Theorem weq 1556

Description: Extend wff definition to include atomic formulas using the equality predicate.

(Instead of introducing weq 1556 as an axiomatic statement, as was done in an older version of this database, we introduce it by "proving" a special case of set theory's more general wceq 1402. This lets us avoid overloading the = connective, thus preventing ambiguity that would complicate certain Metamath parsers. However, logically weq 1556 is considered to be a primitive syntax, even though here it is artificially "derived" from wceq 1402. Note: To see the proof steps of this syntax proof, type "show proof weq /all" in the Metamath program.) (Contributed by NM, 24-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
weq	wff x = y

Proof of Theorem weq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wceq 1402	1 wff x = y

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402

This theorem is used by:  alequcoms  1569  equidqe  1585  ax4sp1  1586  spimfv  1751  chvarfv  1752  equid  1753  nfequid  1754  stdpc6  1755  equcomi  1756  ax6evr  1757  equcom  1758  equcomd  1759  equcoms  1760  equtr  1761  equtrr  1762  equtr2  1763  equequ1  1764  equequ2  1765  ax11i  1766  ax10o  1767  ax10  1769  nfae  1771  hbaes  1772  hbnae  1773  nfnae  1774  hbnaes  1775  equsalh  1778  equsal  1779  dral1  1783  dral2  1784  drex2  1785  drnf1  1786  drnf2  1787  spimth  1788  spimh  1790  spimed  1793  cbv1  1798  cbv1h  1799  cbv1v  1800  cbv2h  1801  cbv2w  1803  cbvalv1  1804  cbvexv1  1805  cbvalh  1806  chvar  1810  sbimi  1817  sb1  1819  sb2  1820  sbequ1  1821  sbequ2  1822  sbequ12  1824  sbequ12r  1825  sbequ12a  1826  sbid  1827  stdpc4  1828  sbh  1829  sb6x  1832  sbequ5  1835  sbequ6  1836  equsb1  1838  equsb2  1839  sbiedh  1840  sbiedv  1842  sbieh  1843  equsalv  1846  equs5a  1847  drsb1  1852  exdistrfor  1853  sb4a  1854  equs45f  1855  sb6f  1856  sb5f  1857  sb4e  1858  hbsb2a  1859  hbsb2e  1860  sbcof2  1863  aev  1865  ax16  1866  dveeq2  1868  dveeq2or  1869  ax11v2  1873  ax11a2  1874  ax11b  1879  equs5  1882  equs5or  1883  sb3  1884  sb4  1885  sb4or  1886  sb4b  1887  sb4bor  1888  hbsb2  1889  nfsb2or  1890  sbequi  1892  sbequ  1893  drsb2  1894  spsbe  1895  spsbim  1896  sbequ8  1900  sbidm  1904  sb5rf  1905  sb6rf  1906  ax16i  1911  spv  1913  speiv  1915  equvin  1916  a16g  1917  a16gb  1918  a16nf  1919  equsv  1938  sb56  1940  sb6  1941  sb5  1942  sbnv  1943  sbanv  1944  sborv  1945  sbi1v  1946  sbi2v  1947  cbvalvw  1975  cbvexvw  1976  cbval2  1977  cbvex2  1978  cbvaldva  1984  cbvexdva  1985  cbvaldvaw  1986  cbval2vw  1988  cbvex2vw  1989  cbvex4v  1990  hbs1  1998  hbsbv  2001  nfsbxy  2002  nfsbxyt  2003  nfsbv  2007  equsb3  2011  sbco  2028  sbcocom  2030  sbcomxyyz  2032  sb9v  2038  2sb5  2043  2sb6  2044  sbcom2v  2045  sb6a  2048  2sb5rf  2049  2sb6rf  2050  dfsb7  2051  sb7f  2052  sb7af  2053  sb10f  2055  sbel2x  2058  sbalyz  2059  sbal1yz  2061  sbal1  2062  sbexyz  2063  exsb  2068  2exsb  2069  dvelimALT  2070  dvelimfv  2071  hbsb4t  2073  nfsb4t  2074  dvelimf  2075  dvelimdf  2076  dvelimor  2078  dveeq1  2079  sbal2  2080  euf  2091  eubidh  2092  eubid  2093  hbeu1  2096  nfeu1  2097  sb8eu  2099  nfeuv  2104  sb8euh  2109  eu1  2111  mo2n  2114  euex  2116  eumo0  2117  mo23  2128  mor  2129  modc  2130  eu2  2131  eu3h  2132  mo2r  2139  mo3h  2140  mo2dc  2142  mo4f  2147  eu4  2149  moim  2151  moimv  2153  moanim  2161  mopick  2165  2eu4  2180  euequ1  2182  exists1  2183  elequ1  2213  elequ2  2214  cleljust  2215  elsb1  2216  elsb2  2217  axext3  2221  axext4  2222  bm1.1  2223  eleq1w  2299  cleqh  2338  abbib  2356  cbvabw  2363  cbvab  2364  sbab  2368  nfcjust  2380  drnfc1  2409  drnfc2  2410  nfabdw  2411  dvelimdc  2413  dvelimc  2414  nfcvf  2415  cbvrmow  2735  cbvralfw  2775  cbvrexfw  2776  cbvralf  2777  cbvrexf  2778  cbvreu  2784  cbvralvw  2790  cbvrexvw  2791  cbvreuvw  2792  cbvraldva2  2793  cbvrexdva2  2794  cbvraldva  2795  cbvrexdva  2796  cbvral2vw  2797  cbvrex2vw  2798  cbvral2v  2799  cbvrex2v  2800  cbvral3v  2801  sbralie  2804  cbvrab  2819  vjust  2822  vex  2824  rr19.3v  2965  rr19.28v  2966  ralab2  2990  rexab2  2992  reu2  3014  reu6  3015  reu3  3016  rmo4  3019  reu4  3020  reu7  3021  reu8  3022  rmo3f  3023  rmo4f  3024  cdeqi  3036  cdeqri  3037  cdeqth  3038  cdeqnot  3039  cdeqal  3040  cdeqab  3041  cdeqim  3044  cdeqcv  3045  cdeqeq  3046  cdeqel  3047  nfccdeq  3049  sbsbc  3055  sbc8g  3059  sbcco2  3074  sbc5  3075  sbcralt  3128  sbcralg  3130  sbcreug  3132  reu8nf  3133  rmo3  3144  cbvcsbw  3151  cbvcsb  3152  csbcow  3158  sbcel12g  3162  sbceqg  3163  cbvralcsf  3210  cbvrexcsf  3211  cbvreucsf  3212  cbvrabcsf  3213  difjust  3221  unjust  3223  injust  3225  dfssf  3238  dfss2f  3239  dfdif3  3339  dfnul2  3523  dfif3  3654  rabsnifsb  3777  preq12bg  3898  eluniab  3947  elintab  3981  int0  3984  dfiunv2  4048  cbviun  4049  cbviin  4050  cbvdisj  4116  invdisjrab  4124  disjiun  4125  sndisj  4126  sbcbrg  4185  cbvmptf  4225  cbvmpt  4226  axsepg  4250  bm1.3ii  4254  nalset  4263  zfpow  4312  el  4315  dtruarb  4328  copsexg  4384  opelopabsb  4402  swopo  4451  pofun  4457  issod  4464  frind  4497  zfun  4579  ruv  4697  dtru  4707  dcextest  4728  tfisi  4734  findes  4750  relop  4930  dfdmf  4974  dfrnf  5023  resiexg  5108  dfres2  5115  opabresid  5116  mptresid  5117  imai  5143  issref  5170  intasym  5172  cnvi  5192  rnxpid  5222  cnvpom  5330  nfiota1  5339  cbviota  5342  sb8iota  5345  iotaval  5349  iotanul  5353  iota4  5357  eliota  5365  eliotaeu  5366  csbiotag  5370  dffun2  5387  dffun4  5388  dffun5r  5389  dffun6f  5390  dffun4f  5393  sbcfung  5401  funopg  5411  fundif  5425  funinsn  5430  funcnveq  5444  fun11  5448  fununi  5449  funcnvuni  5450  imain  5463  isarep2  5468  brprcneu  5688  fv2  5690  elfv  5693  fv3  5718  relelfvdm  5727  fvmpt2  5789  ralrnmpt  5850  rexrnmpt  5851  ffnfvf  5867  f1veqaeq  5975  dff13f  5976  fliftfuns  6004  canth  6036  cbvriotavw  6049  cbvriota  6050  csbriotag  6052  acexmid  6084  oprabidlem  6116  cbvmpox  6166  cbvmpo  6167  cbvmpov  6168  mpofun  6190  abrexex2  6353  fmpoco  6452  f1o2ndf1  6464  poxp  6468  suppfnss  6497  tposoprab  6551  tfrlem3-2d  6583  tfrlemi1  6603  tfr1onlemsucfn  6611  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemsucfn  6624  tfrcllemsucaccv  6625  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllembfn  6628  tfrcllemaccex  6632  dcdifsnid  6777  fnsnsplitdc  6778  funresdfunsndc  6779  eqerlem  6838  qliftfuns  6893  eroveu  6900  cbvixp  6997  mptelixpg  7016  idssen  7063  modom  7108  pw2f1odclem  7134  xpf1o  7144  xpmapen  7150  findcard2d  7195  fidcen  7203  eqsndc  7210  nnwetri  7223  fiintim  7238  snexxph  7267  fidcenumlemim  7269  fidcenumlemrk  7271  fidcenum  7273  2omap  7318  supmoti  7333  isoti  7347  supisoti  7350  cnvti  7359  ordiso2  7375  ctssdccl  7451  finct  7456  infnninf  7464  nninfwlpoim  7519  nninfwlpo  7521  sspw1or2  7544  exmidontriimlem3  7579  exmidontriimlem4  7580  exmidontriim  7581  onntri13  7597  onntri51  7599  onntri3or  7604  tapap  7616  dftap2  7617  netap  7620  2onetap  7621  2omotaplemap  7623  cc1  7631  cc2  7633  ltsopi  7687  addpipqqs  7737  mulpipqqs  7740  archpr  8010  cauappcvgprlemlol  8014  cauappcvgprlemopu  8015  cauappcvgprlemupu  8016  cauappcvgprlemdisj  8018  cauappcvgprlemladdru  8023  cauappcvgprlemladdrl  8024  cauappcvgprlemlim  8028  caucvgprlemlol  8037  caucvgprlemopu  8038  caucvgprlemupu  8039  caucvgprlemdisj  8041  caucvgprlemloc  8042  caucvgprlemcl  8043  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgprprlemcbv  8054  caucvgprprlemopu  8066  caucvgprprlemclphr  8072  caucvgprprlemexbt  8073  suplocexprlemmu  8085  suplocexprlemdisj  8087  caucvgsrlembound  8161  caucvgsrlembnd  8168  suplocsrlem  8175  suplocsr  8176  peano1nnnn  8219  axcaucvglemres  8266  axpre-suploc  8269  negf1o  8710  lbreu  9277  lbinf  9280  suprubex  9283  suprlubex  9284  suprleubex  9286  1nn  9317  zfidc  9727  uzind4s  9999  uzind4s2  10000  indstr  10002  supinfneg  10004  infsupneg  10005  infregelbex  10007  eqreznegel  10023  lbzbi  10025  elpq  10059  zsupcl  10674  infssuzex  10676  infssuzledc  10677  zsupssdc  10683  exbtwnzlemex  10694  exbtwnz  10695  rebtwn2zlemstep  10697  rebtwn2z  10699  iseqovex  10908  iseqvalcbv  10909  seqvalcd  10911  seqovcd  10917  seq3f1olemqsum  10963  seq3f1olemp  10965  seq3f1oleml  10966  seqf1og  10971  seq3distr  10982  faclbnd6  11196  fimaxq  11284  hashfibclem  11296  hashf1lem1  11299  wrd2ind  11509  reuccatpfxs1lem  11532  reuccatpfxs1  11533  cvg1nlemres  11765  resqrexlemsqa  11804  resqrexlemex  11805  cau3lem  11895  fclim  12076  climeu  12078  cn1lem  12096  climcau  12129  climcvg1n  12132  summodclem3  12163  summodclem2a  12164  summodclem2  12165  summodc  12166  zsumdc  12167  fsum3  12170  isumz  12172  isumss2  12176  fsumsersdc  12178  fsum3ser  12180  fsumadd  12189  fsum2dlemstep  12217  fisumcom2  12221  isumshft  12273  cvgratz  12315  mertensabs  12320  prodfdivap  12330  cbvprod  12341  prodmodclem3  12358  prodmodclem2a  12359  prodmodclem2  12360  prodmodc  12361  zproddc  12362  fprodseq  12366  fprodm1s  12384  fprodp1s  12385  fprod2dlemstep  12405  fprodcom2fi  12409  fprodsplitf  12415  odd2np1lem  12655  bitsfzolem  12737  bezoutlemmain  12791  bezoutlemeu  12800  gcdmultiple  12813  rplpwr  12820  nnwofdc  12831  nnwosdc  12832  nninfctlemfo  12833  isprm5lem  12936  isprm5  12937  pwbdvdseu  12963  hashdvds  13019  eulerthlemh  13029  reumodprminv  13052  pclemub  13086  pclemdc  13087  pceu  13094  pcmptdvds  13144  1arith  13166  4sqlem2  13188  4sqlem11  13200  4sqlem12  13201  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemefi  13286  ballotfilemodife  13289  ennnfonelemg  13343  ennnfoneleminc  13351  ennnfonelemkh  13352  ennnfonelemhf1o  13353  ennnfonelemex  13354  ennnfonelemhom  13355  ennnfonelemrnh  13356  ennnfonelemfun  13357  ennnfonelemdm  13360  ennnfonelemr  13363  ennnfone  13365  inffinp1  13369  ctinf  13370  nninfdclemf  13389  nninfdclemp1  13390  unbendc  13394  infpn2  13396  strsetsid  13434  mgmidmo  13741  lidrididd  13751  mndinvmod  13807  insubm  13841  dfgrp3mlem  13952  mulgaddcom  13998  mulginvcom  13999  isnsg2  14055  gzsumconstf  14193  srgmulgass  14342  islmodd  14678  lmodvsmmulgdi  14709  rmodislmodlem  14736  rmodislmod  14737  lssats2  14800  assamulgscm  15092  mplsubgfilemcl  15139  baspartn  15200  cnpnei  15369  txdis1cn  15428  cnmptid  15431  xmetxp  15657  cncfmptc  15746  cncfmptid  15747  dedekindeulemloc  15769  dedekindicclemloc  15778  ivthinclemlr  15787  ivthinclemur  15789  ivthinclemloc  15791  ivthdec  15794  dvmptfsum  15875  plymullem1  15898  zprmlogbap  16137  perfectlem2  16198  bposlem5  16213  lgseisenlem2  16288  lgsquadlem3  16296  lgsquad  16297  lgsquad2lem2  16299  2lgslem1a  16305  usgruspgrben  16525  umgr2edg1  16548  umgr2edgneu  16551  usgredg4  16554  usgredgreu  16555  uspgredg2vtxeu  16557  vtxedgfi  16628  vtxlpfi  16629  depindlem1  16845  depindlem2  16846  depindlem3  16847  spimd  16891  2spim  16892  ch2var  16893  bj-sbimedh  16897  bj-sbimeh  16898  cbvrald  16914  sumdc2  16925  bdth  16955  bdcdeq  16963  bdne  16977  bdreu  16979  bdcsn  16994  bdsep2  17010  bdsepnft  17011  bdsepnfALT  17013  bdbm1.3ii  17015  bj-nalset  17019  bj-zfpair2  17034  bj-bdfindes  17073  bj-nn0suc0  17074  bj-nntrans  17075  setindft  17089  setindis  17091  bdsetindis  17093  bj-inf2vnlem3  17096  bj-inf2vnlem4  17097  strcoll2  17107  strcollnft  17108  strcollnfALT  17110  sscoll2  17112  nnti  17120  nnsf  17146  peano4nninf  17147  nninfsellemqall  17156  nninfomni  17160  nnnninfen  17162  repiecef  17175  trilpolemeq1  17187  tridceq  17204  redc0  17205  reap0  17206  dceqnconst  17208  dcapnconst  17209  nconstwlpolemgt0  17212  cbvals  17244