Theorem weq 1556

Description: Extend wff definition to include atomic formulas using the equality predicate.

(Instead of introducing weq 1556 as an axiomatic statement, as was done in an older version of this database, we introduce it by "proving" a special case of set theory's more general wceq 1402. This lets us avoid overloading the = connective, thus preventing ambiguity that would complicate certain Metamath parsers. However, logically weq 1556 is considered to be a primitive syntax, even though here it is artificially "derived" from wceq 1402. Note: To see the proof steps of this syntax proof, type "show proof weq /all" in the Metamath program.) (Contributed by NM, 24-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
weq	wff 𝑥 = 𝑦

Proof of Theorem weq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wceq 1402	1 wff 𝑥 = 𝑦

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402

This theorem is used by:  alequcoms  1569  equidqe  1585  ax4sp1  1586  spimfv  1751  chvarfv  1752  equid  1753  nfequid  1754  stdpc6  1755  equcomi  1756  ax6evr  1757  equcom  1758  equcomd  1759  equcoms  1760  equtr  1761  equtrr  1762  equtr2  1763  equequ1  1764  equequ2  1765  ax11i  1766  ax10o  1767  ax10  1769  nfae  1771  hbaes  1772  hbnae  1773  nfnae  1774  hbnaes  1775  equsalh  1778  equsal  1779  dral1  1783  dral2  1784  drex2  1785  drnf1  1786  drnf2  1787  spimth  1788  spimh  1790  spimed  1793  cbv1  1798  cbv1h  1799  cbv1v  1800  cbv2h  1801  cbv2w  1803  cbvalv1  1804  cbvexv1  1805  cbvalh  1806  chvar  1810  sbimi  1817  sb1  1819  sb2  1820  sbequ1  1821  sbequ2  1822  sbequ12  1824  sbequ12r  1825  sbequ12a  1826  sbid  1827  stdpc4  1828  sbh  1829  sb6x  1832  sbequ5  1835  sbequ6  1836  equsb1  1838  equsb2  1839  sbiedh  1840  sbiedv  1842  sbieh  1843  equsalv  1846  equs5a  1847  drsb1  1852  exdistrfor  1853  sb4a  1854  equs45f  1855  sb6f  1856  sb5f  1857  sb4e  1858  hbsb2a  1859  hbsb2e  1860  sbcof2  1863  aev  1865  ax16  1866  dveeq2  1868  dveeq2or  1869  ax11v2  1873  ax11a2  1874  ax11b  1879  equs5  1882  equs5or  1883  sb3  1884  sb4  1885  sb4or  1886  sb4b  1887  sb4bor  1888  hbsb2  1889  nfsb2or  1890  sbequi  1892  sbequ  1893  drsb2  1894  spsbe  1895  spsbim  1896  sbequ8  1900  sbidm  1904  sb5rf  1905  sb6rf  1906  ax16i  1911  spv  1913  speiv  1915  equvin  1916  a16g  1917  a16gb  1918  a16nf  1919  equsv  1938  sb56  1940  sb6  1941  sb5  1942  sbnv  1943  sbanv  1944  sborv  1945  sbi1v  1946  sbi2v  1947  cbvalvw  1975  cbvexvw  1976  cbval2  1977  cbvex2  1978  cbvaldva  1984  cbvexdva  1985  cbvaldvaw  1986  cbval2vw  1988  cbvex2vw  1989  cbvex4v  1990  hbs1  1998  hbsbv  2001  nfsbxy  2002  nfsbxyt  2003  nfsbv  2007  equsb3  2011  sbco  2028  sbcocom  2030  sbcomxyyz  2032  sb9v  2038  2sb5  2043  2sb6  2044  sbcom2v  2045  sb6a  2048  2sb5rf  2049  2sb6rf  2050  dfsb7  2051  sb7f  2052  sb7af  2053  sb10f  2055  sbel2x  2058  sbalyz  2059  sbal1yz  2061  sbal1  2062  sbexyz  2063  exsb  2068  2exsb  2069  dvelimALT  2070  dvelimfv  2071  hbsb4t  2073  nfsb4t  2074  dvelimf  2075  dvelimdf  2076  dvelimor  2078  dveeq1  2079  sbal2  2080  euf  2091  eubidh  2092  eubid  2093  hbeu1  2096  nfeu1  2097  sb8eu  2099  nfeuv  2104  sb8euh  2109  eu1  2111  mo2n  2114  euex  2116  eumo0  2117  mo23  2128  mor  2129  modc  2130  eu2  2131  eu3h  2132  mo2r  2139  mo3h  2140  mo2dc  2142  mo4f  2147  eu4  2149  moim  2151  moimv  2153  moanim  2161  mopick  2165  2eu4  2180  euequ1  2182  exists1  2183  elequ1  2213  elequ2  2214  cleljust  2215  elsb1  2216  elsb2  2217  axext3  2221  axext4  2222  bm1.1  2223  eleq1w  2299  cleqh  2338  abbib  2356  cbvabw  2363  cbvab  2364  sbab  2368  nfcjust  2380  drnfc1  2409  drnfc2  2410  nfabdw  2411  dvelimdc  2413  dvelimc  2414  nfcvf  2415  cbvrmow  2735  cbvralfw  2775  cbvrexfw  2776  cbvralf  2777  cbvrexf  2778  cbvreu  2784  cbvralvw  2790  cbvrexvw  2791  cbvreuvw  2792  cbvraldva2  2793  cbvrexdva2  2794  cbvraldva  2795  cbvrexdva  2796  cbvral2vw  2797  cbvrex2vw  2798  cbvral2v  2799  cbvrex2v  2800  cbvral3v  2801  sbralie  2804  cbvrab  2819  vjust  2822  vex  2824  rr19.3v  2965  rr19.28v  2966  ralab2  2990  rexab2  2992  reu2  3014  reu6  3015  reu3  3016  rmo4  3019  reu4  3020  reu7  3021  reu8  3022  rmo3f  3023  rmo4f  3024  cdeqi  3036  cdeqri  3037  cdeqth  3038  cdeqnot  3039  cdeqal  3040  cdeqab  3041  cdeqim  3044  cdeqcv  3045  cdeqeq  3046  cdeqel  3047  nfccdeq  3049  sbsbc  3055  sbc8g  3059  sbcco2  3074  sbc5  3075  sbcralt  3128  sbcralg  3130  sbcreug  3132  reu8nf  3133  rmo3  3144  cbvcsbw  3151  cbvcsb  3152  csbcow  3158  sbcel12g  3162  sbceqg  3163  cbvralcsf  3210  cbvrexcsf  3211  cbvreucsf  3212  cbvrabcsf  3213  difjust  3221  unjust  3223  injust  3225  dfssf  3238  dfss2f  3239  dfdif3  3339  dfnul2  3523  dfif3  3654  rabsnifsb  3777  preq12bg  3898  eluniab  3947  elintab  3981  int0  3984  dfiunv2  4048  cbviun  4049  cbviin  4050  cbvdisj  4116  invdisjrab  4124  disjiun  4125  sndisj  4126  sbcbrg  4185  cbvmptf  4225  cbvmpt  4226  axsepg  4250  bm1.3ii  4254  nalset  4263  zfpow  4312  el  4315  dtruarb  4328  copsexg  4384  opelopabsb  4402  swopo  4451  pofun  4457  issod  4464  frind  4497  zfun  4579  ruv  4697  dtru  4707  dcextest  4728  tfisi  4734  findes  4750  relop  4930  dfdmf  4974  dfrnf  5023  resiexg  5108  dfres2  5115  opabresid  5116  mptresid  5117  imai  5143  issref  5170  intasym  5172  cnvi  5192  rnxpid  5222  cnvpom  5330  nfiota1  5339  cbviota  5342  sb8iota  5345  iotaval  5349  iotanul  5353  iota4  5357  eliota  5365  eliotaeu  5366  csbiotag  5370  dffun2  5387  dffun4  5388  dffun5r  5389  dffun6f  5390  dffun4f  5393  sbcfung  5401  funopg  5411  fundif  5425  funinsn  5430  funcnveq  5444  fun11  5448  fununi  5449  funcnvuni  5450  imain  5463  isarep2  5468  brprcneu  5688  fv2  5690  elfv  5693  fv3  5718  relelfvdm  5727  fvmpt2  5789  ralrnmpt  5850  rexrnmpt  5851  ffnfvf  5867  f1veqaeq  5975  dff13f  5976  fliftfuns  6004  canth  6036  cbvriotavw  6049  cbvriota  6050  csbriotag  6052  acexmid  6084  oprabidlem  6116  cbvmpox  6166  cbvmpo  6167  cbvmpov  6168  mpofun  6190  abrexex2  6353  fmpoco  6452  f1o2ndf1  6464  poxp  6468  suppfnss  6497  tposoprab  6551  tfrlem3-2d  6583  tfrlemi1  6603  tfr1onlemsucfn  6611  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemsucfn  6624  tfrcllemsucaccv  6625  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllembfn  6628  tfrcllemaccex  6632  dcdifsnid  6777  fnsnsplitdc  6778  funresdfunsndc  6779  eqerlem  6838  qliftfuns  6893  eroveu  6900  cbvixp  6997  mptelixpg  7016  idssen  7063  modom  7108  pw2f1odclem  7134  xpf1o  7144  xpmapen  7150  findcard2d  7195  fidcen  7203  eqsndc  7210  nnwetri  7223  fiintim  7238  snexxph  7267  fidcenumlemim  7269  fidcenumlemrk  7271  fidcenum  7273  2omap  7318  supmoti  7333  isoti  7347  supisoti  7350  cnvti  7359  ordiso2  7375  ctssdccl  7451  finct  7456  infnninf  7464  nninfwlpoim  7519  nninfwlpo  7521  sspw1or2  7544  exmidontriimlem3  7579  exmidontriimlem4  7580  exmidontriim  7581  onntri13  7597  onntri51  7599  onntri3or  7604  tapap  7616  dftap2  7617  netap  7620  2onetap  7621  2omotaplemap  7623  cc1  7631  cc2  7633  ltsopi  7687  addpipqqs  7737  mulpipqqs  7740  archpr  8010  cauappcvgprlemlol  8014  cauappcvgprlemopu  8015  cauappcvgprlemupu  8016  cauappcvgprlemdisj  8018  cauappcvgprlemladdru  8023  cauappcvgprlemladdrl  8024  cauappcvgprlemlim  8028  caucvgprlemlol  8037  caucvgprlemopu  8038  caucvgprlemupu  8039  caucvgprlemdisj  8041  caucvgprlemloc  8042  caucvgprlemcl  8043  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgprprlemcbv  8054  caucvgprprlemopu  8066  caucvgprprlemclphr  8072  caucvgprprlemexbt  8073  suplocexprlemmu  8085  suplocexprlemdisj  8087  caucvgsrlembound  8161  caucvgsrlembnd  8168  suplocsrlem  8175  suplocsr  8176  peano1nnnn  8219  axcaucvglemres  8266  axpre-suploc  8269  negf1o  8709  lbreu  9276  lbinf  9279  suprubex  9282  suprlubex  9283  suprleubex  9285  1nn  9316  zfidc  9725  uzind4s  9992  uzind4s2  9993  indstr  9995  supinfneg  9997  infsupneg  9998  infregelbex  10000  eqreznegel  10016  lbzbi  10018  elpq  10051  zsupcl  10666  infssuzex  10668  infssuzledc  10669  zsupssdc  10675  exbtwnzlemex  10686  exbtwnz  10687  rebtwn2zlemstep  10689  rebtwn2z  10691  iseqovex  10897  iseqvalcbv  10898  seqvalcd  10900  seqovcd  10906  seq3f1olemqsum  10952  seq3f1olemp  10954  seq3f1oleml  10955  seqf1og  10960  seq3distr  10971  faclbnd6  11184  fimaxq  11272  hashfibclem  11284  hashf1lem1  11287  wrd2ind  11497  reuccatpfxs1lem  11520  reuccatpfxs1  11521  cvg1nlemres  11753  resqrexlemsqa  11792  resqrexlemex  11793  cau3lem  11882  fclim  12062  climeu  12064  cn1lem  12082  climcau  12115  climcvg1n  12118  summodclem3  12149  summodclem2a  12150  summodclem2  12151  summodc  12152  zsumdc  12153  fsum3  12156  isumz  12158  isumss2  12162  fsumsersdc  12164  fsum3ser  12166  fsumadd  12175  fsum2dlemstep  12203  fisumcom2  12207  isumshft  12259  cvgratz  12301  mertensabs  12306  prodfdivap  12316  cbvprod  12327  prodmodclem3  12344  prodmodclem2a  12345  prodmodclem2  12346  prodmodc  12347  zproddc  12348  fprodseq  12352  fprodm1s  12370  fprodp1s  12371  fprod2dlemstep  12391  fprodcom2fi  12395  fprodsplitf  12401  odd2np1lem  12641  bitsfzolem  12723  bezoutlemmain  12777  bezoutlemeu  12786  gcdmultiple  12799  rplpwr  12806  nnwofdc  12817  nnwosdc  12818  nninfctlemfo  12819  isprm5lem  12921  isprm5  12922  pw2dvdseu  12948  hashdvds  13001  eulerthlemh  13011  reumodprminv  13034  pclemub  13068  pclemdc  13069  pceu  13076  pcmptdvds  13126  1arith  13148  4sqlem2  13170  4sqlem11  13182  4sqlem12  13183  ballotfilemfc0  13234  ballotfilemfcc  13235  ballotfilemefi  13239  ballotfilemodife  13242  ennnfonelemg  13296  ennnfoneleminc  13304  ennnfonelemkh  13305  ennnfonelemhf1o  13306  ennnfonelemex  13307  ennnfonelemhom  13308  ennnfonelemrnh  13309  ennnfonelemfun  13310  ennnfonelemdm  13313  ennnfonelemr  13316  ennnfone  13318  inffinp1  13322  ctinf  13323  nninfdclemf  13342  nninfdclemp1  13343  unbendc  13347  infpn2  13349  strsetsid  13387  mgmidmo  13694  lidrididd  13704  mndinvmod  13760  insubm  13794  dfgrp3mlem  13905  mulgaddcom  13951  mulginvcom  13952  isnsg2  14008  gzsumconstf  14146  srgmulgass  14295  islmodd  14631  lmodvsmmulgdi  14662  rmodislmodlem  14689  rmodislmod  14690  lssats2  14753  assamulgscm  15045  mplsubgfilemcl  15092  baspartn  15153  cnpnei  15322  txdis1cn  15381  cnmptid  15384  xmetxp  15610  cncfmptc  15699  cncfmptid  15700  dedekindeulemloc  15722  dedekindicclemloc  15731  ivthinclemlr  15740  ivthinclemur  15742  ivthinclemloc  15744  ivthdec  15747  dvmptfsum  15828  plymullem1  15851  perfectlem2  16120  lgseisenlem2  16202  lgsquadlem3  16210  lgsquad  16211  lgsquad2lem2  16213  2lgslem1a  16219  usgruspgrben  16439  umgr2edg1  16462  umgr2edgneu  16465  usgredg4  16468  usgredgreu  16469  uspgredg2vtxeu  16471  vtxedgfi  16542  vtxlpfi  16543  depindlem1  16759  depindlem2  16760  depindlem3  16761  spimd  16805  2spim  16806  ch2var  16807  bj-sbimedh  16811  bj-sbimeh  16812  cbvrald  16828  sumdc2  16839  bdth  16869  bdcdeq  16877  bdne  16891  bdreu  16893  bdcsn  16908  bdsep2  16924  bdsepnft  16925  bdsepnfALT  16927  bdbm1.3ii  16929  bj-nalset  16933  bj-zfpair2  16948  bj-bdfindes  16987  bj-nn0suc0  16988  bj-nntrans  16989  setindft  17003  setindis  17005  bdsetindis  17007  bj-inf2vnlem3  17010  bj-inf2vnlem4  17011  strcoll2  17021  strcollnft  17022  strcollnfALT  17024  sscoll2  17026  nnti  17034  nnsf  17060  peano4nninf  17061  nninfsellemqall  17070  nninfomni  17074  nnnninfen  17076  repiecef  17089  trilpolemeq1  17101  tridceq  17118  redc0  17119  reap0  17120  dceqnconst  17122  dcapnconst  17123  nconstwlpolemgt0  17126  cbvals  17158