdclemp1  13393  unbendc  13397  infpn2  13399  strsetsid  13437  mgmidmo  13745  lidrididd  13755  mndinvmod  13811  insubm  13845  dfgrp3mlem  13956  mulgaddcom  14002  mulginvcom  14003  isnsg2  14059  gzsumconstf  14228  srgmulgass  14377  islmodd  14713  lmodvsmmulgdi  14744  rmodislmodlem  14771  rmodislmod  14772  lssats2  14835  assamulgscm  15127  mplsubgfilemcl  15181  baspartn  15242  cnpnei  15411  txdis1cn  15470  cnmptid  15473  xmetxp  15699  cncfmptc  15788  cncfmptid  15789  dedekindeulemloc  15811  dedekindicclemloc  15820  ivthinclemlr  15829  ivthinclemur  15831  ivthinclemloc  15833  ivthdec  15836  dvmptfsum  15917  plymullem1  15940  zprmlogbap  16179  perfectlem2  16261  bposlem5  16276  lgseisenlem2  16356  lgsquadlem3  16364  lgsquad  16365  lgsquad2lem2  16367  2lgslem1a  16373  usgruspgrben  16593  umgr2edg1  16616  umgr2edgneu  16619  usgredg4  16622  usgredgreu  16623  uspgredg2vtxeu  16625  vtxedgfi  16696  vtxlpfi  16697  depindlem1  16913  depindlem2  16914  depindlem3  16915  spimd  16959  2spim  16960  ch2var  16961  bj-sbimedh  16965  bj-sbimeh  16966  cbvrald  16982  sumdc2  16993  bdth  17023  bdcdeq  17031  bdne  17045  bdreu  17047  bdcsn  17062  bdsep2  17078  bdsepnft  17079  bdsepnfALT  17081  bdbm1.3ii  17083  bj-nalset  17087  bj-zfpair2  17102  bj-bdfindes  17141  bj-nn0suc0  17142  bj-nntrans  17143  setindft  17157  setindis  17159  bdsetindis  17161  bj-inf2vnlem3  17164  bj-inf2vnlem4  17165  strcoll2  17175  strcollnft  17176  strcollnfALT  17178  sscoll2  17180  nnti  17188  nnsf  17214  peano4nninf  17215  nninfsellemqall  17224  nninfomni  17228  nnnninfen  17230  repiecef  17243  trilpolemeq1  17256  tridceq  17273  redc0  17274  reap0  17275  dceqnconst  17277  dcapnconst  17278  nconstwlpolemgt0  17281  cbvals  17313