Theorem weq 1556

Description: Extend wff definition to include atomic formulas using the equality predicate.

(Instead of introducing weq 1556 as an axiomatic statement, as was done in an older version of this database, we introduce it by "proving" a special case of set theory's more general wceq 1402. This lets us avoid overloading the = connective, thus preventing ambiguity that would complicate certain Metamath parsers. However, logically weq 1556 is considered to be a primitive syntax, even though here it is artificially "derived" from wceq 1402. Note: To see the proof steps of this syntax proof, type "show proof weq /all" in the Metamath program.) (Contributed by NM, 24-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
weq	wff 𝑥 = 𝑦

Proof of Theorem weq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wceq 1402	1 wff 𝑥 = 𝑦

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402

This theorem is used by:  alequcoms  1569  equidqe  1585  ax4sp1  1586  spimfv  1751  chvarfv  1752  equid  1753  nfequid  1754  stdpc6  1755  equcomi  1756  ax6evr  1757  equcom  1758  equcomd  1759  equcoms  1760  equtr  1761  equtrr  1762  equtr2  1763  equequ1  1764  equequ2  1765  ax11i  1766  ax10o  1767  ax10  1769  nfae  1771  hbaes  1772  hbnae  1773  nfnae  1774  hbnaes  1775  equsalh  1778  equsal  1779  dral1  1783  dral2  1784  drex2  1785  drnf1  1786  drnf2  1787  spimth  1788  spimh  1790  spimed  1793  cbv1  1798  cbv1h  1799  cbv1v  1800  cbv2h  1801  cbv2w  1803  cbvalv1  1804  cbvexv1  1805  cbvalh  1806  chvar  1810  sbimi  1817  sb1  1819  sb2  1820  sbequ1  1821  sbequ2  1822  sbequ12  1824  sbequ12r  1825  sbequ12a  1826  sbid  1827  stdpc4  1828  sbh  1829  sb6x  1832  sbequ5  1835  sbequ6  1836  equsb1  1838  equsb2  1839  sbiedh  1840  sbiedv  1842  sbieh  1843  equsalv  1846  equs5a  1847  drsb1  1852  exdistrfor  1853  sb4a  1854  equs45f  1855  sb6f  1856  sb5f  1857  sb4e  1858  hbsb2a  1859  hbsb2e  1860  sbcof2  1863  aev  1865  ax16  1866  dveeq2  1868  dveeq2or  1869  ax11v2  1873  ax11a2  1874  ax11b  1879  equs5  1882  equs5or  1883  sb3  1884  sb4  1885  sb4or  1886  sb4b  1887  sb4bor  1888  hbsb2  1889  nfsb2or  1890  sbequi  1892  sbequ  1893  drsb2  1894  spsbe  1895  spsbim  1896  sbequ8  1900  sbidm  1904  sb5rf  1905  sb6rf  1906  ax16i  1911  spv  1913  speiv  1915  equvin  1916  a16g  1917  a16gb  1918  a16nf  1919  equsv  1938  sb56  1940  sb6  1941  sb5  1942  sbnv  1943  sbanv  1944  sborv  1945  sbi1v  1946  sbi2v  1947  cbvalvw  1975  cbvexvw  1976  cbval2  1977  cbvex2  1978  cbvaldva  1984  cbvexdva  1985  cbvaldvaw  1986  cbval2vw  1988  cbvex2vw  1989  cbvex4v  1990  hbs1  1998  hbsbv  2001  nfsbxy  2002  nfsbxyt  2003  nfsbv  2007  equsb3  2011  sbco  2028  sbcocom  2030  sbcomxyyz  2032  sb9v  2038  2sb5  2043  2sb6  2044  sbcom2v  2045  sb6a  2048  2sb5rf  2049  2sb6rf  2050  dfsb7  2051  sb7f  2052  sb7af  2053  sb10f  2055  sbel2x  2058  sbalyz  2059  sbal1yz  2061  sbal1  2062  sbexyz  2063  exsb  2068  2exsb  2069  dvelimALT  2070  dvelimfv  2071  hbsb4t  2073  nfsb4t  2074  dvelimf  2075  dvelimdf  2076  dvelimor  2078  dveeq1  2079  sbal2  2080  euf  2091  eubidh  2092  eubid  2093  hbeu1  2096  nfeu1  2097  sb8eu  2099  nfeuv  2104  sb8euh  2109  eu1  2111  mo2n  2114  euex  2116  eumo0  2117  mo23  2128  mor  2129  modc  2130  eu2  2131  eu3h  2132  mo2r  2139  mo3h  2140  mo2dc  2142  mo4f  2147  eu4  2149  moim  2151  moimv  2153  moanim  2161  mopick  2165  2eu4  2180  euequ1  2182  exists1  2183  elequ1  2213  elequ2  2214  cleljust  2215  elsb1  2216  elsb2  2217  axext3  2221  axext4  2222  bm1.1  2223  eleq1w  2299  cleqh  2338  abbib  2356  cbvabw  2363  cbvab  2364  sbab  2368  nfcjust  2380  drnfc1  2409  drnfc2  2410  nfabdw  2411  dvelimdc  2413  dvelimc  2414  nfcvf  2415  cbvrmow  2735  cbvralfw  2775  cbvrexfw  2776  cbvralf  2777  cbvrexf  2778  cbvreu  2784  cbvralvw  2790  cbvrexvw  2791  cbvreuvw  2792  cbvraldva2  2793  cbvrexdva2  2794  cbvraldva  2795  cbvrexdva  2796  cbvral2vw  2797  cbvrex2vw  2798  cbvral2v  2799  cbvrex2v  2800  cbvral3v  2801  sbralie  2804  cbvrab  2819  vjust  2822  vex  2824  rr19.3v  2965  rr19.28v  2966  ralab2  2990  rexab2  2992  reu2  3014  reu6  3015  reu3  3016  rmo4  3019  reu4  3020  reu7  3021  reu8  3022  rmo3f  3023  rmo4f  3024  cdeqi  3036  cdeqri  3037  cdeqth  3038  cdeqnot  3039  cdeqal  3040  cdeqab  3041  cdeqim  3044  cdeqcv  3045  cdeqeq  3046  cdeqel  3047  nfccdeq  3049  sbsbc  3055  sbc8g  3059  sbcco2  3074  sbc5  3075  sbcralt  3128  sbcralg  3130  sbcreug  3132  reu8nf  3133  rmo3  3144  cbvcsbw  3151  cbvcsb  3152  csbcow  3158  sbcel12g  3162  sbceqg  3163  cbvralcsf  3210  cbvrexcsf  3211  cbvreucsf  3212  cbvrabcsf  3213  difjust  3221  unjust  3223  injust  3225  dfssf  3238  dfss2f  3239  dfdif3  3339  dfnul2  3523  dfif3  3654  rabsnifsb  3777  preq12bg  3898  eluniab  3947  elintab  3981  int0  3984  dfiunv2  4048  cbviun  4049  cbviin  4050  cbvdisj  4116  invdisjrab  4124  disjiun  4125  sndisj  4126  sbcbrg  4186  cbvmptf  4227  cbvmpt  4228  axsepg  4252  bm1.3ii  4256  nalset  4265  zfpow  4314  el  4317  dtruarb  4330  copsexg  4386  opelopabsb  4404  swopo  4453  pofun  4459  issod  4466  frind  4499  zfun  4581  ruv  4699  dtru  4709  dcextest  4730  tfisi  4736  findes  4752  relop  4932  dfdmf  4976  dfrnf  5025  resiexg  5111  dfres2  5118  opabresid  5119  mptresid  5120  imai  5146  issref  5173  intasym  5175  cnvi  5195  rnxpid  5225  cnvpom  5333  nfiota1  5342  cbviota  5345  sb8iota  5348  iotaval  5352  iotanul  5356  iota4  5360  eliota  5368  eliotaeu  5369  csbiotag  5373  dffun2  5390  dffun4  5391  dffun5r  5392  dffun6f  5393  dffun4f  5396  sbcfung  5404  funopg  5414  fundif  5428  funinsn  5433  funcnveq  5447  fun11  5451  fununi  5452  funcnvuni  5453  imain  5466  isarep2  5471  brprcneu  5691  fv2  5693  elfv  5696  fv3  5721  relelfvdm  5730  fvmpt2  5792  ralrnmpt  5853  rexrnmpt  5854  ffnfvf  5870  f1veqaeq  5978  dff13f  5979  fliftfuns  6007  canth  6039  cbvriotavw  6052  cbvriota  6053  csbriotag  6055  acexmid  6087  oprabidlem  6119  cbvmpox  6169  cbvmpo  6170  cbvmpov  6171  mpofun  6193  abrexex2  6357  fmpoco  6456  f1o2ndf1  6468  poxp  6472  suppfnss  6501  tposoprab  6555  tfrlem3-2d  6587  tfrlemi1  6607  tfr1onlemsucfn  6615  tfr1onlemaccex  6623  tfrcllemsucfn  6628  tfrcllemsucaccv  6629  tfrcllembxssdm  6631  tfrcllembfn  6632  tfrcllemaccex  6636  dcdifsnid  6781  fnsnsplitdc  6782  funresdfunsndc  6783  eqerlem  6842  qliftfuns  6897  eroveu  6904  cbvixp  7002  mptelixpg  7021  idssen  7068  modom  7113  pw2f1odclem  7139  xpf1o  7149  xpmapen  7155  findcard2d  7200  fidcen  7208  eqsndc  7215  nnwetri  7228  fiintim  7243  snexxph  7273  fidcenumlemim  7275  fidcenumlemrk  7277  fidcenum  7279  2omap  7325  supmoti  7340  isoti  7354  supisoti  7357  cnvti  7366  ordiso2  7382  ctssdccl  7458  finct  7463  infnninf  7471  nninfwlpoim  7526  nninfwlpo  7528  sspw1or2  7551  exmidontriimlem3  7586  exmidontriimlem4  7587  exmidontriim  7588  onntri13  7604  onntri51  7606  onntri3or  7611  tapap  7623  dftap2  7624  netap  7627  2onetap  7628  2omotaplemap  7630  cc1  7638  cc2  7640  ltsopi  7694  addpipqqs  7744  mulpipqqs  7747  archpr  8017  cauappcvgprlemlol  8021  cauappcvgprlemopu  8022  cauappcvgprlemupu  8023  cauappcvgprlemdisj  8025  cauappcvgprlemladdru  8030  cauappcvgprlemladdrl  8031  cauappcvgprlemlim  8035  caucvgprlemlol  8044  caucvgprlemopu  8045  caucvgprlemupu  8046  caucvgprlemdisj  8048  caucvgprlemloc  8049  caucvgprlemcl  8050  caucvgprlemladdrl  8052  caucvgprprlemcbv  8061  caucvgprprlemopu  8073  caucvgprprlemclphr  8079  caucvgprprlemexbt  8080  suplocexprlemmu  8092  suplocexprlemdisj  8094  caucvgsrlembound  8168  caucvgsrlembnd  8175  suplocsrlem  8182  suplocsr  8183  peano1nnnn  8226  axcaucvglemres  8273  axpre-suploc  8276  negf1o  8717  lbreu  9284  lbinf  9287  suprubex  9290  suprlubex  9291  suprleubex  9293  1nn  9325  zfidc  9735  uzind4s  10007  uzind4s2  10008  indstr  10010  supinfneg  10012  infsupneg  10013  infregelbex  10015  eqreznegel  10031  lbzbi  10033  elpq  10067  zsupcl  10682  infssuzex  10684  infssuzledc  10685  zsupssdc  10691  exbtwnzlemex  10702  exbtwnz  10703  rebtwn2zlemstep  10705  rebtwn2z  10707  iseqovex  10917  iseqvalcbv  10918  seqvalcd  10920  seqovcd  10926  seq3f1olemqsum  10972  seq3f1olemp  10974  seq3f1oleml  10975  seqf1og  10980  seq3distr  10991  faclbnd6  11205  fimaxq  11293  hashfibclem  11305  hashf1lem1  11308  wrd2ind  11518  reuccatpfxs1lem  11541  reuccatpfxs1  11542  cvg1nlemres  11774  resqrexlemsqa  11813  resqrexlemex  11814  cau3lem  11904  fclim  12086  climeu  12088  cn1lem  12106  climcau  12139  climcvg1n  12142  summodclem3  12173  summodclem2a  12174  summodclem2  12175  summodc  12176  zsumdc  12177  fsum3  12180  isumz  12182  isumss2  12186  fsumsersdc  12188  fsum3ser  12190  fsumadd  12199  fsum2dlemstep  12227  fisumcom2  12231  isumshft  12283  cvgratz  12325  mertensabs  12330  prodfdivap  12340  cbvprod  12351  prodmodclem3  12368  prodmodclem2a  12369  prodmodclem2  12370  prodmodc  12371  zproddc  12372  fprodseq  12376  fprodm1s  12394  fprodp1s  12395  fprod2dlemstep  12415  fprodcom2fi  12419  fprodsplitf  12425  odd2np1lem  12665  bitsfzolem  12747  bezoutlemmain  12801  bezoutlemeu  12810  gcdmultiple  12823  rplpwr  12830  nnwofdc  12841  nnwosdc  12842  nninfctlemfo  12843  isprm5lem  12946  isprm5  12947  pwbdvdseu  12973  hashdvds  13029  eulerthlemh  13039  reumodprminv  13062  pclemub  13096  pclemdc  13097  pceu  13104  pcmptdvds  13154  1arith  13176  4sqlem2  13198  4sqlem11  13210  4sqlem12  13211  ballotfilemfc0  13291  ballotfilemfcc  13292  ballotfilemefi  13296  ballotfilemodife  13299  ennnfonelemg  13353  ennnfoneleminc  13361  ennnfonelemkh  13362  ennnfonelemhf1o  13363  ennnfonelemex  13364  ennnfonelemhom  13365  ennnfonelemrnh  13366  ennnfonelemfun  13367  ennnfonelemdm  13370  ennnfonelemr  13373  ennnfone  13375  inffinp1  13379  ctinf  13380  nninfdclemf  13399  nninfdclemp1  13400  unbendc  13404  infpn2  13406  strsetsid  13444  mgmidmo  13752  lidrididd  13762  mndinvmod  13818  insubm  13852  dfgrp3mlem  13963  mulgaddcom  14009  mulginvcom  14010  isnsg2  14066  gzsumconstf  14235  gsum2dfilem2  14273  gsum2d2fi  14275  gsumcom2fi  14276  srgmulgass  14401  islmodd  14739  lmodvsmmulgdi  14770  rmodislmodlem  14797  rmodislmod  14798  lssats2  14861  assamulgscm  15153  psrlidmfi  15204  psrridmfi  15205  mplsubgfilemcl  15227  baspartn  15288  cnpnei  15457  txdis1cn  15516  cnmptid  15519  xmetxp  15745  cncfmptc  15834  cncfmptid  15835  dedekindeulemloc  15857  dedekindicclemloc  15866  ivthinclemlr  15875  ivthinclemur  15877  ivthinclemloc  15879  ivthdec  15882  dvmptfsum  15963  plymullem1  15986  zprmlogbap  16230  perfectlem2  16312  bposlem5  16327  lgseisenlem2  16407  lgsquadlem3  16415  lgsquad  16416  lgsquad2lem2  16418  2lgslem1a  16424  usgruspgrben  16644  umgr2edg1  16667  umgr2edgneu  16670  usgredg4  16673  usgredgreu  16674  uspgredg2vtxeu  16676  vtxedgfi  16747  vtxlpfi  16748  depindlem1  16964  depindlem2  16965  depindlem3  16966  spimd  17010  2spim  17011  ch2var  17012  bj-sbimedh  17016  bj-sbimeh  17017  cbvrald  17033  sumdc2  17044  bdth  17074  bdcdeq  17082  bdne  17096  bdreu  17098  bdcsn  17113  bdsep2  17129  bdsepnft  17130  bdsepnfALT  17132  bdbm1.3ii  17134  bj-nalset  17138  bj-zfpair2  17153  bj-bdfindes  17192  bj-nn0suc0  17193  bj-nntrans  17194  setindft  17208  setindis  17210  bdsetindis  17212  bj-inf2vnlem3  17215  bj-inf2vnlem4  17216  strcoll2  17226  strcollnft  17227  strcollnfALT  17229  sscoll2  17231  nnti  17239  nnsf  17266  peano4nninf  17267  nninfsellemqall  17276  nninfomni  17280  nnnninfen  17282  repiecef  17295  trilpolemeq1  17308  tridceq  17325  redc0  17326  reap0  17327  dceqnconst  17329  dcapnconst  17330  nconstwlpolemgt0  17333  cbvals  17365