Theorem weq 1556

Description: Extend wff definition to include atomic formulas using the equality predicate.

(Instead of introducing weq 1556 as an axiomatic statement, as was done in an older version of this database, we introduce it by "proving" a special case of set theory's more general wceq 1402. This lets us avoid overloading the = connective, thus preventing ambiguity that would complicate certain Metamath parsers. However, logically weq 1556 is considered to be a primitive syntax, even though here it is artificially "derived" from wceq 1402. Note: To see the proof steps of this syntax proof, type "show proof weq /all" in the Metamath program.) (Contributed by NM, 24-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
weq	wff x = y

Proof of Theorem weq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wceq 1402	1 wff x = y

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402

This theorem is used by:  alequcoms  1569  equidqe  1585  ax4sp1  1586  spimfv  1751  chvarfv  1752  equid  1753  nfequid  1754  stdpc6  1755  equcomi  1756  ax6evr  1757  equcom  1758  equcomd  1759  equcoms  1760  equtr  1761  equtrr  1762  equtr2  1763  equequ1  1764  equequ2  1765  ax11i  1766  ax10o  1767  ax10  1769  nfae  1771  hbaes  1772  hbnae  1773  nfnae  1774  hbnaes  1775  equsalh  1778  equsal  1779  dral1  1783  dral2  1784  drex2  1785  drnf1  1786  drnf2  1787  spimth  1788  spimh  1790  spimed  1793  cbv1  1798  cbv1h  1799  cbv1v  1800  cbv2h  1801  cbv2w  1803  cbvalv1  1804  cbvexv1  1805  cbvalh  1806  chvar  1810  sbimi  1817  sb1  1819  sb2  1820  sbequ1  1821  sbequ2  1822  sbequ12  1824  sbequ12r  1825  sbequ12a  1826  sbid  1827  stdpc4  1828  sbh  1829  sb6x  1832  sbequ5  1835  sbequ6  1836  equsb1  1838  equsb2  1839  sbiedh  1840  sbiedv  1842  sbieh  1843  equsalv  1846  equs5a  1847  drsb1  1852  exdistrfor  1853  sb4a  1854  equs45f  1855  sb6f  1856  sb5f  1857  sb4e  1858  hbsb2a  1859  hbsb2e  1860  sbcof2  1863  aev  1865  ax16  1866  dveeq2  1868  dveeq2or  1869  ax11v2  1873  ax11a2  1874  ax11b  1879  equs5  1882  equs5or  1883  sb3  1884  sb4  1885  sb4or  1886  sb4b  1887  sb4bor  1888  hbsb2  1889  nfsb2or  1890  sbequi  1892  sbequ  1893  drsb2  1894  spsbe  1895  spsbim  1896  sbequ8  1900  sbidm  1904  sb5rf  1905  sb6rf  1906  ax16i  1911  spv  1913  speiv  1915  equvin  1916  a16g  1917  a16gb  1918  a16nf  1919  equsv  1938  sb56  1940  sb6  1941  sb5  1942  sbnv  1943  sbanv  1944  sborv  1945  sbi1v  1946  sbi2v  1947  cbvalvw  1975  cbvexvw  1976  cbval2  1977  cbvex2  1978  cbvaldva  1984  cbvexdva  1985  cbvaldvaw  1986  cbval2vw  1988  cbvex2vw  1989  cbvex4v  1990  hbs1  1998  hbsbv  2001  nfsbxy  2002  nfsbxyt  2003  nfsbv  2007  equsb3  2011  sbco  2028  sbcocom  2030  sbcomxyyz  2032  sb9v  2038  2sb5  2043  2sb6  2044  sbcom2v  2045  sb6a  2048  2sb5rf  2049  2sb6rf  2050  dfsb7  2051  sb7f  2052  sb7af  2053  sb10f  2055  sbel2x  2058  sbalyz  2059  sbal1yz  2061  sbal1  2062  sbexyz  2063  exsb  2068  2exsb  2069  dvelimALT  2070  dvelimfv  2071  hbsb4t  2073  nfsb4t  2074  dvelimf  2075  dvelimdf  2076  dvelimor  2078  dveeq1  2079  sbal2  2080  euf  2091  eubidh  2092  eubid  2093  hbeu1  2096  nfeu1  2097  sb8eu  2099  nfeuv  2104  sb8euh  2109  eu1  2111  mo2n  2114  euex  2116  eumo0  2117  mo23  2128  mor  2129  modc  2130  eu2  2131  eu3h  2132  mo2r  2139  mo3h  2140  mo2dc  2142  mo4f  2147  eu4  2149  moim  2151  moimv  2153  moanim  2161  mopick  2165  2eu4  2180  euequ1  2182  exists1  2183  elequ1  2213  elequ2  2214  cleljust  2215  elsb1  2216  elsb2  2217  axext3  2221  axext4  2222  bm1.1  2223  eleq1w  2299  cleqh  2338  abbib  2356  cbvabw  2363  cbvab  2364  sbab  2368  nfcjust  2380  drnfc1  2409  drnfc2  2410  nfabdw  2411  dvelimdc  2413  dvelimc  2414  nfcvf  2415  cbvrmow  2735  cbvralfw  2775  cbvrexfw  2776  cbvralf  2777  cbvrexf  2778  cbvreu  2784  cbvralvw  2790  cbvrexvw  2791  cbvreuvw  2792  cbvraldva2  2793  cbvrexdva2  2794  cbvraldva  2795  cbvrexdva  2796  cbvral2vw  2797  cbvrex2vw  2798  cbvral2v  2799  cbvrex2v  2800  cbvral3v  2801  sbralie  2804  cbvrab  2819  vjust  2822  vex  2824  rr19.3v  2965  rr19.28v  2966  ralab2  2990  rexab2  2992  reu2  3014  reu6  3015  reu3  3016  rmo4  3019  reu4  3020  reu7  3021  reu8  3022  rmo3f  3023  rmo4f  3024  cdeqi  3036  cdeqri  3037  cdeqth  3038  cdeqnot  3039  cdeqal  3040  cdeqab  3041  cdeqim  3044  cdeqcv  3045  cdeqeq  3046  cdeqel  3047  nfccdeq  3049  sbsbc  3055  sbc8g  3059  sbcco2  3074  sbc5  3075  sbcralt  3128  sbcralg  3130  sbcreug  3132  reu8nf  3133  rmo3  3144  cbvcsbw  3151  cbvcsb  3152  csbcow  3158  sbcel12g  3162  sbceqg  3163  cbvralcsf  3210  cbvrexcsf  3211  cbvreucsf  3212  cbvrabcsf  3213  difjust  3221  unjust  3223  injust  3225  dfssf  3238  dfss2f  3239  dfdif3  3339  dfnul2  3523  dfif3  3654  rabsnifsb  3777  preq12bg  3898  eluniab  3947  elintab  3981  int0  3984  dfiunv2  4048  cbviun  4049  cbviin  4050  cbvdisj  4116  invdisjrab  4124  disjiun  4125  sndisj  4126  sbcbrg  4186  cbvmptf  4227  cbvmpt  4228  axsepg  4252  bm1.3ii  4256  nalset  4265  zfpow  4314  el  4317  dtruarb  4330  copsexg  4386  opelopabsb  4404  swopo  4453  pofun  4459  issod  4466  frind  4499  zfun  4581  ruv  4699  dtru  4709  dcextest  4730  tfisi  4736  findes  4752  relop  4932  dfdmf  4976  dfrnf  5025  resiexg  5111  dfres2  5118  opabresid  5119  mptresid  5120  imai  5146  issref  5173  intasym  5175  cnvi  5195  rnxpid  5225  cnvpom  5333  nfiota1  5342  cbviota  5345  sb8iota  5348  iotaval  5352  iotanul  5356  iota4  5360  eliota  5368  eliotaeu  5369  csbiotag  5373  dffun2  5390  dffun4  5391  dffun5r  5392  dffun6f  5393  dffun4f  5396  sbcfung  5404  funopg  5414  fundif  5428  funinsn  5433  funcnveq  5447  fun11  5451  fununi  5452  funcnvuni  5453  imain  5466  isarep2  5471  brprcneu  5691  fv2  5693  elfv  5696  fv3  5721  relelfvdm  5730  fvmpt2  5792  ralrnmpt  5853  rexrnmpt  5854  ffnfvf  5870  f1veqaeq  5978  dff13f  5979  fliftfuns  6007  canth  6039  cbvriotavw  6052  cbvriota  6053  csbriotag  6055  acexmid  6087  oprabidlem  6119  cbvmpox  6169  cbvmpo  6170  cbvmpov  6171  mpofun  6193  abrexex2  6357  fmpoco  6456  f1o2ndf1  6468  poxp  6472  suppfnss  6501  tposoprab  6556  tfrlem3-2d  6588  tfrlemi1  6608  tfr1onlemsucfn  6616  tfr1onlemaccex  6624  tfrcllemsucfn  6629  tfrcllemsucaccv  6630  tfrcllembxssdm  6632  tfrcllembfn  6633  tfrcllemaccex  6637  dcdifsnid  6782  fnsnsplitdc  6783  funresdfunsndc  6784  eqerlem  6843  qliftfuns  6898  eroveu  6905  cbvixp  7003  mptelixpg  7022  idssen  7069  modom  7114  pw2f1odclem  7140  xpf1o  7150  xpmapen  7156  findcard2d  7201  fidcen  7209  eqsndc  7216  nnwetri  7229  fiintim  7244  snexxph  7274  fidcenumlemim  7276  fidcenumlemrk  7278  fidcenum  7280  2omap  7324  supmoti  7339  isoti  7353  supisoti  7356  cnvti  7365  ordiso2  7381  ctssdccl  7457  finct  7462  infnninf  7470  nninfwlpoim  7525  nninfwlpo  7527  sspw1or2  7550  exmidontriimlem3  7585  exmidontriimlem4  7586  exmidontriim  7587  onntri13  7603  onntri51  7605  onntri3or  7610  tapap  7622  dftap2  7623  netap  7626  2onetap  7627  2omotaplemap  7629  cc1  7637  cc2  7639  ltsopi  7693  addpipqqs  7743  mulpipqqs  7746  archpr  8016  cauappcvgprlemlol  8020  cauappcvgprlemopu  8021  cauappcvgprlemupu  8022  cauappcvgprlemdisj  8024  cauappcvgprlemladdru  8029  cauappcvgprlemladdrl  8030  cauappcvgprlemlim  8034  caucvgprlemlol  8043  caucvgprlemopu  8044  caucvgprlemupu  8045  caucvgprlemdisj  8047  caucvgprlemloc  8048  caucvgprlemcl  8049  caucvgprlemladdrl  8051  caucvgprprlemcbv  8060  caucvgprprlemopu  8072  caucvgprprlemclphr  8078  caucvgprprlemexbt  8079  suplocexprlemmu  8091  suplocexprlemdisj  8093  caucvgsrlembound  8167  caucvgsrlembnd  8174  suplocsrlem  8181  suplocsr  8182  peano1nnnn  8225  axcaucvglemres  8272  axpre-suploc  8275  negf1o  8716  lbreu  9283  lbinf  9286  suprubex  9289  suprlubex  9290  suprleubex  9292  1nn  9324  zfidc  9732  fcdmnn0fsuppfi  9743  uzind4s  10005  uzind4s2  10006  indstr  10008  supinfneg  10010  infsupneg  10011  infregelbex  10013  eqreznegel  10029  lbzbi  10031  elpq  10065  zsupcl  10680  infssuzex  10682  infssuzledc  10683  zsupssdc  10689  exbtwnzlemex  10700  exbtwnz  10701  rebtwn2zlemstep  10703  rebtwn2z  10705  iseqovex  10915  iseqvalcbv  10916  seqvalcd  10918  seqovcd  10924  seq3f1olemqsum  10970  seq3f1olemp  10972  seq3f1oleml  10973  seqf1og  10978  seq3distr  10989  faclbnd6  11203  fimaxq  11291  hashfibclem  11303  hashf1lem1  11306  wrd2ind  11516  reuccatpfxs1lem  11539  reuccatpfxs1  11540  cvg1nlemres  11772  resqrexlemsqa  11811  resqrexlemex  11812  cau3lem  11902  fclim  12084  climeu  12086  cn1lem  12104  climcau  12137  climcvg1n  12140  summodclem3  12171  summodclem2a  12172  summodclem2  12173  summodc  12174  zsumdc  12175  fsum3  12178  isumz  12180  isumss2  12184  fsumsersdc  12186  fsum3ser  12188  fsumadd  12197  fsum2dlemstep  12225  fisumcom2  12229  isumshft  12281  cvgratz  12323  mertensabs  12328  prodfdivap  12338  cbvprod  12349  prodmodclem3  12366  prodmodclem2a  12367  prodmodclem2  12368  prodmodc  12369  zproddc  12370  fprodseq  12374  fprodm1s  12392  fprodp1s  12393  fprod2dlemstep  12413  fprodcom2fi  12417  fprodsplitf  12423  odd2np1lem  12663  bitsfzolem  12745  bezoutlemmain  12799  bezoutlemeu  12808  gcdmultiple  12821  rplpwr  12828  nnwofdc  12839  nnwosdc  12840  nninfctlemfo  12841  isprm5lem  12944  isprm5  12945  pwbdvdseu  12971  hashdvds  13027  eulerthlemh  13037  reumodprminv  13060  pclemub  13094  pclemdc  13095  pceu  13102  pcmptdvds  13152  1arith  13174  4sqlem2  13196  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemefi  13294  ballotfilemodife  13297  ennnfonelemg  13351  ennnfoneleminc  13359  ennnfonelemkh  13360  ennnfonelemhf1o  13361  ennnfonelemex  13362  ennnfonelemhom  13363  ennnfonelemrnh  13364  ennnfonelemfun  13365  ennnfonelemdm  13368  ennnfonelemr  13371  ennnfone  13373  inffinp1  13377  ctinf  13378  nninfdclemf  13397  nninfdclemp1  13398  unbendc  13402  infpn2  13404  strsetsid  13442  mgmidmo  13750  lidrididd  13760  mndinvmod  13816  insubm  13850  dfgrp3mlem  13961  mulgaddcom  14007  mulginvcom  14008  isnsg2  14064  gzsumconstf  14233  gsum2dfilem2  14271  gsum2d2fi  14273  gsumcom2fi  14274  srgmulgass  14399  islmodd  14737  lmodvsmmulgdi  14768  rmodislmodlem  14795  rmodislmod  14796  lssats2  14859  assamulgscm  15151  psrbagmaxlem1x  15181  psrbagmaxlem1y  15182  psrbagmax  15183  psrlidmfi  15208  psrridmfi  15209  baspartn  15293  cnpnei  15462  txdis1cn  15521  cnmptid  15524  xmetxp  15750  cncfmptc  15839  cncfmptid  15840  dedekindeulemloc  15862  dedekindicclemloc  15871  ivthinclemlr  15880  ivthinclemur  15882  ivthinclemloc  15884  ivthdec  15887  dvmptfsum  15968  plymullem1  15991  zprmlogbap  16235  perfectlem2  16317  bposlem5  16332  lgseisenlem2  16412  lgsquadlem3  16420  lgsquad  16421  lgsquad2lem2  16423  2lgslem1a  16429  usgruspgrben  16649  umgr2edg1  16672  umgr2edgneu  16675  usgredg4  16678  usgredgreu  16679  uspgredg2vtxeu  16681  vtxedgfi  16752  vtxlpfi  16753  depindlem1  16969  depindlem2  16970  depindlem3  16971  spimd  17015  2spim  17016  ch2var  17017  bj-sbimedh  17021  bj-sbimeh  17022  cbvrald  17038  sumdc2  17049  bdth  17079  bdcdeq  17087  bdne  17101  bdreu  17103  bdcsn  17118  bdsep2  17134  bdsepnft  17135  bdsepnfALT  17137  bdbm1.3ii  17139  bj-nalset  17143  bj-zfpair2  17158  bj-bdfindes  17197  bj-nn0suc0  17198  bj-nntrans  17199  setindft  17213  setindis  17215  bdsetindis  17217  bj-inf2vnlem3  17220  bj-inf2vnlem4  17221  strcoll2  17231  strcollnft  17232  strcollnfALT  17234  sscoll2  17236  nnti  17244  nnsf  17271  peano4nninf  17272  nninfsellemqall  17281  nninfomni  17285  nnnninfen  17287  repiecef  17300  trilpolemeq1  17313  tridceq  17330  redc0  17331  reap0  17332  dceqnconst  17334  dcapnconst  17335  nconstwlpolemgt0  17338  cbvals  17370